【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第13章-选修4-5-第2节-不等式的证明.docx
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第十三章 选修4-5 其次节 一、选择题 1.若实数x,y适合不等式xy>1,x+y≥-2,则( ) A.x>0,y>0 B.x<0,y<0 C.x>0,y<0 D.x<0,y>0 [答案] A [解析] x,y异号时,明显与xy>1冲突,所以可排解C、D.假设x<0,y<0,则x<. ∴x+y<y+≤-2与x+y≥-2冲突,故假设不成立. 又xy≠0,∴x>0,y>0. 2.已知x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则M与N的大小关系是( ) A.M≥N B.M≤N C.M=N D.不能确定 [答案] A [解析] M-N=x2+y2+1-(x+y+xy) =[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)] =[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故M≥N. 3.(2022·南昌第一次模拟)若x>1,则函数y=x++的最小值为( ) A.16 B.8 C.4 D.非上述状况 [答案] B [解析] y=x++=x++≥2=8,当且仅当x=2+时等号成立. 二、填空题 4.若<<0,则下列四个结论: ①|a|>|b|;②a+b<ab;③+>2;④<2a-B. 其中正确的是________. [答案] ②③④ [解析] 取特殊值a=-1,b=-2, 代入验证得②③④正确. 5.若T1=,T2=,则当s,m,n∈R+时,T1与T2的大小为________. [答案] T1≤T2 [解析] 由于-=s·=≤0. 所以T1≤T2. 6.设0<x<1,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是________. [答案] c [解析] 由a2=2x,b2=1+x2+2x>a2,a>0,b>0, 得b>A. 又c-b=-(1+x)==>0, 得c>b,知c最大. 三、解答题 7.已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<, 求证:|y|<. [解析] 由于3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)| ≤2|x+y|+|2x-y|, 由题设知|x+y|<,|2x-y|<, 从而3|y|<+=,所以|y|<. 8.(2022·新课标Ⅰ)若a>0,b>0,且+= (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. [解析] (1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立. 故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立. 所以a3+b3的最小值为4. (2)由(1)知,2a+3b≥2≥4. 由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6. 一、选择题 1.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是( ) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M<N [答案] B [解析] 取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,明显a3+(a+1)3+(a+2)3是挨次和;而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,“挨次和”大于“乱序和”.故应选B. 2.若长方体从一个顶点动身的三条棱长之和为3,则其对角线的最小值为( ) A.3 B. C. D. [答案] B [解析] 不妨设长方体同一顶点动身的三条棱长分别为a,b,c,则a+b+c=3,其对角线长l=≥=,当且仅当a=b=c=1时,对角线长取得最小值,故选B. 3.(2021·黄冈模拟)若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立,则a的取值范围是( ) A.[,1] B.[,1] C.[,] D.[,2] [答案] B [解析] 由已知对任意t∈(0,2]恒成立, 于是只要当t∈(0,2]时, 记f(t)=t+,g(t)=+2()2,可知两者都在(0,2]上的单调递减,f(t)min=f(2)=,g(t)min=g(2)=1, 所以a∈[,1],选B. 二、填空题 4.设x>0,y>0,M=,N=+,则M、N的大小关系是________. [答案] M<N [解析] N=+>+==M. 5.若a,b∈R+,且a≠b,M=+,N=+,则M、N的大小关系为________. [答案] M>N [解析] ∵a≠b,∴+>2,+>2, ∴+++>2+2. ∴+>+.即M>N. 6.(2022·陕西高考)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________. [答案] [解析] 解法1:在平面直角坐标系aob中,由条件知直线ma+nb=5与圆a2+b2=5有公共点, ∴≤,∴≥, ∴的最小值为. 解法2:由柯西不等式:·≥ma+nb, ∴≥=. 三、解答题 7.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈R+,且++=m. 求证:a+2b+3c≥9. [分析] (1)应用确定值不等式的解法确定m的值; (2)利用柯西不等式证明. [解析] (1)由于f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤m, 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1. (2)证法一:由(1)++=1,又a,b,c∈R+, a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=1+1+1++++++≥3+2+2+2=9. 证法二:由(1)知++=1,又a,b,c∈R+, 由柯西不等式得 a+2b+3c=(a+2b+3c)(++) ≥(·+·+·)2=9. 8.(2022·广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求a1的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有++…+<. [解析] (1)令n=1得:S-(-1)S1-3×2=0, 即S+S1-6=0,∴(S1+3)(S1-2)=0, ∵S1>0,∴S1=2,即a1=2. (2)由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,得: (Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0, ∵an>0(n∈N*),Sn>0,从而Sn+3>0,∴Sn=n2+n, ∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n, 又a1=2=2×1,∴an=2n(n∈N*). (3)当k∈N*时,k2+>k2+-=(k-)(k+), ∴==·<· =· =·[-] ∴++…+ <[(-)+(-)+…+-]=(-) =-<.- 配套讲稿:
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