概率论和数理统计教程(茆诗松)市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx
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1、第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1 1页页第六章 参数预计 6.1 点预计几个方法6.2 点预计评价标准6.3 最小方差无偏预计6.4 贝叶斯预计6.5 区间预计 第1页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2 2页页普通惯用 表示参数,参数 全部可能取值组成集合称为参数空间,惯用表示。参数预计问题就是依据样本对上述各种未知参数作出预计。参数预计形式有两种:点预计与区间预计。第2页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第
2、第3 3页页设 x1,x2,xn 是来自总体 X 一个样本,我们用一个统计量 取值作为 预计值,称为 点预计(量),简称预计。在这里怎样结构统计量 并没有明确要求,只要它满足一定合理性即可。这就包括到两个问题:其一 是怎样给出预计,即预计方法问题;其二 是怎样对不一样预计进行评价,即估 计好坏判断标准。第3页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第4 4页页6.1 点预计几个方法 6.1.1 替换原理和矩法预计 一、矩法预计 替换原理是指用样本矩及其函数去替换对应总体矩及其函数,譬如:用样本均值预计总体均值E(X),即 ;用样本方差预计总
3、体方差Var(X),即用样本 p 分位数预计总体 p 分位数,用样本中位数预计总体中位数。第4页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第5 5页页例6.1.1 对某型号20辆汽车统计其每加仑汽油行驶里程(km),观察数据以下:29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9 经计算有 由此给出总体均值、方差和中位数预计分别为:28.695,0.9185 和 28.6。矩法预计实质是用经验分布
4、函数去替换总体分布,其理论基础是格里纹科定理。第5页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第6 6页页二、概率函数二、概率函数P P(x x,)已知时未知参数矩法预计已知时未知参数矩法预计 设总体含有已知概率函数 P(x,1,k),x1,x2,xn 是样本,假定总体k阶原点矩k存在,若 1,k 能够表示成 1,k 函数 j=j(1,k),则可给出诸 j 矩法预计为 其中第6页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第7 7页页例6.1.2 设总体服从指数分布,因为EX=1/,即=1/E
5、X,故 矩法预计为 另外,因为Var(X)=1/2,其反函数为 所以,从替换原理来看,矩法预计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩预计可能是不唯一,这是矩法预计一个缺点,此时通常应该尽可能采取低阶矩给出未知参数预计。第7页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第8 8页页例6.1.3 x1,x2,xn是来自(a,b)上均匀分布U(a,b)样本,a与b均是未知参数,这里k=2,因为 不难推出 由此即可得到a,b矩预计:第8页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第9 9页页6.1.2
6、极(最)大似然预计 定义6.1.1 设总体概率函数为P(x;),是参数 可能取值参数空间,x1,x2,xn 是样本,将样本联合概率函数看成 函数,用L(;x1,x2,xn)表示,简记为L(),称为样本似然函数。第9页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1010页页 假如某统计量 满足 则称 是 极(最)大似然预计,简记为MLE(Maximum Likelihood Estimate)。人们通常更习惯于由对数似然函数lnL()出发寻找 极大似然预计。当L()是可微函数时,求导是求极大似然预计最惯用方法,对lnL()求导愈加简单些。第10
7、页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1111页页例6.1.6 设一个试验有三种可能结果,其发生概率分别为 现做了n次试验,观察到三种结果发生次数分别为 n1,n2 ,n3(n1+n2+n3=n),则似然函数为 其对数似然函数为第11页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1212页页将之关于 求导,并令其为0得到似然方程解之,得因为所以 是极大值点。第12页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1313页页例6.1.7
8、 对正态总体N(,2),=(,2)是二维参数,设有样本 x1,x2,xn,则似然函数及其对数分别为 第13页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1414页页 将 lnL(,2)分别关于两个分量求偏导并令其为0,即得到似然方程组 (6.1.9)(6.1.10)第14页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1515页页 解此方程组,由(6.1.9)可得 极大似然预计为 将之代入(6.1.10),得出 2极大似然预计 利用二阶导函数矩阵非正定性能够说明上述预计使得似然函数取极大值。第
9、15页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1616页页 即使求导函数是求极大似然预计最惯用方法,但并不是在全部场所求导都是有效。例6.1.8 设 x1,x2,xn 是来自均匀总体 U(0,)样本,试求 极大似然预计。第16页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1717页页 解 似然函数 要使L()到达最大,首先一点是示性函数取值应该为1,其次是1/n尽可能大。因为1/n是 单调减函数,所以 取值应尽可能小,但示性函数为1决定了 不能小于x(n),由此给出 极大似然预计:。第1
10、7页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1818页页6.2 点预计评价标准 6.2.1 相合性 我们知道,点预计是一个统计量,所以它是一个随机变量,在样本量一定条件下,我们不可能要求它完全等同于参数真实取值。但假如我们有足够观察值,依据格里纹科定理,伴随样本量不停增大,经验分布函数迫近真实分布函数,所以完全能够要求预计量伴随样本量不停增大而迫近参数真值,这就是相合性,严格定义以下。第18页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第1919页页定义6.2.1 设 为未知参数,是 一个
11、预计量,n 是样本容量,若对任何一个0,有 (6.2.1)则称 为 参数相合预计。第19页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2020页页 相合性被认为是对预计一个最基本要求,假如一个预计量,在样本量不停增大时,它都不能把被估参数预计到任意指定精度,那么这个预计是很值得怀疑。通常,不满足相合性要求预计普通不予考虑。证实预计相合性普通可应用大数定律或直接由定义来证.第20页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2121页页 若把依赖于样本量n预计量 看作一个随机变量序列,相合性就
12、是 依概率收敛于,所以证实预计相合性可应用依概率收敛性质及各种大数定律。第21页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2222页页在判断预计相合性时下述两个定理是很有用。定理6.2.1 设 是 一个预计量,若 则 是 相合预计,定理6.2.2 若 分别是 1,k 相合估 计,=g(1,k)是 1,k 连续函数,则 是 相合预计。第22页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2323页页6.2.2 无偏性 定义6.2.2 设 是 一个预计,参数空间为,若对任意,有 则称 是 无偏预
13、计,不然称为有偏预计。第23页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2424页页例6.2.4 对任一总体而言,样本均值是总体均值无偏预计。当总体k阶矩存在时,样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩 k无偏预计。但对中心矩则不一样,譬如,因为 ,样本方差s*2不是总体方差 2无偏预计,对此,有以下两点说明:(1)当样本量趋于无穷时,有E(s*2)2,我们称 s*2 为 2渐近无偏预计。(2)若对s*2作以下修正:,则 s2 是总体方差无偏预计。第24页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024
14、第第2525页页6.2.3 有效性 定义6.2.3 设 是 两个无偏预计,假如对任意 ,有 且最少有一个 使得上述不等号严格成立,则称 比 有效。第25页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2626页页例6.2.6 设 x1,x2,xn 是取自某总体样本,记总体均值为,总体方差为 2,则 ,都是 无偏预计,但 显然,只要 n1,比 有效。这表明用全部数据平均预计总体均值要比只使用部分数据更有效。第26页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2727页页6.2.4 均方误差 无偏
15、预计不一定比有偏预计更优。评价一个点预计好坏普通能够用:点预计值 与参数真值 距离平方期望,这就是下式给出均方误差 均方误差是评价点预计最普通标准。我们希望预计均方误差越小越好。第27页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2828页页 注意到 ,所以(1)若 是 无偏预计,则 ,这说明用方差考查无偏预计有效性是合理。(2)当 不是 无偏预计时,就要看其均方 误差 。下面例子说明:在均方误差含义下有些有偏 预计优于无偏预计。第28页第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学7/14/20247/14/2024第第2929页
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