2021高考数学(福建-理)一轮作业：13.3-直接证明与间接证明.docx

§13.3 直接证明与间接证明
一、选择题
1.“全部9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理(　　)
A 小前提错　　　　　　 B 结论错
C 正确 D 大前提错
解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.
答案 C
2．在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不行能都大于1”时，反证时假设正确的是(　　)
A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于1
B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1
C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于1
D．以上都不对
解析 “不行能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.
答案 B
3．下列命题中的假命题是(　　)．
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四周体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数
解析　a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．
答案　D
4．命题“假如数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}确定是等差数列”是否成立(　　)．
A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定
解析　∵Sn＝2n2－3n，
∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．
又∵an＋1－an＝4(n≥1)，
∴{an}是等差数列．
答案　B
5．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋(　　)．
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析　∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋
≥6，
当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案　D
6．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.
答案 A
7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝ (　　)．
A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2
解析　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝n.
答案　A
二、填空题
8.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为　　　　.
解析 由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”.
答案 a、b都不能被3整除
9．要证明“＋＜2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．
①反证法，②分析法，③综合法．
答案　②
10．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)
解析 若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2冲突，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案 ③
11．假如a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．
解析　首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.
要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，
即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，
即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.
答案　a≥0，b≥0且a≠b
12．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列推断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中推断正确的是_______．
解析 ①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，
如a＝1，b＝2，c＝3.选C.
答案 ①②
三、解答题
13．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．
解析 A、B、C成等差数列．
证明如下：
∵＋＝，
∴＋＝3.
∴＋＝1，
∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
∴b2＝a2＋c2－ac.
在△ABC中，由余弦定理，得
cosB＝＝＝，
∵0°<B<180°，∴B＝60°.
∴A＋C＝2B＝120°.
∴A、B、C成等差数列．
14．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
证明　a⊥b⇔a·b＝0，
要证≤.
只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即(|a|－|b|)2≥0，
上式明显成立，故原不等式得证．
15．若a、b、c是不全相等的正数，求证：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴··＞abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg＞lg(abc)，
∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
16．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－2＜b＜－1.
解析 (1)证明　∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根．
(2)假设＜c，又＞0，
由0＜x＜c时，f(x)＞0，
知f＞0与f＝0冲突，∴≥c，
又∵≠c，∴＞c.
(3)证明　由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a＞0，c＞0，∴b＜－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝＜＝x2＝，
即－＜.又a＞0，
∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.