【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第3章-第1节-导数及导数的运算.docx

第三章　第一节

一、选择题
1．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为(　　)
A．(－1,1)　 B．(－1，－1)
C．(1,1)或(－1，－1)　 D．(1，－1)
[答案]　C
[解析]　y′＝3x2，∴3x2＝3.
∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)
A．－1　 B．－2
C．2　 D．0
[答案]　B
[解析]　∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
3．(文)(2022·黄石模拟)已知f(x)＝xlnx，若f ′(x0)＝2，则x0＝(　　)
A．e2　 B．e
C．　 D．ln2
[答案]　B
[解析]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝lnx＋1，
由f ′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
(理)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在其次象限，则函数f ′(x)的图像是(　　)

[答案]　C
[解析]　由题意可知在其次象限
⇒⇒b>0，又f ′(x)＝2x＋b，故选C．
4．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　)
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数
D．f(x)＋g(x)为常数函数
[答案]　C
[解析]　由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
5．(文)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N，则f2 015(x)等于(　　)
A．sinx　 B．－sinx
C．cosx　 D．－cosx
[答案]　D
[解析]　∵fn(x)＝fn＋4(x)，∴f2 015(x)＝f3(x)＝－cosx.
(理)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26　 B．29
C．212　 D．215
[答案]　C
[解析]　∵{an}是等比数列，且a1＝2，a8＝4，
∴a1·a2·a3·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212.
∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
∴f′(0)等于f(x)中x的一次项的系数．
∴f′(0)＝a1·a2·a3·…·a8＝212.
6．(文)已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(0,0)　 B．(1,1)
C．(0,1)　 D．(1,0)
[答案]　D
[解析]　由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f ′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．
(理)若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)
A．　　　　　 B．0
C．钝角　　　　　 D．锐角
[答案]　C
[解析]　f ′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝exsin(x＋)．
f ′(4)＝e4sin(4＋)＜0，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角，故选C．
二、填空题
7．(文)已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值为________．
[答案]　
[解析]　f ′(x)＝3ax2＋6x，
又∵f ′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
(理)若函数f(x)＝x3－f ′(－1)·x2＋x＋5，则f ′(1)＝________.
[答案]　6
[解析]　∵f(x)＝x3－f ′(－1)x2＋x＋5，
∴f ′(x)＝x2－2f ′(－1)x＋1，
∴f ′(－1)＝(－1)2－2f ′(－1)(－1)＋1，
解得f ′(－1)＝－2.
∴f ′(x)＝x2＋4x＋1，∴f ′(1)＝6.
8．(文)(2022·广东高考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
[答案]　5x＋y＋2＝0
[解析]　本题考查导数的几何意义及直线方程．
∵y′＝－5ex，∴y′|x＝0＝－5，∴k＝－5，
∴切线方程y＝－5x－2.
(理)(2022·广东高考)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．
[答案]　y＝－5x＋3
[解析]　本题考查导数的几何意义及直线方程求法．
∵y＝e－5x＋2，∴y′＝－5e－5x|x＝0＝－5.
∴k＝－5，又过点(0,3)，
∴切线方程y－3＝－5x，
∴y＝－5x＋3.
9．(文)函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝________.
[答案]　
[解析]　∵f(x)＝，f ′(x)＝，切线斜率f ′(x0)＝＝0，∴x0＝e，∴f(x0)＝f(e)＝.
(理)(2021·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
[答案]　2
[解析]　∵f(ex)＝x＋ex，∴f(x)＝x＋lnx，f ′(x)＝1＋，∴f′(1)＝1＋1＝2.
三、解答题
10．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[分析]　(1)在点P处的切线以点P为切点．
(2)过点P的切线，点P不愿定是切点，需要设出切点坐标．
[解析]　(1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，
则切线的斜率k＝y′＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0.∴x＋x－4x＋4＝0.
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.

一、选择题
1．(文)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)
A．64　 B．32
C．16　 D．8
[答案]　A
[解析]　求导得y′＝－x－(x>0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a－，由点斜式，得切线l的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a－，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.
(理)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围为(　　)
A．[－2,2]　 B．[，]
C．[，2]　 D．[，2]
[答案]　D
[解析]　∵f ′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，
∴f ′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.
∵θ∈，∴θ＋∈.
∴sin∈，
∴f ′(1)∈[，2]，故选D．
2．(文)(2021·南昌质检)若函数f(x)＝excosx，则此函数图像在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)
A．0　 B．锐角
C．直角　 D．钝角
[答案]　D
[解析]　由已知得：f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．
∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．
∵>1>.
而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.
∴f′(1)<0.
即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.
∴切线的倾斜角是钝角．
(理)(2021·哈师大附中高三月考)已知函数f(x)＝xn＋1(n∈N*)的图像与直线x＝1交于点P，若曲线f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 015x1＋log2021x2＋…＋log2021x2022的值为(　　)
A．1－log20212022　 B．－1
C．－log20212022　 D．1
[答案]　B
[解析]　由于函数f(x)＝xn＋1(n∈N*)的图像与直线x＝1交于点P，所以P(1,1)．
由于f(x)＝xn＋1，所以f′(x)＝(n＋1)xn，则f′(1)＝n＋1，即切线的斜率为n＋1，故曲线f(x)在P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得x＝，即该切线与x轴的交点的横坐标为xn＝，所以log2021x1＋log2021x2＋…＋log2021x2022
＝log2021(×××…×)＝log2021＝－1.
二、填空题
3．(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
[答案]　－3
[解析]　本题考查导数的几何意义．
曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，则4a＋＝－5 ①
又y′＝2ax－，所以4a－＝－ ②
由①②解得所以a＋b＝－3.
4．(文)若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
[答案]　6
[解析]　∵f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，
∴f′(x)＝x2－2f′(－1)·x＋1，
将x＝－1代入上式得f′(－1)＝1＋2f′(－1)＋1，
∴f′(－1)＝－2，再令x＝1，得f′(1)＝6.
(理)点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
[答案]　
[解析]　作直线y＝x－2的平行线使其与曲线y＝x2－lnx相切，则切点到直线y＝x－2的距离最小．
由y′＝2x－＝1，得x＝1，或x＝－(舍去)．
∴切点为(1,1)，它到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝＝.
三、解答题
5．(文)求下列函数的导数
(1)y＝sinxcosx
(2)y＝x2ex
(3)y＝(＋1)(－1)
(4)y＝sin(1－2cos2)
[解析]　(1)y′＝(sinx)′cosx＋sinx(cosx)′＝cosxcosx－sinxsinx＝cos2x.
(2)y′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(x2＋2x)ex.
(3)∵y＝1－＋－1＝－x＋x－
∴y′＝－x－－x－＝－x－(1＋x－1)＝－(1＋)．
(4)∵y＝sin(－cos)＝－sinx
∴y′＝(－sinx)′＝－cosx.
(理)求下列函数的导数：
(1)y＝ex·lnx
(2)y＝x(x2＋＋)
(3)y＝sin2(2x＋)
(4)y＝ln(2x＋5)．
[解析]　(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex(lnx＋)．
(2)∵y＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋，
则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2
＝4sin(2x＋)·cos(2x＋)＝2sin(4x＋)．
(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，
∴y′＝·(2x＋5)′＝.
6．(文)已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．
[解析]　(1)由f(x)＝x3－3x得f ′(x)＝3x2－3，
过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，
∴所求的直线方程为y＝－2.
(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x－3.
又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为 ＝，
又＝3x－3，
即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－，
∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.
(理)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解析]　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f ′(x)＝a＋.
于是解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.