2021高考数学(人教通用-文科)二轮专题训练：大题综合突破练：三角函数与解三角形.docx

规范练(一)　三角函数与解三角形
1．已知函数f(x)＝sin ωx－sin2＋(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最值．
解　(1)f(x)＝sin ωx－＋＝sin ωx＋cos ωx＝sin ，由于f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin ，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)的最大值为1，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)的最小值为－.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A＝，sin B＝3sin C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解　(1)由于A＝，所以B＋C＝，故sin ＝3sin C，所以cos C＋sin C＝3sin C，即cos C＝sin C，得tan C＝.
(2)由＝，sin B＝3sin C，得b＝3c.
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9c2＋c2－2×(3c)×c×＝7c2，又∵a＝，∴c＝1，b＝3，所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝.
3．已知向量m＝(cos A，－sin A)，n＝(cos B，sin B)，m·n＝cos 2C，其中A，B，C为△ABC的内角．
(1)求角C的大小；
(2)若AB＝6，且·＝18，求AC，BC的长．
解　(1)m·n＝cos Acos B－sin Asin B＝cos (A＋B)，由于A＋B＋C＝π，所以cos (A＋B)＝－cos C＝cos 2C，
即2cos2C＋cos C－1＝0，
故cos C＝或cos C＝－1.
又0＜C＜π，所以C＝.
(2)由于·＝18，所以CA·CB＝36，①
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ，及AB＝6和①得，AC＋BC＝12，②
由①②解得AC＝6，BC＝6.
4．已知向量m＝(sin x,1)，n＝(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
解　(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x
＝A＝Asin .
由于A＞0，由题意知A＝6.
(2)由(1)得f(x)＝6sin .
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到
y＝6sin ＝6sin 的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin 的图象；
因此g(x)＝6sin .
由于x∈，所以4x＋∈，
故g(x)在上的值域为[－3,6]．