2021高考数学(文理通用)一轮阶段滚动检测5.docx

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阶段滚动检测(五)
第一～八章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(滚动单独考查)满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是(　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
2.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(　　)
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
3.(滚动单独考查)(2022·蚌埠模拟)如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如图,则该几何体的体积为(　　)

A.π+2　　 B.π+23　 　C.2π+2　　 D.2π+23
4.假照实数x,y满足(x-2)2+y2=3,那么yx的最大值是(　　)
A.12　　 B.33 C.22　 D.3
5.(2021·广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则C的方程是(　　)
A.x24-y25=1 B.x24-y25=1
C.x22-y25=1 D.x22-y25=1
6.(滚动单独考查)用min{a,b}表示a,b两数中的较小值.若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=-12对称,则t的值为(　　)
A.-2　　 B.2　　 C.-1　　 D.1
7.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为(　　)
A.23　 B.4　　　 C.6　 D.43
8.(滚动单独考查)已知a是函数f(x)=2x-log12x的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足(　　)
A.f(x0)=0　　 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0　 D.f(x0)的符号不能确定
9.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2,若曲线Γ上存在点P满足
|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于(　　)
A.12或32　　 B.23或2
C.12或2　　 D.23或32
10.(2021·武威模拟)若双曲线x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是第一象限内双曲线上的点.若直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,且β=mα(m>1),那么α的值是(　　)
A.π2m-1　 B.π2m　 C.π2m+1　 D.π2m+2
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)
11.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x2-y23=1的右焦点重合,则p的值为　　　　.
12.(2021·金华模拟)过点M(1,0)作直线与抛物线y2=4x交于A,B两点,则1|AM|+1|BM|=　　　　.
13.(2022·太原模拟)若抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,若l为双曲线的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是　　　　　　　.
14.(2021·湖南高考)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为　　　　.
15.(2021·辽宁高考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=45,则C的离心率e=　　　　　.
16.(滚动交汇考查)(2022·潍坊模拟)给定两长度为1的平面对量OA→和OB→,它们的夹角为120°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC→=xOA→+yOB→,其中x,y∈R,则x+y的最大值是　　　　.
17.(2022·台州模拟)已知点P(x,y)是椭圆x22+y2=1上的点,M(m,0)(m>0)是定点,若|MP|的最小值等于53,则满足条件的实数m的值为　　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(14分)(2022·淮南模拟)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,在x轴负半轴上有一点B,满足BF1→=F1F2→,AB⊥AF2.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)D是过A,B,F2三点的圆上的点,D到直线l:x-3y-3=0的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆C的方程.

19.(14分)(滚动单独考查)设数列{an}满足:a1=5,an+1+4an=5,(n∈N*).
(1)是否存在实数t,使{an+t}是等比数列?
(2)设数列bn=|an|,求{bn}的前2 014项和S2 014.
20.(14分)(滚动单独考查)(2022·北京模拟)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,又∠CAD=30°,PA=AB=4,点N在线段PB上,且PNNB=13.

(1)求证:BD⊥PC.
(2)求证:MN∥平面PDC.
(3)设平面PAB∩平面PCD=l,试问直线l是否与直线CD平行,请说明理由.
21.(15分)(滚动单独考查)(2022·湖州模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若对任意x1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)≠f(x2),求证:关于x的方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根且必有一个根属于(x1,x2).
(2)若关于x的方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)上的根为m,且x1+x2=2m-1,设函数f(x)的图象的对称轴的方程为x=x0.求证:x0<m2.
22.(15分)(2022·昆明模拟)已知圆M:(x-2)2+y2=73,若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心,离心率为22.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知直线l:y=kx,若直线l与椭圆C分别交于A,B两点,与圆M分别交于G,H两点,点G在线段AB上,且|AG|=|BH|,求k的值.

答案解析
1.B　由题意知a1,a2必属于M,a3∉M,a4不愿定,故选B.
2.B　圆心在x+y=0上,排解C,D,再验证A,B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.
3.A　依题设可知:该几何体为一个三棱柱、二分之一圆柱的组合体,其体积为:V=12·π·12·2+12×2×1×2=π+2.
4.D　设yx=k,则得直线l:kx-y=0,
所以圆心(2,0)到直线l的距离d=|2k-0|k2+1≤3,解得-3≤k≤3,所以kmax=3.
5.B　设C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意知c=3,e=ca=32,则a=2,b2=c2-a2=5,所求方程为x24-y25=1.
6.D　由图象关于直线x=-12对称得,
-12=-12+t,
解得t=0或t=1,
当t=0时,f(x)=|x|,不符合题意,故t=1.
【一题多解】本题还可以用如下方法解决:
(验证答案)将四个答案分别代入题中,通过数形结合,作出函数y=|x|与y=|x+t|的图象,得出函数f(x)的图象,然后由对称性排解A,B,C.
7.D　抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.据题意知,△FPM为等边三角形,PF=PM,所以PM⊥抛物线的准线,设Pm24,m,则M(-1,m),等边三角形边长为1+m24,所以由PM=FM,得1+m24=(1+1)2+m2,
解得m=±23,
所以等边三角形边长为4,其面积为43.
8.C　由于0<x0<a,
所以2 x0<2a且log 12x0>log 12a.
即-log 12x0<-log 12a,
所以2x0-log 12x0<2a-log 12a.
又a是f(x)=2x-log 12x的零点,
所以2a-log 12a=0,
所以f(x0)=2x0-log 12x0<0,选C.
9.A　由于|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|
=4∶3∶2,
所以|PF1|=43|F1F2|,
|PF2|=23|F1F2|,
|PF1|+|PF2|=43|F1F2|+23|F1F2|=2|F1F2|>|F1F2|,
则P点在椭圆上,2a=4c,
所以a=2c,e=12.
|PF1|-|PF2|=43|F1F2|-23|F1F2|=23|F1F2|<|F1F2|,
则P点在双曲线上,2a=43c,
所以ca=32,
所以e=32.
【加固训练】点P在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,F1,F2是这条双曲线的两个
焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率
是　(　　)
A.2　　　　 B.3　　 C.4　　 D.5
D　由于△F1PF2的三条边长成等差数列,所以设PF2,PF1,F1F2成等差数列,且设PF2=x-d,PF1=x,F1F2=x+d,则x+d=2c,x-(x-d)=d=2a,即x=2c-d,a=d2.又∠F1PF2=90°,所以(x-d)2+x2=(x+d)2,解得x=4d,即c=52d,所以双曲线的离心率为e=ca=52dd2=5,选D.
10.D　易知双曲线的左顶点为A(-a,0),右顶点为B(a,0),设P(p,q),得直线PA的斜率为kPA=qp+a;直线PB的斜率为kPB=qp-a,
所以kPA·kPB=q2p2-a2,………(1),
由于P(p,q)是双曲线x2-y2=a2(a>0)上的点,所以p2-q2=a2(a>0),代入(1)式得kPA·kPB=1,由于直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,得tanα=kPA,tanβ=kPB,所以tanα·tanβ=1,由于P是第一象限内双曲线上的点,得α,β均为锐角,所以α+β=(m+1)α=π2,解得α=π2m+2.

11.【解析】双曲线x2-y23=1的右焦点为(2,0),由题意得p2=2,所以p=4.
答案：4
12.【解析】当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1),代入y2=4x,
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,
所以1|AM|+1|BM|=1x1+1+1x2+1
=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=1;
当直线的斜率不存在时,
|AM|=|BM|=2,
则1|AM|+1|BM|=1.
答案：1
13.【解析】Fp2,0,c=p2,不妨设
Ap2,p.由c2=a2+b2得p24=a2+b2,又p24a2-p2b2=1,即a2+b2a2-4(a2+b2)b2=1,所以ba2-4ab2-4=0,令t=ba>0,则t4-4t2-4=0,所以t=2+22,设倾斜角为θ,则tanθ=ba=2+22>3,所以θ∈π3,π2.
答案：π3,π2
14.【解析】不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则在△PF1F2中,∠PF1F2=30°,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2(4a)(2c)cos30°,整理得(e-3)2=0,所以e=3.
答案：3
15.【解析】在三角形ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-
2|AB||BF|cos∠ABF,又|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=45,
解得|BF|=8.在三角形ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形ABF为直角三角形.
设椭圆的右焦点为F',连接AF',BF',依据椭圆的对称性,四边形AFBF'为矩形,
则其对角线|FF'|=|AB|=10,
且|BF|=|AF'|=8,即焦距2c=10,
又据椭圆的定义,
得|AF|+|AF'|=2a,
所以2a=|AF|+|AF'|=6+8=14.
故离心率e=ca=2c2a=57.
答案：57
16.【解析】依题意,|OC→|=1,则|OC→|2=1,
又由于OC→=xOA→+yOB→,|OA→|=
|OB→|=1,<OA→,OB→>=120°,
所以x2OA→   2  222+y2OB→   2  222+2xyOA→·OB→=1,
因此,x2+y2+2xycos120°=1,
即xy=x2+y2-1,
所以3xy=(x+y)2-1≤3x+y22,(x+y)2≤4,经检验等号成立,故x+y的最大值为2.
答案：2
17.【解析】由于点P(x,y)是椭圆x22+y2=1上的点,所以y2=1-x22,由此可得:
|MP|2=(x-m)2+y2
=(x-m)2+1-x22,
化简得:|MP|2=F(x)=12x2-2mx+1+m2,
函数y=F(x)的图象是一条抛物线,关于直线x=2m对称,
由于P点横坐标x∈[-2,2],所以对F(x)的最小值分两种状况加以争辩.
(1)当2m>2,即m>22时,F(x)在[-2,2]上为减函数,所以F(x)min=F(2)=m2-22m+2=532,
解之得m=2+53(负值舍去).
(2)当2m≤2,即0<m≤22时,F(x)在[-2,2m]上为减函数,在[2m,2]上为增函数,
所以F(x)min=F(2m)=1-m2=532,解之得m=23(负值舍去).
综上所述,m的值为23或2+53.
答案：23或2+53
18.【解析】(1)设B(x0,0),
由F2(c,0),A(0,b),
知AF2→=(c,-b),AB→=(x0,-b).
由于AF2→⊥AB→,
所以cx0+b2=0,x0=-b2c,
由BF1→=F1F2→知F1为BF2中点,
故-b2c+c=-2c.
所以b2=3c2=a2-c2,即a2=4c2,故椭圆C的离心率e=12.
(2)由(1)知ca=12,得c=12a,
于是F212a,0,B-32a,0.
由题意知△ABF2为直角三角形,BF2为斜边,
所以△ABF2的外接圆圆心为
F1-12a,0,半径r=a.
D到直线l:x-3y-3=0的最大距离等于2a,所以圆心到直线的距离为a,
所以-12a-31+(-3)2=a,
解得a=2a=-65舍去,
所以c=1,b=3.
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
【方法技巧】求圆锥曲线标准方程的方法
1.依据定义求圆锥曲线的标准方程.
2.可依据条件求出方程中的各个参数,从而确定方程.
19.【解析】(1)由an+1+4an=5得
an+1=-4an+5,
令an+1+t=-4(an+t),
得an+1=-4an-5t,
则-5t=5,t=-1,
从而an+1-1=-4(an-1).
又a1-1=4,所以{an-1}是首项为4,公比为-4的等比数列,所以存在这样的实数t=-1,使{an+t}是等比数列.
(2)由(1)得an-1=4×(-4)n-1,
所以an=1-(-4)n,
所以bn=|an|=1+4n,n为奇数,4n-1,n为偶数,
所以S2022=b1+b2+…+b2022=(1+41)+(42-1)+(1+43)+(44-1)+…+(1+42021)+(42022-1) =41+42+43+44+…+42022=4-42 0151-4=42 015-43.
20. 【解析】(1)由于△ABC是正三角形,M是AC的中点,
所以BM⊥AC,即BD⊥AC,又由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.
(2)在正三角形ABC中,BM=23,在△ACD中,由于M为AC中点,DM⊥AC,所以AD=CD,∠CAD=30°,所以DM=233,所以BM∶MD=3∶1,所以BN∶NP=BM∶MD,所以MN∥PD,又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,所以MN∥平面PDC.
(3)假设直线l∥CD,
由于l⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,
所以CD∥平面PAB,又CD⊂平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以AB∥CD,这与CD与AB不平行冲突,所以直线l与直线CD不平行.
21.【证明】(1)构造函数g(x)
=f(x)-12[f(x1)+f(x2)]
=ax2+bx+c-12[(ax12+bx1+c)+(ax22+bx2+c)]
=ax2+bx-12(ax12+ax22+bx1+bx2),
由于函数f(x)=ax2+bx+c为二次函数,所以a≠0,
对于二次函数g(x)而言,Δ=b2+2a(ax12+ax22+bx1+bx2)
=2a2x12+2a2x22+2abx1+2abx2+b2
=2a2x12+2abx1+b22+
2a2x22+2abx2+b22
=122ax1+b2+122ax2+b2
≥0,
若Δ=0,则有2ax1+b=0且有2ax2+b=0,
从而有x1=x2,这与x1<x2冲突,
故Δ>0,故方程f(x)=12[f(x1)+
f(x2)]有两个不相等的实数根,
由于g(x1)=f(x1)-12[f(x1)+
f(x2)]=12[f(x1)-f(x2)],
g(x2)=f(x2)-12[f(x1)+f(x2)]=12[f(x2)-f(x1)],
所以g(x1)·g(x2)
=-12[f(x1)-f(x2)]2<0,
由零点存在定理知,方程f(x)=
12[f(x1)+f(x2)]必有一个根属于(x1,x2).
(2)由题意知f(m)=12[f(x1)+
f(x2)],化简得
am2+bm=a(x12+x22)2+b(x1+x2)2,
即am2+bm=a(x12+x22)2+b(2m-1)2,
则有am2=a(x12+x22)2-b2,
所以-b2a=m2-x12+x222,
由于x1<x2,则x12+x22>0,
故x0=-b2a=m2-x12+x222<m2,
即x0<m2.
22.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c,由于a=2,ca=22,所以c=1,所以b=1.所以椭圆C:x22+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l与椭圆C交于两点A,B,
则y=kx,x2+2y2-2=0,所以(1+2k2)x2-2=0,则x1+x2=0,x1x2=-21+2k2,
所以|AB|=(1+k2)81+2k2=8(1+k2)1+2k2,点M(2,0)到直线l的距离d=|2k|1+k2,
则|GH|=273-2k21+k2.
明显,若点H也在线段AB上,则由对称性可知,直线y=kx就是y轴,冲突,由于|AG|=|BH|,所以|AB|=|GH|,
所以8(1+k2)1+2k2=473-2k21+k2,
解得k2=1,即k=±1.

【加固训练】椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1(-c,0),F2(c,0),椭圆上存在点M使F1M→·F2M→=0.
(1)求椭圆离心率e的取值范围.
(2)当离心率e取最小值时,点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为52.
①求此时椭圆G的方程;
②设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G交于不同的两点A,B,Q为AB的中点,问A,B两点能否关于过P0,-33,Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.
【解析】(1)设M(x,y),由F1M→·F2M→=0,得x2+y2=c2,
将y2=b2-b2a2x2代入,
得x2=a2-a2b2c2,
由于0≤x2≤a2,所以0≤a2-a2b2c2≤a2,即c2-b2≥0,即2c2-a2≥0,
即e2≥12,所以22≤e<1.
(2)①当e=22时,设椭圆方程为x22b2+y2b2=1,H(x,y)是椭圆上任一点,
则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18(-b≤y≤b).
若b≥3,则y=-3时,
|HN|max=2b2+18=52,
所以b=4,
此时椭圆方程为x232+y216=1;
若0<b<3,则y=-b时,|HN|max=b+3=52,
所以b=52-3>3,冲突.
综上得椭圆方程为x232+y216=1.
②设直线l的方程为y=kx+m,
由y=kx+m,x232+y216=1
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0.
依据题意,知Δ>0,得m2<32k2+16.
依据根与系数的关系,得
Q-2km1+2k2,m1+2k2,
由kPQ=-1k,得m=1+2k23,
代入m2<32k2+16,
解得k∈-942,0∪0,942.
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