【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章-拓展资料：高考中导数问题的六大热点.docx

高考中导数问题的六大热点
由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题供应了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考占有较为重要的地位，其考查重点是导数推断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，下面例析导数的六大热点问题，供参考．
一、运算问题
例1已知函数，求导函数．
分析：用商的导数及复合函数导数的运算律即可解决．
解：

．
评注：对于导数运算问题关键是记清运算法则．主要是导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数法则等．
二、切线问题
例2设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
分析：由垂直关系可得切线的斜率为－，又k＝，即可求出a的值．
解：，∴切线的斜率，由垂直关系，有，解得．
评注：是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特殊是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：
(1) 曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的斜率k，倾斜角为，则tan＝k＝．
(2)其切线l的方程为：y＝y0＋(x－x0)．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x＝x0．
三、单调性问题
例3已知函数，．
（Ⅰ）争辩函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
分析：对于第(1)小题，求导后利用f '(x)＞0或＜0，解不等式即得单调区间；而(2)转化为＜0在上恒成马上可．
解：（1）求导：．
当时，，，在上递增．
当，求得两根为，
即在递增，递减，
递增．
（2）若函数在区间内是减函数，则两根在区间外，即，解得a≥2，故取值范围是[2，＋∞)．
评注：一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．假如f '(x)＞0，则f(x)为增函数；假如f '(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：
①运用导数推断单调区间；
②证明单调性；
③已知单调性求参数；
④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题．
四、极值问题
例4已知函数其中n∈N*,a为常数．当n=2时，求函数f(x)的极值；
分析：运用导数先确定函数的单调性，再求其极值．
解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，
当n=2时，
所以
(1)当a＞0时，由＝0，得＞1，＜1，
此时 f′（x）=.
当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；
当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.
（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.
综上所述，n=2时，
当a＞0时，f(x)在处取得微小值，微小值为当a≤0时，f(x)无极值．
评注：运用导数解决极值问题．一般地，当函数f(x)在x0处连续，判别f(x0)为极大(小)值的方法是：
⑴ 若＝0，且在x0四周的左侧＞0，右侧＜0，那么f(x0)是极大值，
⑵ 假如在x0四周的左侧＜0，右侧＞0，那么f(x0)是微小值．
五、最值问题
例5 求函数f(x)＝x4－2x2＋5在[－2，2]上的最大值与最小值．
分析：可先求出导数及极值点，再计算．
解： ＝4x3－4x，令＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，均在(－2，2)内．
计算f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝4，f(－2)＝13，f(2)＝13．
通过比较，可见f(x) 在[－2，2]上的最大值为13，最小值为4．
评注：运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：
若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则
⑴ 求，令＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点及导数不存在的点．
⑵ 比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值．

六、应用问题
例6 用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，假如所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
分析：本小题主要考查应用所学导数的学问、思想和方法解决实际问题的力气，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础学问．
解：设容器底面短边长为m，则另一边长为 m，高为
．
由和，得，
设容器的容积为，则有
．
即，
令，有，
即，解得，（不合题意，舍去）.
当x＝1时，y取得最大值，即，
这时，高为.
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为．