2021高考数学(人教通用-理科)二轮专题整合：规范练5.docx

1．如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．

(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．
解　(1)由题意，可得e＝＝，将(1，)代入＋＝1，得＋＝1，又a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，c＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线BD的方程为y＝x＋m，又A、B、D三点不重合，所以m≠0.设D(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
所以Δ＝－8m2＋64＞0，∴－2＜m＜2，
x1＋x2＝－m①，x1x2＝②.
设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD，
则kAD＋kAB＝＋＝＋＝2＋m·(*)．
将①②式代入(*)，
得2＋m＝2－2＝0，
所以kAD＋kAB＝0，即直线AB、AD的斜率之和为定值0.
2．椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P.过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．
解　(1)依题意有又由于a2＝b2＋c2，所以.
故椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线AC：y＝k1x，直线BD：y＝k2x，A(xA，yA)，C(xC，yC)．
联立，得方程(2k＋1)x2－2＝0，x＝x＝，
故|OA|＝|OC|＝·.
同理，|OB|＝|OD|＝·.
又由于AC⊥BD，所以|OB|＝|OD|＝·，其中k1≠0.
从而菱形ABCD的面积S＝2|OA|·|OB|＝2···，
整理得S＝4，其中k1≠0.故当k1＝1或－1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为.
3．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.
(1)求椭圆方程；
(2)求m的取值范围．
解　(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上 ，
设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，即
则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0，
由根与系数的关系知
又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．
∴－x1＝2x2，∴
∴＝－22，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝＞0，
得＜m2＜4，此时Δ＞0.
∴m的取值范围为∪.
4．已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.
(1)求曲线M的方程；
(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．
解　(1)由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，
所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)，

设曲线M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，
则a2＝4，b2＝a2－()2＝3，
所以曲线M：＋＝1(y≠0)为所求．
(2)留意到直线BC的斜率不为0，且过定点B(1,0)，

设lBC：x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由
消x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，所以y1,2＝，
所以
由于＝(my1＋2，y1)，＝(my2＋2，y2)，所以·＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4
＝－－＋4＝.
留意到点A在以CD为直径的圆上，所以·＝0，即m＝±，所以直线BC的方程3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0为所求．