泰勒公式与极值问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

4 泰勒公式与极值问题 就本节本身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式需要；而泰劳公式除了用于近似计算外,又为建立极值判别准则作好了准备.三、极值问题 一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式第1页一、高阶偏导数 假如它假如它们们关于关于 x 与与 y 偏偏导导数也数也 导数有以下四种形式导数有以下四种形式:存在存在,说说明明含有含有二阶偏导数二阶偏导数二元函数二阶偏二元函数二阶偏第2页类类似地能似地能够够定定义义更高更高阶阶偏偏导导数数,比如比如 三阶偏导数共有八种情形三阶偏导数共有八种情形:第3页解解 因为因为 例例1 第4页所以有所以有第5页数为数为 例例2 第6页注意注意 在上面两个例子中都有在上面两个例子中都有 第7页数为数为混合偏导数混合偏导数).不过这个结论并不对任何函数都不过这个结论并不对任何函数都成立，比如函数成立，比如函数它一阶偏导数为它一阶偏导数为 数相等(称这种现有关于 x,又有关于 y 高阶偏导第8页混合偏导数混合偏导数:第9页由此看到由此看到,这两个混合偏导数与求导次序相关这两个混合偏导数与求导次序相关.那么那么 在什么条件下混合偏导数与求导次序无关呢在什么条件下混合偏导数与求导次序无关呢?为此为此 式式.因为因为 第10页所以有所以有第11页类似地有类似地有 这两个累次极限相等这两个累次极限相等.下述定理给出了使下述定理给出了使(1)与与(2)相等一个充分条件相等一个充分条件 连续，则连续，则 第12页证证 令令 于是有于是有 (4)(3)第13页由由(4)则有则有 (5)假如令假如令第14页则有则有 用前面相同方法用前面相同方法,又可得到又可得到 (6)第15页在且相等，这就得到所要证实在且相等，这就得到所要证实(3)式式 合偏导数都与求导次序无关合偏导数都与求导次序无关 注注2 这这个定理个定理对对 n 元函数混合偏元函数混合偏导导数也成立数也成立.例例 由定理假设由定理假设 都在点都在点 连连 续续,故当故当 时时,(7)式两边极限都存式两边极限都存 如三元函数如三元函数 以下六个三阶混合偏导数以下六个三阶混合偏导数 第16页若在某一点都连续，则它们在这一点都相等若在某一点都连续，则它们在这一点都相等 今后在牵涉求导次序问题时今后在牵涉求导次序问题时,除尤其指出外除尤其指出外,普通普通 都假设对应阶数混合偏导数连续都假设对应阶数混合偏导数连续 复合函数高阶偏导数复合函数高阶偏导数 设设 数数 一一样样存在二存在二阶连续阶连续 第17页偏导数偏导数.详细计算以下详细计算以下:第18页第19页同理可得同理可得 第20页例例3 改写成以下形式改写成以下形式:第21页由复合函数求导公式，有由复合函数求导公式，有 自变量复合函数所以自变量复合函数所以 第22页第23页二、中值定理和泰勒公式 二元函数中二元函数中值值公式和泰勒公式公式和泰勒公式,与一元函数拉与一元函数拉 也有相同公式，只是形式上更复杂一些也有相同公式，只是形式上更复杂一些 先介先介绍绍凸区域凸区域 若区域若区域 D 上任意两点上任意两点连线连线都含于都含于 D,则称则称 D 为凸区域为凸区域(图图17-6).这就是说这就是说,若若 D 为为 一切一切 恒有恒有第24页上连续上连续,在在 D 全部内点都可微全部内点都可微,则对则对 D 内任意两内任意两 定理定理17.8(中值定理中值定理)设设 在凸区域在凸区域 图图 17-6 凸凸 非凸非凸 第25页一元连续函数一元连续函数,且在且在(0,1)内可微内可微.依据一元函数依据一元函数 其中其中 中值定理，中值定理，使得，使得 (10)第26页(9),(10)两式即得所要证实两式即得所要证实(8)式式 注注 若若 D 为严格为严格凸区域，即凸区域，即 ，都有，都有 第27页式成立式成立(为何为何?)公式公式(8)也称为二元函数也称为二元函数(在凸域上在凸域上)中值公式中值公式.它与定理它与定理17.3 中值公式中值公式(12)相比较相比较,差异在于这差异在于这 请读者作为练习自行证实此推论请读者作为练习自行证实此推论 第28页分析分析 将上式改写成将上式改写成 例例4 对对 应用微分中值定应用微分中值定 理，证实存在某个理，证实存在某个 第29页之间应用微分中值定理之间应用微分中值定理计算偏导数计算偏导数:证证 首先首先,当当 ,有有 再再 第30页定理定理17.9(泰勒定理泰勒定理)若若 在点在点 内任一点内任一点 内有直到内有直到 阶连续偏导数阶连续偏导数,则对则对 第31页其中其中第32页证证 类似于定理类似于定理17.8 证实，先引入辅助函数证实，先引入辅助函数 (11)式称为式称为 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,并称其中并称其中 而首项而首项 也可看作也可看作 情形情形.第33页件，于是有件，于是有由假设，由假设，上满足一元函数泰勒公式条上满足一元函数泰勒公式条应用复合求导法则应用复合求导法则,可求得可求得 各阶导数以下各阶导数以下:(12)第34页公式公式(11)将将(13),(14)两式代入两式代入(12)式式,就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒 时特殊情形时特殊情形.第35页此时此时 n 阶泰勒公式可写作阶泰勒公式可写作 则仅需则仅需 内存在内存在 n 阶连续偏导数即可阶连续偏导数即可,第36页将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式(15)，即有，即有 第37页与与1 例例7 结果结果(1.32)相比较，这是更靠近于真相比较，这是更靠近于真 微分近似相当于现在一阶泰勒公式微分近似相当于现在一阶泰勒公式第38页三、极值问题 多元函数极值问题是多元函数微分学主要应多元函数极值问题是多元函数微分学主要应 用用,这里仍以二元函数为例进行讨论这里仍以二元函数为例进行讨论.有定义有定义.若若 极大值点、极小值点统称极大值点、极小值点统称极值点极值点 极大极大(或极小或极小)值点值点.极大值、极小值统称极大值、极小值统称极值极值;极极 第39页注意注意 这里讨论极值点只限于定义域内点这里讨论极值点只限于定义域内点 点点,是是 g 极大值点极大值点,但不是但不是 h 极值点这是因极值点这是因 第40页同极同极值值;也取相同极也取相同极值值.于是于是 得到二元函数取极值必要条件以下得到二元函数取极值必要条件以下:定理定理17.10 (极极值值必要条件必要条件)若函数若函数 在点在点 值值(注注 由定义可见由定义可见,若若 在点在点取极值取极值,则当固则当固 存在偏导数存在偏导数,且在且在取得极值取得极值,则必有则必有 第41页稳定点稳定点.上述定理指出上述定理指出:偏偏导导数存在数存在时时,极极值值点必是点必是稳稳定点定点.但要注意但要注意:稳稳定点并不都是极定点并不都是极值值点点在例在例 6 中中之所之所 以只讨论原点以只讨论原点,就是因为原点是那三个函数惟一就是因为原点是那三个函数惟一 稳定点；而对于函数稳定点；而对于函数 h,原点虽为其稳定点原点虽为其稳定点,但却不但却不 是它极值点是它极值点.与一元函数情形相同与一元函数情形相同,多元函数在偏导数不存在多元函数在偏导数不存在 原点没有偏导数原点没有偏导数,但但 第42页(17)定点定点,则有以下结论则有以下结论:第43页于是有于是有 证证 由由 在在二阶泰勒公式，并注意到条件二阶泰勒公式，并注意到条件第44页二次型二次型 连续函数连续函数(仍为一正定二次型仍为一正定二次型)首先证实首先证实:当当 正定时，正定时，在点在点 取得极小取得极小 值这是因为，此时对任何值这是因为，此时对任何 恒使恒使 第45页极大值极大值因为因为 所以所以在此有界在此有界 闭域上存在最小值闭域上存在最小值 ，于是有，于是有即即在点在点 取得极小值取得极小值第46页亦取亦取 则沿着过则沿着过 任何直线任何直线 最终证实最终证实:当当 为为不定矩阵时不定矩阵时,在点在点 不不 第47页极小极小值值,则则将造成将造成 必必须须是正半定是正半定.也就是也就是 或负半定，这与假设相矛盾或负半定，这与假设相矛盾这表明这表明 必须是负半定必须是负半定.同理同理,倘若倘若 取取 系，定理系，定理17.11又可写成以下比较实用形式又可写成以下比较实用形式 依据对称矩阵定号性与其主子行列式之间关依据对称矩阵定号性与其主子行列式之间关 若若如定理如定理17.11 所设，则有以下结论所设，则有以下结论:第48页是否取得极值是否取得极值 解解 由方程组由方程组 例例7 取得极小值取得极小值;取得极大值取得极大值;第49页例例8 讨论讨论 是否存在极值是否存在极值 第50页得极值得极值?因因，故原点不是，故原点不是 极极值值点点.又因又因 处处处处可微，所以可微，所以 没有极没有极值值点点.解解 轻易验证原点是轻易验证原点是 稳定点稳定点,且且 故由定理故由定理17.11 无法判断无法判断 在原点是否取得极值在原点是否取得极值 但因但因为为在原点任意小在原点任意小邻邻域内域内,当当 时时 第51页由极值定义知道由极值定义知道,极值只是函数一个极值只是函数一个局部性概念局部性概念.想求出函数在有界闭域上最大值和最小值想求出函数在有界闭域上最大值和最小值,方法方法 与一元函数问题一样：需先求出在该区域上全部稳与一元函数问题一样：需先求出在该区域上全部稳 定点、无偏导数点处函数值定点、无偏导数点处函数值,还有在区域边界上还有在区域边界上 这类特殊值；然后比较这些值这类特殊值；然后比较这些值,其中最大其中最大(小小)者者 即为问题所求最大即为问题所求最大(小小)值值 以以 f(0,0)=0 不是极值不是极值(参见图参见图17-7)第52页例例10 证实证实:圆圆全部外切三角形中全部外切三角形中,以正三角形以正三角形 面积为最小面积为最小证证 如图如图17-8 所表示所表示,设圆设圆半径半径为为 a,任一外切三角任一外切三角 图图 17-8 图图 17-7 第53页式为式为 其中其中 .为求得稳定点为求得稳定点,令令 形为形为 ABC,三切点处半径相夹中心角分别为三切点处半径相夹中心角分别为 第54页在定义域内在定义域内,上述方程组仅有惟一解上述方程组仅有惟一解:二阶偏导数二阶偏导数:第55页此稳定点处取得极小值此稳定点处取得极小值 因为因为 ,面积函数面积函数 S 在定义域中处处存在偏在定义域中处处存在偏正三角形面积为最小正三角形面积为最小解解(i)求稳定点：求稳定点：解方程组解方程组 导数，而详细问题存在最小值，故外切三角形中以导数，而详细问题存在最小值，故外切三角形中以 第56页所以所以 得稳定点得稳定点 (ii)求极值：求极值：因为因为 黑赛矩阵为黑赛矩阵为 (iii)求在求在 上特殊值上特殊值:当当 第57页当当，当当，第58页算出算出 单调增单调增,算出两端值算出两端值 第59页图形图形,上面讨论都能在图中清楚地反应出来上面讨论都能在图中清楚地反应出来 一点与一元函数是不相同，务请读者注意！一点与一元函数是不相同，务请读者注意！注注 本例中本例中 上即使只有惟一极值上即使只有惟一极值,且为极且为极 小值，但它并不所以成为小值，但它并不所以成为 上最小值这上最小值这 第60页图图 17-9 第61页例例12 (最小二乘法最小二乘法问题问题)设经过观设经过观察或察或试验试验得到一得到一 上，即大致上可用直线上，即大致上可用直线 方程来反应变量方程来反应变量 x 与与 y 之间对应关系之间对应关系(参见参见 图图17-10).现要确定一现要确定一 直线直线,使得与这使得与这 n 个点个点 偏差平方之和为最小偏差平方之和为最小(最小二乘方最小二乘方)图图 17-10 第62页解解 设所求直线方程为设所求直线方程为 为此令为此令 第63页把这组关于把这组关于 a,b 线性方程加以整理并求解，得线性方程加以整理并求解，得第64页第65页并由实际意义可知这极小值即为最小值并由实际意义可知这极小值即为最小值.第66页复习思索题 1.试比较本节中值公式试比较本节中值公式(8)与与1 里中值公式里中值公式 (12)，二者条件与结论有何区分？，二者条件与结论有何区分？2.对于函数对于函数 以下记号以下记号 各表示什么意义？各表示什么意义？第67页什么不能什么不能够够推广到多元函数中来？推广到多元函数中来？(请请努力努力说说点理点理 由出来，歪理、正理都无妨由出来，歪理、正理都无妨.)第68页