2021高考数学(文)一轮知能检测：第10章-第3节-二项式定理.docx

第三节　二项式定理

[全盘巩固]
1．在5的二项开放式中，x的系数为(　　)
A．10 B．－10 C．40 D．－40
解析：选D　Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r·25－r·C·x10－3r，
令10－3r＝1，得r＝3.所以x的系数为(－1)3·25－3·C＝－40.
2．在(1＋)2－(1＋)4的开放式中，x的系数等于(　　)
A．3 B．－3 C．4 D．－4
解析：选B　由于(1＋)2的开放式中x的系数为1，(1＋)4的开放式中x的系数为C＝4，所以在(1＋)2－(1＋)4的开放式中，x的系数等于－3.
3．(2021·全国高考)(1＋x)8(1＋y)4的开放式中x2y2的系数是(　　)
A．56 B．84 C．112 D．168
解析：选D　(1＋x)8开放式中x2的系数是C，(1＋y)4的开放式中y2的系数是C，依据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y) 4开放式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168.
4.5的开放式中各项系数的和为2，则该开放式中常数项为(　　)
A．－40 B．－20 C．20 D．40
解析：选D　由题意，令x＝1得开放式各项系数的和为(1＋a)·(2－1)5＝2，∴a＝1.
∵二项式5的通项公式为Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－2r，
∴5开放式中的常数项为x·C(－1)322·x－1＋·C·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40.
5．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－3＝0，则自然数n的值是(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：选B　易知a2＝C，an－3＝(－1)n－3·C＝(－1)n－3C，又2a2＋an－3＝0，所以2C＋(－1)n－3C＝0，将各选项逐一代入检验可知n＝8满足上式．
6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
解析：选D　512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．
7．(2022·杭州模拟)二项式5的开放式中第四项的系数为________．
解析：由已知可得第四项的系数为C(－2)3＝－80，留意第四项即r＝3.
答案：－80
8．(2021·四川高考)二项式(x＋y)5的开放式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．
解析：由二项式定理得(x＋y)5的开放式中x2y3项为Cx5－3y3＝10x2y3，即x2y3的系数为10.
答案：10

9． (2021·浙江高考)设二项式5的开放式中常数项为A，则A＝________.
解析：由于5的通项Tr＋1＝C()5－r·r＝(－1)rCxx－＝(－1)rCx.令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为(－1)3Cx0＝－10.即A＝－10.
答案：－10
10．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)∵(1－2x)7开放式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－ (a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
11．若某一等差数列的首项为C－A，公差为m的开放式中的常数项，其中m是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．
解：设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn.
由已知得又n∈N*，∴n＝2，
∴C－A＝C－A＝C－A＝－5×4＝100，∴a1＝100.
∵7777－15＝(76＋1)77－15
＝7677＋C·7676＋…＋C·76＋1－15
＝76(7676＋C·7675＋…＋C)－14
＝76M－14(M∈N*)，
∴7777－15除以19的余数是5，即m＝5.
∴m的开放式的通项是Tr＋1＝C·5－rr＝(－1)rC5－2rxr－5(r＝0,1,2,3,4,5)，
令r－5＝0，得r＝3，代入上式，得T4＝－4，即d＝－4，从而等差数列的通项公式是an＝100＋(n－1)×(－4)＝104－4n.
设其前k项之和最大，则解得k＝25或k＝26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，
S25＝S26＝×25＝×25＝1 300.
12．从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{r|r∈N，r≤n}．
(1)证明：f(r)＝f(r－1)；
(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(a＋b)n的开放式中最中间一项的二项式系数最大．
解：(1)证明：∵f(r)＝C＝，f(r－1)＝C＝，
∴f(r－1)＝·＝.
则f(r)＝f(r－1)成立．
(2)设n＝2k，∵f(r)＝f(r－1)，f(r－1)>0，∴＝.
令f(r)≥f(r－1)，则≥1，则r≤k＋(等号不成立)．
∴当r＝1,2，…，k时，f(r)>f(r－1)成立．
反之，当r＝k＋1，k＋2，…，2k时，f(r)<f(r－1)成立．
∴f(k)＝C最大，即(a＋b)n的开放式中最中间一项的二项式系数最大．
[冲击名校]
1．(2021·新课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的开放式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选D　已知(1＋ax)(1＋x)5的开放式中，x2的系数为C＋aC＝5，则a＝－1.
2．(2022·湖州模拟)6的开放式中的系数为－12，则实数a的值为________．
解析：二项式6开放式中第r＋1项为Tr＋1＝C·(2)6－rr＝C·26－r·ar·x3－r，当3－r＝－2，即r＝5时，含有的项的系数是C·2·a5＝－12，解得a＝－1.