2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第3章-第4讲-定积分的概念与微积分基本定理.docx

第4讲 定积分的概念与微积分基本定理
一、选择题
1．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)．
A. m B. m
C. m D. m
解析　v＝40－10t2＝0，t＝2，(40－10t2)dt＝＝40×2－×8＝(m)．
答案　A
2．已知f(x)＝2－|x|，则－1f(x)dx等于 (　　)．
A．3 B．4 C. D.
解析　f(x)＝2－|x|＝
∴－1f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.
答案　C
3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示， 则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 (　　)．
A. B.
C．2 D.
解析　由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝.
答案　B
4．已知a＝2，n∈N*，b＝x2dx，则a，b的大小关系是(　　)．
A．a>b B．a＝b
C．a<b D．不确定
答案　A
5．下列积分中
①dx；②－2x dx；③dx；
④∫0dx，积分值等于1的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　①＝1，
②＝0，
③dx＝(π22)＝1，
④∫0dx＝∫0(cos x＋sin x)dx
＝(sin x－cos)|0＝1.
答案　C
6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 (　　)．

A. B. C. D.
解析　依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.
答案　D
二、填空题
7．假如10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为______．
解析 由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100x，100xdx＝0.18(J)．
答案 0.18 J
8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为____________．
答案　－ln 2
9．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．则k＝________.
解析　f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1.
答案　0或－1
10．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，则12开放式中各项的系数和为________．
解析　由于f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12开放式中各项的系数和为12＝1.
答案　1
三、解答题
11．已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．
解　∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b.
∴a＋b＝5.①
又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx
＝＝a＋b.
∴a＋b＝.②
解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，
∴dx＝dx＝dx
＝(4x＋3ln x)＝4＋3ln 2.
12．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝.
又抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为
x3＝0，x4＝1－k，所以，
＝∫(x－x2－kx)dx＝
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝，
于是k＝1－ ＝1－.
13．在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
解　面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，
即S1＝t·t2－x2dx＝t3.
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，
即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0时，得t＝0或t＝.
t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.
所以当t＝时，S最小，且最小值为.
14. 已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0<t<1)，直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．
(1)求函数S(t)的解析式；
(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．

解析 (1)由得x2－(t＋1)x＝0，
所以x1＝0，x2＝t＋1.
所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.
由于0<t<1，所以1<t＋1<2.
所以S(t)＝∫[3tx－(3x2－3x)]dx＋t＋1[(3x2－3x)－3tx]dx
＝＋
＝(t＋1)3－6t＋2.
(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，
则h′(x)＝3(x＋1)2－6.
由于m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．
过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，
则3(x0＋1)2－6＝，
化简整理得2x－6x0＋m＝0，其有三个不等实根．
设g(x0)＝2x－6x0＋m，则g′(x0)＝6x－6.
由g′(x0)>0，得x0>1或x0<－1；
由g′(x0)<0，得－1<x0<1，
所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，
所以当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值；
当x0＝1时，函数g(x0)取微小值．
因此，关于x0的方程2x－6x0＋m＝0有三个不等实根的充要条件是
即即－4<m<4.
故实数m的取值范围是(－4,4)．