济南大学高等数学C一ch市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性 第一节第一节 导数概念导数概念可导与连续关系可导与连续关系导数几何意义导数几何意义导数定义导数定义思索题、思索题、小结小结第第1页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、问题提出一、问题提出1.自由落体运动瞬时速度问题自由落体运动瞬时速度问题如图如图,取取极限极限得得第第3页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2.2.切线问题切线问题割线割线极限位置极限位置切线位置切线位置第第4页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 假如割线假如割线MN 绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT 就称为曲线就称为曲线C在点在点M处处切线切线.如图如图,极限位置即：极限位置即：第第5页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、导数定义二、导数定义1.定义定义增量比极限增量比极限第第6页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 （3）关于导数说明：）关于导数说明：注注:（1）导数其它表示方法）导数其它表示方法：（2）导数不存在导数不存在第第7页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2.单侧导数单侧导数(1)左导数左导数:(2)右导数右导数:第第8页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 普通步骤：普通步骤：3.分段函数在分段点分段函数在分段点导数导数第第9页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例解解:定理定理 函数可导必定连续，反之不一定成立函数可导必定连续，反之不一定成立.第第15页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、导数几何意义三、导数几何意义几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为第第16页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例解解:由导数几何意义由导数几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为第第17页页总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性第二节第二节 求导法则与基本初等函数求导公式求导法则与基本初等函数求导公式初等函数求导问题初等函数求导问题反函数求导法则反函数求导法则函数四则运算求导法则函数四则运算求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则思索题、思索题、小结小结第第24页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、函数四则运算求导法则一、函数四则运算求导法则定理定理1第第26页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 推论推论第第28页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例1解：解：例例2解：解：第第29页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例3解：解：同理可得同理可得第第30页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：同理可得同理可得例例3第第31页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、反函数求导法则二、反函数求导法则定理定理2即即 反函数导数等于直接函数导数倒数反函数导数等于直接函数导数倒数.第第33页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例4解：解：同理可得同理可得第第34页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例5解：解：尤其地尤其地第第35页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)推广推广第第36页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 注意注意例例6解解第第38页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 注意函数复合过程注意函数复合过程,合理分解合理分解,正确使用链式法则正确使用链式法则.例例7解：解：第第39页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解解：例例8第第40页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例9解解例例10解解第第41页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例11解解第第42页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 四、初等函数求导问题四、初等函数求导问题1.常数和基本初等函数导数公式常数和基本初等函数导数公式第第43页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2.函数和、差、积、商求导法则函数和、差、积、商求导法则3.复合函数求导法则复合函数求导法则设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全处理利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全处理.注意注意:初等函数导数仍为初等函数初等函数导数仍为初等函数.第第44页页总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性 第三节第三节 高阶导数高阶导数高阶导数运算法则高阶导数运算法则高阶导数求法举例高阶导数求法举例高阶导数定义高阶导数定义思索题、思索题、小结小结第第51页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、高阶导数定义一、高阶导数定义问题问题:变速直线运动加速度变速直线运动加速度.定义定义第第53页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 记作记作三阶导数导数称为四阶导数三阶导数导数称为四阶导数,二阶和二阶以上导数统称为二阶和二阶以上导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数导数称为三阶导数二阶导数导数称为三阶导数,第第54页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例直接法直接法:由高阶导数定义逐步求高阶导数由高阶导数定义逐步求高阶导数.例例1解：解：第第55页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例2解：解：第第56页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例3解：解：第第57页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例4解：解：第第58页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例5解：解：同理可得同理可得第第59页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、高阶导数运算法则三、高阶导数运算法则莱布尼兹公式莱布尼兹公式第第60页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例6解：解：第第61页页总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性参数方程导数参数方程导数对数求导法对数求导法隐函数导数隐函数导数第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定函数导数隐函数及由参数方程所确定函数导数思索题、思索题、小结小结第第69页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、隐函数导数一、隐函数导数 隐函数隐函数隐函数显化隐函数显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化怎样求导隐函数不易显化或不能显化怎样求导?第第71页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例1隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.解：解：另解另解（显化）：显化）：第第72页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 基本步骤：基本步骤：第第73页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例2解：解：解得：解得：第第74页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例3解：解：所求切线方程为所求切线方程为显然经过原点显然经过原点.第第75页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例4解：解：第第76页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、对数求导法二、对数求导法 先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数然后利用隐函数求导方法求出导数求导方法求出导数.方法方法:-对数求导法对数求导法方程两边取对数方程两边取对数,第第77页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例5等式两边取对数得等式两边取对数得第第78页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：等式两边取对数得等式两边取对数得例例6对数求导法适用范围对数求导法适用范围:第第79页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、参数方程导数三、参数方程导数比如比如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参怎样求导消参困难或无法消参怎样求导?第第80页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 由复合函数及反函数求导法则得：由复合函数及反函数求导法则得：看作复合函数看作复合函数第第81页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 第第82页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例7 所求切线方程为：所求切线方程为：第第83页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例8第第84页页总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性第五节第五节 函数微分函数微分微分在近似计算应用微分在近似计算应用微分几何意义微分几何意义微分定义微分定义微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则思索题、思索题、小结小结第第88页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、问题提出一、问题提出引例引例1:正方形金属薄片受热后面积改变量正方形金属薄片受热后面积改变量.第第90页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 引例引例2:既轻易计算又是很好近似值既轻易计算又是很好近似值第第91页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、微分定义二、微分定义定义定义1、微分定义、微分定义2、可微条件、可微条件定理定理第第92页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例1例例2解：解：第第96页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 第第97页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、微分几何意义三、微分几何意义MNT）几何意义几何意义:(如图如图)P Q第第98页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 四、微分公式与微分运算法则四、微分公式与微分运算法则1.常数和基本初等函数微分公式常数和基本初等函数微分公式第第99页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2.函数和、差、积、商微分法则函数和、差、积、商微分法则第第100页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例3解：解：例例4第第101页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 3.3.复合函数微分法则复合函数微分法则微分形式不变性微分形式不变性微分形式不变性微分形式不变性结论：结论：第第102页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例6解：解：例例5第第103页页总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性第六节第六节 边际与弹性边际与弹性经济学中常见弹性函数经济学中常见弹性函数经济学中常见边际函数经济学中常见边际函数边际概念边际概念小结小结弹性概念弹性概念第第114页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、边际概念一、边际概念1、概念引入、概念引入平均改变率平均改变率是函数增量与自变量增量之比，函数是函数增量与自变量增量之比，函数 如年产量如年产量平均改变率、成本平均改变率、利润平均改变率等平均改变率、成本平均改变率、利润平均改变率等 瞬时改变率瞬时改变率 是函数对自变量导数是函数对自变量导数.瞬时改变率为瞬时改变率为处可导，则在处可导，则在在在假如函数假如函数xxxfy=00)(第第116页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 定义定义12、边际定义、边际定义常略去常略去 “近似近似”经济意义经济意义:第第117页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例1解：解：注：注：第第118页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、经济学中常见边际函数二、经济学中常见边际函数1、边际成本、边际成本 即总成本函数即总成本函数C(Q)导数导数.因为因为总成本固定成本可变成本，即总成本固定成本可变成本，即则边际成本为则边际成本为边际成本与固定成本无关边际成本与固定成本无关.经济意义经济意义:当已经生产了当已经生产了Q个个单位产品时单位产品时,再再增产一个单位产品所增加总成本增产一个单位产品所增加总成本.第第119页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例2(1)指出固定成本、可变成本指出固定成本、可变成本;(2)求边际成本函数及产量为求边际成本函数及产量为Q=200时边际成本，并时边际成本，并说明说明 其经济意义其经济意义.某厂生产某种产品，总成本某厂生产某种产品，总成本C是产量是产量Q函数函数解：解：(1)固定成本为固定成本为200，可变成本为，可变成本为(2)边际成本函数：边际成本函数：产量为产量为200件时边际成本为件时边际成本为24，它表示当产量为，它表示当产量为200件时，件时，再生产再生产1件产品总成本增加件产品总成本增加24元元.平均成本为？平均成本为？第第120页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2、边际收益、边际收益即总收益函数即总收益函数R(Q)导数导数.经济意义经济意义:当已经销售了当已经销售了Q个个单位产品时单位产品时,再再销售一个单位产品所增加总收益销售一个单位产品所增加总收益.设设P为价格，为价格，Q是销售量，有是销售量，有第第121页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例3设某产品需求函数为：设某产品需求函数为：其其中中 为为价价格格，为为销销售售量量，当当销销售售量量为为15个个单单位位时时，求求总总收收益益、平平均均收收益益与与边边际际收收益益；并并求求销销售售量量从从15个个单单位增加到位增加到20个单位时平均改变率。个单位时平均改变率。故销售量为故销售量为15个单位时，有个单位时，有(1)总收益函数为：总收益函数为：解：解：(2)平均收益为：平均收益为：(3)边际收益为：边际收益为：(4)当销售量从当销售量从15个单位增加到个单位增加到20个单位时收益平均个单位时收益平均改变率为：改变率为：第第122页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 3、边际利润、边际利润即总利润函数即总利润函数L(Q)导数导数.经济意义经济意义:当已经生产了当已经生产了Q个个单位产品时单位产品时,再再生产一个单位产品所增加总利润生产一个单位产品所增加总利润.因为因为则边际利润为则边际利润为总利润总收益总成本，即总利润总收益总成本，即 边际利润可由边际收入与边际成本决定，且边际利润可由边际收入与边际成本决定，且第第123页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 经济意义：经济意义：如产量已到达如产量已到达Q，再多生产一个单位产品，所增加，再多生产一个单位产品，所增加收益大于所增加成本，总利润有所增加。收益大于所增加成本，总利润有所增加。如产量已到达如产量已到达Q，再多生产一个单位产品，所增加，再多生产一个单位产品，所增加收益要小于所增加生产成本，总利润将降低。收益要小于所增加生产成本，总利润将降低。如产量已到达如产量已到达Q，再多生产一个单位产品，再多生产一个单位产品，所增加，所增加收益等于所增加生产成本，总利润到达最大。收益等于所增加生产成本，总利润到达最大。第第124页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例4解：解：经济解释经济解释：当生产量为每个月当生产量为每个月20吨时，再增产一吨，利吨时，再增产一吨，利润将增加润将增加50元，当产量为每个月元，当产量为每个月25吨时，再增产一吨，吨时，再增产一吨，利润不变；当产量为利润不变；当产量为35吨时，再增产一吨利润降低吨时，再增产一吨利润降低100元。元。边际利润为边际利润为某工厂对其产品情况进行了大量统计分析后，得出总某工厂对其产品情况进行了大量统计分析后，得出总利润利润L(Q)(元元)与每个月产量与每个月产量Q（吨）关系为（吨）关系为第第125页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 4、边际需求、边际需求即即需求量需求量Q对价格对价格P导数导数.例例5解：解：经济意义：巧克力价格由原经济意义：巧克力价格由原10元价再增加元价再增加1元，每七元，每七天需求量将降低天需求量将降低0.432千克。千克。第第126页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、弹性概念三、弹性概念 边边际际函函数数中中,函函数数改改变变量量与与函函数数改改变变率率是是绝绝对对改改变变量量与与绝绝对对改改变变率率在在经经济济问问题题中中，有有时时仅仅知知道道函函数数绝绝对对改改变变量量与绝对改变率是不够与绝对改变率是不够 比比如如:设设有有A和和B两两种种商商品品，其其单单价价分分别别为为10元元和和100元元同同时时提提价价1元元，显显然然改改变变量量相相同同，但但提提价价百百分分数数大大不不相相同，分别为同，分别为10%和和1%，前者是后者，前者是后者10倍。倍。所所以以有有必必要要研研究究函函数数相相对对改改变变量量以以及及相相对对改改变变率率，这这在在经经济济学学中中称称为为弹弹性性它它定定量量地地反反应应了了一一个个经经济济量量(自自变变量量)变变动动时时，另另一一个个经经济济量量(因因变变量量)随随之之变变动动灵灵敏敏程程度度，即即自自变量变动百分之一时，因变量变动百分数变量变动百分之一时，因变量变动百分数第第127页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 定义定义2第第128页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 注注:近似近似第第129页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 四、经济学中常见弹性函数四、经济学中常见弹性函数1、需求价格弹性需求价格弹性例例6解：解：普通地普通地,需求量是价格单减函数需求量是价格单减函数,所以所以需求价格弹性需求价格弹性Ed 普通为负值普通为负值.有时为讨论方便，取其绝对值，并记为有时为讨论方便，取其绝对值，并记为注：注：第第130页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2、供给、供给弹性弹性 即供给价格弹性即供给价格弹性,记为记为ES.例例7解：解：（供给弹性普通取正值）（供给弹性普通取正值）第第131页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 3、收益、收益弹性弹性收益价格弹性：收益价格弹性：收益销售弹性：收益销售弹性：第第132页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解解:例例8(1)(2)第第133页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 内容回顾内容回顾1 1、导数定义、导数定义实质实质:增量比极限增量比极限;2.2.导数几何意义导数几何意义:切线斜率切线斜率;3 3、求导四则运算法则、求导四则运算法则注注:分段函数求导时分段函数求导时,分段点处导数必须用左右导数求分段点处导数必须用左右导数求.第第136页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 4 4、复合函数求导法则、复合函数求导法则5 5、隐函数求导法则、隐函数求导法则直接对方程两边求导，求导过程中注意函数复合关系直接对方程两边求导，求导过程中注意函数复合关系注意函数复合过程注意函数复合过程,合理分解，正确使用链式法则合理分解，正确使用链式法则先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数然后利用隐函数求导方法求出导数.6 6、对数求导法、对数求导法7 7、由参数方程所确定函数导数、由参数方程所确定函数导数实质上是利用复合函数求导法则（一直以实质上是利用复合函数求导法则（一直以t为中间变量，为中间变量，x为自变量）为自变量）第第137页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 7 7、高阶导数定义及运算法则、高阶导数定义及运算法则;n阶导数求法阶导数求法:(1)直接法直接法;(2)间接法间接法.8 8、微分定义及求法、微分定义及求法求法求法:计算函数导数计算函数导数,乘以自变量微分乘以自变量微分.微分形式不变性微分形式不变性9 9、微分基本运算法则、微分基本运算法则1010、导数、微分与连续关系、导数、微分与连续关系第第138页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 11.11.边际与弹性边际与弹性边际边际:弹性弹性:（1）边际成本边际成本（2）边际收益边际收益（3）边际利润边际利润 （4）边际需求边际需求注意它们经济意义注意它们经济意义第第139页页第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 重点：重点：导数与微分概念，熟练掌握求各类函数导数与微分概念，熟练掌握求各类函数 导数方法导数方法关键：关键：熟记求导公式和求导法则熟记求导公式和求导法则.本章重点难点本章重点难点第第140页页