椭圆的简单几何性质系列上课市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

椭圆简单几何性质椭圆简单几何性质1第1页椭圆定义图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标 a,b,c关系 焦点位置判断F F1 1(-c,0)(-c,0)，F F2 2(c,0)(c,0)F F1 1(0,-c)(0,-c)，F F2 2(0,c)(0,c)椭圆分母看大小焦点伴随大跑椭圆分母看大小焦点伴随大跑椭圆分母看大小焦点伴随大跑椭圆分母看大小焦点伴随大跑1 12 2yoFFMx1oFyx2FMcabM第2页椭圆椭圆 简单几何性质简单几何性质范围：范围：-axa,-byb 椭圆落在椭圆落在x=a,y=b组成矩形中（如图）组成矩形中（如图）oyB2B1A1A2F1F2cab1.观察：观察：x,y范围？范围？2.思索：怎样用代数思索：怎样用代数方法解释方法解释x,y范围？范围？-axa,-byb 一一.范围范围第3页二、椭圆顶点二、椭圆顶点令令 x=0 x=0，得，得 y=y=？，？，说明椭圆与说明椭圆与 y轴交点（轴交点（），），令令 y=0y=0，得，得 x=x=？,说明椭圆与说明椭圆与 x轴交点（轴交点（）。）。*顶点顶点：椭圆与它对称轴椭圆与它对称轴四个交点，叫做椭圆顶点。四个交点，叫做椭圆顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,ba,0*长轴长轴、短轴短轴：线段线段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆长分别叫做椭圆长轴和短轴。轴和短轴。a a、b b分别叫做椭圆分别叫做椭圆长半轴长半轴长长和和短半轴长短半轴长。焦点总在长轴上焦点总在长轴上!第4页三三.椭圆对称性椭圆对称性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y）把把(X)换成换成(-X),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于()轴对称；轴对称；把把(Y)换成换成(-Y),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于()轴对称；轴对称；把把(X)换成换成(-X),(Y)换成换成(-Y),方程还是不变方程还是不变,说明椭圆关说明椭圆关于于()对称；对称；Y X 原点原点 所以，所以，坐标轴是椭圆对坐标轴是椭圆对称轴，原点是椭称轴，原点是椭圆对称中心。圆对称中心。第5页123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x练习：依据前面所学相关知识画出以下图形练习：依据前面所学相关知识画出以下图形（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 第6页四四、椭圆离心率、椭圆离心率离心率：离心率：椭圆焦距与长轴长比：椭圆焦距与长轴长比：叫做椭圆离心率。叫做椭圆离心率。11离心率取值范围：离心率取值范围：1 1）e e 越靠近越靠近 1 1，c c 就越靠近就越靠近 a a，从而，从而 b b就越小，就越小，椭圆就越扁椭圆就越扁因为因为 a c 0a c 0，所以，所以0e 10e b)(ab)知识归纳知识归纳a2=b2+c2 第8页标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a、b、c关系关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(ab)(b,0)(b,0)、(-b,0)(-b,0)、(0,a)(0,a)、(0,-a)(0,-a)(0,c)(0,c)、(0,-(0,-c)c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(ab)-a x a,-b y b-a y a,-b x b-a y a,-b x ba2=b2+c2 a2=b2+c2第9页例题例题1:1:求椭圆求椭圆 9 x9 x2 2+4y+4y2 2=36=36长轴和短轴长、长轴和短轴长、离心离心 率、焦点和顶点坐标。率、焦点和顶点坐标。椭圆长轴长是椭圆长轴长是:离心率离心率:焦点坐标是焦点坐标是:四个顶点坐标是四个顶点坐标是:椭圆短轴长是椭圆短轴长是:2a=62b=4解题步骤：解题步骤：1 1、将椭圆方程转化为标准方程求、将椭圆方程转化为标准方程求a a、b b：2 2、确定焦点位置和长轴位置、确定焦点位置和长轴位置.解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程四、例题讲解：四、例题讲解：第10页练习练习:求椭圆求椭圆 16 x16 x2 2+25y+25y2 2=400=400长轴和短长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标。轴长、离心率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程椭圆长轴长是椭圆长轴长是:离心率离心率:焦点坐标是焦点坐标是:四个顶点坐标是四个顶点坐标是:椭圆短轴长是椭圆短轴长是:2a=102b=8第11页例例2:2:求适合以下条件椭圆标准方程：求适合以下条件椭圆标准方程：（1 1）经过点）经过点（-3-3，0 0）、）、（0 0，-2-2）；）；解：解：方法一：方法一：设椭圆方程为设椭圆方程为mxmx2 2nyny2 21 1（m m0 0，n n0 0，mnmn），），将点坐标代入方程，求出将点坐标代入方程，求出m m1/9,n1/9,n1/41/4。所所以椭圆标准方程为以椭圆标准方程为 方法二：方法二：利用椭圆几何性质，以坐标轴为对称轴椭圆与利用椭圆几何性质，以坐标轴为对称轴椭圆与坐标轴交点就是椭圆顶点，于是焦点在坐标轴交点就是椭圆顶点，于是焦点在x x轴上，且点轴上，且点P P、Q Q分别是椭圆长轴与短轴一个端点，故分别是椭圆长轴与短轴一个端点，故a a3 3，b b2 2，所以，所以椭圆标准方程为椭圆标准方程为 （2 2）离心率为）离心率为 ，经过点（，经过点（2,02,0）第12页练习：练习：椭圆一个顶点为 ,其长轴长是短轴长2倍，求椭圆标准方程分析：分析：题目没有指出焦点位置，要考虑两种位置 椭圆标准方程为：；椭圆标准方程为：；解：解：（1）当 为长轴端点时，（2）当 为短轴端点时，,，总而言之，椭圆标准方程是 或 第13页椭圆简单几何性质椭圆简单几何性质2第14页标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a、b、c关系关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(ab)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(ab)-a x a,-b y b-a y a,-b x ba2=b2+c2 a2=b2+c2第15页二.离心率常见题型及解法题型一：定义法例1.已知椭圆方程为 +=1，求椭圆离心率；1.1.直接算出直接算出a a、c c带公式求带公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.2.几何意义：几何意义：e e为为OPFOPF2 2正弦值正弦值第16页3.3.已知已知a a2 2、c c2 2直接求直接求e e2 2 变式训练1：若椭圆 +=1离心率为1/2，求m值.4.4.已知已知a a2 2、b b2 2不算不算c c直接求直接求e e 第17页题型二：方程法例2.依据a,b,c,e关系，结构关于a,c,齐次式，解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0eb0)+=1(ab0)三个顶点为三个顶点为B B1 1 (0(0，-b)-b)，B B2 2(0(0，b),A(a,0),b),A(a,0),焦点焦点F(c,0)F(c,0)且且B B1 1FFABAB2,2,求该椭圆离心率。求该椭圆离心率。B B2 2(0(0，b)b)B B1 1(0(0，-b)-b)A(a,0)A(a,0)F(c,0)F(c,0)x xoy y第21页 练习 2：已知一椭圆短轴长与焦距长相等，求椭圆离心率。第22页五.小结1.知识点：求离心率两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c关系；（2）方程法:依据题上相等关系，结构关于a,c齐次式，解出e.2.思想方法：方程思想，转化思想第23页高考链接（新课标全国卷）设F1和F2是椭圆 +=1(ab0)左、右焦点，P为直线 x=上一点，F2 P F1是底角为30等腰三角形，求该椭圆离心率。F2(c,0)xoyF F1 1(-(-c,0)c,0)x=3a/2x=3a/2P302c2cc2c=3a/22c=3a/2第24页六.课后练习2.设椭圆两个焦点分别为F1和F2，过F2作椭圆长轴垂线交椭圆于点P，若为F2PF1等腰直角三角形，求椭圆离心率.1.若一个椭圆长轴长度、短轴长度和焦距长成等差数列，求该椭圆离心率.3.3.已知椭圆两个焦点为已知椭圆两个焦点为F F1 1和和F F2 2，A A为椭圆上一为椭圆上一点点 ，且，且AFAF1 1AFAF2 2，AFAF1 1F F2 2=60=60，求该椭圆，求该椭圆离心率。离心率。第25页1.1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为，长轴长为6 6，则椭圆方程则椭圆方程 为为（）(A)(B)(C)(D)或或或或C2.若某个椭圆长轴、短轴、焦距依次成等差若某个椭圆长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率数列，则其离心率e=_第26页已知椭圆 离心率 ，求 值 由 ，得：解：解：当椭圆焦点在 轴上时，得 当椭圆焦点在 轴上时，得 由 ，得 ，即 满足条件 或 练习2：已知椭圆 离心率 ，求 值 第27页练习3：第28页例例4 4：点点M(x,y)M(x,y)与定点与定点F(4,0)F(4,0)距离和它到定直线距离和它到定直线l l:x=:x=距离比是常数距离比是常数 ，求点，求点M M轨迹轨迹。xyoFMlF1l(椭圆第二定义椭圆第二定义)准线方程：准线方程：第29页 解：解：如图，设如图，设d是点是点M到直线到直线L距离，依据题意，所求轨迹距离，依据题意，所求轨迹集合是：集合是：由此得由此得：这是一个椭圆标准方程，所以点这是一个椭圆标准方程，所以点M轨迹轨迹是长轴、短轴分别是是长轴、短轴分别是2a、2b椭圆。椭圆。点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）距离）距离 和它到定直线和它到定直线距离比是常数距离比是常数求求M点轨迹。点轨迹。平方，化简得平方，化简得：第30页若点若点F F是定直线是定直线l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F距离距离与它与它到直线到直线l l距离距离之之比比等于常数等于常数e e(0(0e e1)1)，则点，则点M M轨迹是椭圆轨迹是椭圆.M MF FH Hl新知探究新知探究动画动画第二定义第二定义第31页 直线直线 叫做椭圆对应于焦叫做椭圆对应于焦点点F F2 2(c(c，0)0)准线准线，对应于焦点，对应于焦点F F1 1(c c，0)0)准线方程是准线方程是O Ox xy yF F2 2F F1 1新知探究新知探究第32页椭圆准线与离心率椭圆准线与离心率离心率离心率：椭圆准线椭圆准线 ：oxyMLLFF离心率范围离心率范围：相对应焦点相对应焦点F F（c,0c,0），准线是：），准线是：相对应焦点相对应焦点F F（-c,0-c,0），准线是：），准线是：第33页1.1.基本量基本量:a a、b b、c c、e e、几何意义：几何意义：a a-长长半半轴、轴、b b-短短半半轴、轴、c c-半焦距，半焦距，e e-离心率；离心率；相互关系：相互关系：椭圆中基本元素椭圆中基本元素2.2.基本点：基本点：顶点、焦点、中心顶点、焦点、中心3.3.基本线基本线:对称轴对称轴（共两条线），（共两条线），准线准线焦点总在长轴上焦点总在长轴上!课堂小结课堂小结-准线准线第34页 1 椭圆椭圆 +=1+=1 上一点上一点P P到到右准线距离为右准线距离为10,10,则则:点点P P到左焦点到左焦点距离为距离为()()A.14 B.12 C.10 D.8 A.14 B.12 C.10 D.8第35页第36页【答案】6第37页第38页第39页例3：第40页变式变式第41页1.若椭圆两个焦点把两准线间距离三等分若椭圆两个焦点把两准线间距离三等分,则则:离心率离心率e=_2离心率离心率e=,且两准线间距离为且两准线间距离为4椭圆椭圆标准方程为标准方程为_3.若椭圆短轴长为若椭圆短轴长为2,长轴是短轴长轴是短轴2倍倍,则则:中心到准线中心到准线距离为距离为()A.B.C.D.4.离心率离心率e=,一条准线方程为一条准线方程为x=-求标准方程求标准方程第42页椭圆简单几何性质椭圆简单几何性质3第43页直线与椭圆位置关系直线与椭圆位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)第44页 直线与椭圆位置关系判定代数方法代数方法第45页1.1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.2.判别方法判别方法(代数法代数法)联立直线与椭圆方程联立直线与椭圆方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0(1)0直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点；(2)=0(2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点；(3)0(3)0 直线与椭圆相离直线与椭圆相离无公共点无公共点通法通法知识点知识点1.1.直线与椭圆位置关系直线与椭圆位置关系第46页例例1：直线：直线y=x+1与椭圆与椭圆 恒有公共点恒有公共点,求求m取值范围。取值范围。题型一：直线与椭圆位置关系题型一：直线与椭圆位置关系变式练习变式练习：y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，恰有公共点，则则m范围（范围（）A、（、（0，1）B、（、（0，5）C、1，5）（5，+）D、（、（1，+）第47页练习练习1.K1.K为何值时为何值时,直线直线y=kx+2y=kx+2和曲线和曲线2x2x2 2+3y+3y2 2=6=6有两有两个公共点个公共点?有一个公共点有一个公共点?没有公共点没有公共点?练习练习2.2.不论不论k k为何值为何值,直线直线y=kx+2y=kx+2和曲线和曲线交点情况满足交点情况满足()()A.A.没有公共点没有公共点 B.B.一个公共点一个公共点C.C.两个公共点两个公共点 D.D.有公共点有公共点D第48页lmm第49页 oxy第50页 oxy思索：最大距离是多少？第51页设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P P1 1(x(x1 1,y,y1 1)，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2)两点，直线两点，直线P P1 1P P2 2斜率为斜率为k k弦长公式：弦长公式：知识点知识点2：弦长公式：弦长公式可推广到任意二次曲线第52页例例3 3：已知斜率为已知斜率为1 1直线直线L L过椭圆过椭圆 右焦点，交椭圆于右焦点，交椭圆于A A，B B两点，求弦两点，求弦ABAB之长之长第53页第54页第55页例例5 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线方程平分，求此弦所在直线方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来结构韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来结构知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题第56页例例 5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线方程平分，求此弦所在直线方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差结构点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差结构 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差第57页知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差结构出中点坐标和斜率差结构出中点坐标和斜率第58页直线和椭圆相交相关弦中点问题，惯用设而不求思想方法 第59页例例5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线方程平分，求此弦所在直线方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点直线有且只有一条两点直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活利用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活利用中点坐标公式及韦达定理，第60页练习：P49：A8第61页例例6、如图，已知椭圆如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点，AB中点中点M与椭圆中心连线与椭圆中心连线斜率是斜率是 ，试求，试求a、b值。值。oxyABM第62页练习：练习：已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆右焦点为，椭圆右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1直线被椭圆截得弦长直线被椭圆截得弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆位置关系与椭圆位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆弦所在直线方程椭圆弦所在直线方程.第63页练习：练习：已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆右焦点为，椭圆右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1直线被椭圆截得弦长直线被椭圆截得弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆位置关系与椭圆位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆弦所在直线方程椭圆弦所在直线方程.第64页3、弦中点问题弦中点问题两种处理方法：两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦斜率。1、直线与椭圆三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆三种位置关系及判断方法；2、弦长计算方法：、弦长计算方法：弦长公式：弦长公式：|AB|=（适合用于任何曲线）（适合用于任何曲线）小小 结结解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交第65页第66页第67页第68页第69页