【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第4章-第4节-三角函数的图像与性质.docx

第四章　第四节

一、选择题
1．(文)函数f(x)＝2sinxcosx是(　　)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
[答案]　C
[解析]　本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性．
f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，最小正周期T＝＝π，
且f(x)是奇函数．
(理)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)在(，)上是增加的
B．f(x)的图像关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
[答案]　B
[解析]　本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π，最大值为1，故C、D错；f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx，为奇函数，其图像关于原点对称，B正确；函数的递增区间为，(k∈Z)排解A．
2．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为(　　)
A．[－1,1]　 B．[－，－1]
C．[－，1]　 D．[－1，]
[答案]　C
[解析]　本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sinx＝t换元转化为t的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2＋t－1，(－1≤t≤1)，明显－≤y≤1，选C．
3．(文)(2022·福建高考)将函数y＝sinx的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图像关于点(－，0)对称
[答案]　D
[解析]　本题考查了正弦函数图像平移变换、余弦函数图像性质．
平移后图像对应函数为y＝sin(x＋)，即y＝cosx，则由y＝cosx图像性质知D正确．
(理)(2022·安徽高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f()＝(　　)
A．　 B．
C．0　 D．－
[答案]　A
[解析]　由题意意f()＝f()＋sin＝f()＋sin＋sin＝f()＋sin＋sin＋sin＝0＋－＋＝.
4．(文)函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是(　　)
A．π，1　 B．π，2
C．2π，1　 D．2π，2
[答案]　A
[解析]　本题考查了挂念角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．
f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，周期T＝π，振幅为1，故选A．
(理)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件　 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　若f(x)是奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，即Acos(ωx＋φ)＋Acos(－ωx＋φ)＝0，整理得cosωxcosφ＝0恒成立，故cosφ＝0，φ＝kπ＋，k∈Z，故“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．
5．已知函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为(　　)
A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z}
B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}
D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－)，
∴f(x)≥1，即2sin(x－)≥1，∴sin(x－)≥，
∴＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z.
解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
6．使f(x)＝sin(2x＋y)＋cos(2x＋y)为奇函数，且在[0，]上是减函数的y的一个值是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　由于f(x)＝2sin(2x＋y＋)是奇函数，
故f(0)＝2sin(y＋)＝0，排解A、C；若y＝，
则f(x)＝2sin2x，在[0，]上是增函数，故D错．
二、填空题
7．比较大小：(1)sin________sin.
(2)cos________cos.
[答案]　(1)>　(2)<
[解析]　(1)∵－<－<－<，
y＝sinx在上是增加的，
∴sin<sin，即sin>sin.
(2)cos＝cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos＝cos.
∵0<<<π，
且函数y＝cosx在[0，π]上是削减的，
∴cos>cos，即cos>cos，
即cos<cos.
8．函数y＝sin(－x)的单调递增区间为________．
[答案]　[＋3kπ，＋3kπ](k∈Z)
[解析]　由y＝sin(－x)，
得y＝－sin(x－)，
由＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得
＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，
故函数的单调递增区间为[＋3kπ，＋3kπ](k∈Z)．
9．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
[答案]　(1,3)
[解析]　f(x)＝sinx＋2|sinx|＝
在同一坐标系中，作出函数f(x)与y＝k的图像可知1<k<3.

三、解答题
10．已知函数f(x)＝－1＋2sinxcosx＋2cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)求f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，
求tan(α＋β)的值．
[解析]　f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，
(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)由sin＝0得2x＋＝kπ(k∈Z)，
即x＝－(k∈Z)，
∴f(x)图像上与原点最近的对称中心坐标是.
(3)由f(α)＝f(β)得：2sin＝2sin，
又∵角α与β不共线，
∴＋＝2kπ＋π(k∈Z)，
即α＋β＝kπ＋(k∈Z)，∴tan(α＋β)＝.

一、选择题
1．已知函数f(x)＝sinωx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为(　　)

A．y＝f　 B．y＝f(2x－1)
C．y＝f　 D．y＝f
[答案]　B
[解析]　由图得，图(2)是将图(1)中的图像先向右平移1个单位，再将全部点的横坐标缩短到原来的倍得到，即y＝f(x)→y＝f(x－1)→y＝f(2x－1)．
2．(文)将函数y＝sinx－cosx的图像沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数的图像关于y轴对称，则a的最小值是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　C
[解析]　∵y＝sinx－cosx＝2sin(x－)，经平移后的函数图像所对应解析式为y＝2sin(x－a－)，它关于y轴对称，∴－a－＝kπ＋，k∈Z.又a>0，由分析可知a的最小值为 .故选C．
(理)(2022·辽宁高考)将函数y＝3sin(2x＋)的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)
A．在区间[，]上单调递减
B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[－，]上单调递减
D．在区间[－，]上单调递增
[答案]　B
[解析]　本题考查三角函数的图像平移、三角函数的单调区间．
y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x＋－π)
＝－3sin(2x＋)．
2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
2kπ－≤2x≤2kπ＋，kπ－≤x≤kπ＋，
∴[kπ－，kπ＋](k∈Z)是减区间，[kπ＋，kπ＋](k∈Z)是增区间．故选B．
二、填空题
3．若直线y＝a与函数y＝sinx，x∈[－2π，2π)的图像有4个交点，则a的取值范围是________．
[答案]　(－1,1)
[解析]　如图所示：

y＝sinx，x∈[－2π，2π)有两个周期，
故若y＝sinx与y＝a有4个交点，则－1<a<1.
4．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，给出下列四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图像关于直线x＝成轴对称图形；
③它的图像关于点(，0)成中心对称图形；
④在区间[－，0)上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)
[答案]　①②⇒③④(也可填①③⇒②④)
[解析]　若①、②成立，则ω＝＝2；令2·＋φ＝kπ＋，k∈Z且|φ|<，故k＝0，∴φ＝.此时f(x)＝sin(2x＋)，当x＝时，sin(2x＋)＝sinπ＝0，∴f(x)的图像关于(，0)成中心对称；又f(x)在[－，]上是增函数，在[－，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.
三、解答题
5．(文)(2022·福建高考)已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．
(1)求f()的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解析]　(1)f()＝2cos(sin＋cos)＝－2cos(－sin－cos)＝2.
(2)由于f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝sin(2x＋)＋1，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(理)(2022·福建高考)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.
(1)若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解析]　(1)∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝
∴f(α)＝(＋)－＝
(2)∵f(x)＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)
∴T＝＝π
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z得
kπ－π≤x≤kπ＋　k∈Z
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－π，kπ＋]k∈Z.
6．(文)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
[解析]　(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
由于f(x)＝＝＝2cosx(sinx－cosx)
＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(理)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
[解析]　(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
由于f(x)＝
＝2cosx(sinx－cosx)
＝sin2x－cos2x－1
＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)和(kπ，kπ＋](k∈Z)．