流体力学伯努利方程式及其应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、流流 体体 力力 学学 退 出中国科学文化出版社第1页第二篇 流体动力学基本原理及流体工程 流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相同原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体流动 气体动力学基础 第五章第六章第七章第八章第九章退 出返 回第十章第十一章第十二章第2页第七章 伯努利方程式及其应用 伯努利方程式及其限定条件 实际流体伯努利方程式 实际流体总流伯努利方程式 相对运动伯努利方程式 伯努利方程式应用 第一节第二节第三节第四节第五节退 出返 回第3页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第1页页第一节 伯努利方程式及其限定条件
2、在推导伯努利方程式之前,先讨论欧拉方程式另一个形式,称为葛罗米柯方程式。令U为质量力函数,P为压力函数,使得,而且第4页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第2页页第一节 伯努利方程式及其限定条件同理可得将以上三式代入(5.8)式(欧拉方程)得到第5页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第3页页第一节 伯努利方程式及其限定条件将各项归并,并用行列式表示(7.1)第6页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第4页页第一节 伯努利方程式及其限定条件式(7.1)即葛罗米柯方程式,它比欧拉方程式便于积分。但在普通情况下,不论是欧拉方程式或是葛罗米柯方程式,因为数学处理十分困难,求
3、解往往是不可能。仅在一些特殊情况下,欧拉方程式三个偏微分方程式能够变成常微分方程式,使数学处理成为可能。下面讨论这些情况。一、理想流体沿流线流动将欧拉方程式应用到沿流线流动中,则依据流线方程式可知,代入式(5.8)第1式,可得到 等式两边均乘以得到 第7页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第5页页第一节 伯努利方程式及其限定条件经整理可得到下式 即一样可得到y,z轴方向关系式 将三式相加 第8页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第6页页第一节 伯努利方程式及其限定条件因为,所以 于是(7.2)式(7.2)就是沿流线欧拉方程式。假如已知压力和密度关系及其随时间改变规律,以及质
4、量力特征,上式就可进行积分,由此求出速度场。二、无旋运动流场对于无旋流场,有以下特征,第9页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第7页页第一节 伯努利方程式及其限定条件代入式(5.8)第1式,等式两侧均乘以dx,能够得到 一样由式(5.8)第2,3式可得 将上面三式相加,得到 等式两侧均加,且,则有(7.3)第10页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第8页页第一节 伯努利方程式及其限定条件此式与式(7.2)相同,即任何流场流线上各点运动方程式和无旋运动流场中任意点运动方程式是相同,都是能够积分常微分方程式。实际工程问题中经常碰到质量力场为重力场,即X=0,Y=0,Z=g。此时
5、,式(7.2)或式(7.3)成为(7.4)对于稳定流动,则上式成为 式(7.5)为稳定流动、质量力只有重力时,沿流线或无旋流场欧拉方程式。假如流体密度不变,则在稳定流动情况下,式(7.4)能够写成积分形式(7.5)第11页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第9页页第一节 伯努利方程式及其限定条件或 式(7.6)是对于只有重力场作用下稳定流动、理想不可压缩流体沿流线或无旋流场运动方程式积分形式,称为伯努利方程式。此式说明在上述限定条件下,任何点压力能、位能、动能之和为常量。利用葛罗米柯方程式(7.1),能够导得伯努利方程式更广义限定条件。对于稳定流动,式(7.1)变成(7.6)将上式分
6、别乘以dx,dy,dz,相加得到 第12页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第10页页第一节 伯努利方程式及其限定条件即若上式等号右侧为零,则 即对重力场作用下不可压缩流体,于是这就是伯努利方程式。它建立条件是:在重力场作用下,不可压缩理想流体稳定流动,另外还必须符合以下条件:第13页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第11页页第一节 伯努利方程式及其限定条件 要使上述三阶行列式等于零,有以下几个情况,即静止状态(1)(2),即无旋运动,即沿流线,即沿涡线,即螺旋运动(5)(4)(3)第14页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第12页页第一节 伯努利方程式及其限定
7、条件这就是伯努利方程式所必须满足广义限定条件。伯努利方程式是能量方程式,因为在推导过程中,曾经对欧拉方程式中以力为单位各项乘以长度dx、dy、dz,并进行积分。式中三项分别为压力能,位能(势能)和动能。也就是说在符合限定条件情况下,流场中各点三种能量尽管它们能够相互转换,但其总和是不变。这三种能量统称为机械能。伯努利方程式能够有不一样形式,式(7.6)各项表示单位质量流体能量。如将式(7.6)除以g,则伯努利方程式形式为 式中各项单位为长度。在水力学中称为水头。为压力水头,z为静水头,为速度水头。(7.6a)第15页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第13页页第一节 伯努利方程式及其
8、限定条件如将式(7.6)乘以,则伯努利方程式以下式 式中各项单位为压力。p称为静压,gz称为位压,称为动压。(7.6b)第16页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第1页页第二节 实际流体伯努利方程式 在稳定流动、重力场作用情况下,不可压缩理想流体沿流线伯努利方程式能够写成 对于实际流体,因为有粘性力,便有流动阻力,为了克服这种流动阻力,需要消耗一部分机械能。上式三项机械能之中,位能一项只决定于截面1,2位置z1和z2,是不会改变。动能一项受连续性条件约束,只要流通截面A1,A2不变,也是不会改变。唯一可能改变是压力能,所以,因而使 或者写成(7.7)第17页第七章 伯努利方程式及其应
9、用 退 出返 回第第2页页式中 代表流体由截面1流至截面2所受阻力损失,也就是实际流体流动时损失机械能。这部分损失机械能,转变为热能,增加了流体内能。计算在第九章中讨论。第二节 实际流体伯努利方程式 第18页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第1页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 一、缓变流图7.1 缓变流流线 在讨论实际流体总流伯努利方程式之前,需要提出缓变流概念。缓变流也称渐变流,是指流道中流线之间夹角很小,流线趋于平行(图7.1),且流线曲率很小(即曲率半径很大),流线都近似于直线流动。反之则称为急变流。比如在弯头和渐缩、渐扩接管中流动就属于急变流。前者流线曲率很大,后者流线
10、间夹角很大。截面不变直管中流动都可看成是缓变流。缓变流含有以下特征:(1)因为缓变流流线曲率很小,流体向心加速度引发惯性力即离心力也就很小。所以对于缓变流流场,仍可认为质量力便很小,由此仅为重力,即第19页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第2页页,或者,(2)对于稳定缓变流,若把流动方向取为x轴方向,则,。由连续性方程式可知,即,因为是稳定,。将此结果代入纳维斯托克斯方程式流动,可得(7.8)第三节 实际流体总流伯努利方程式 第20页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第3页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 在后二式中质量力,若将后两式分别乘以dy,dz,然后相加得到下式
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