高中数学必修4平面向量常考题型:向量数乘运算及其几何意义正式版资料.doc
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1、高中数学必修4平面向量常考题型:向量数乘运算及其几何意义正式版精品文档向量数乘运算及其几何意义【知识梳理】1向量数乘运算一般地,规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a,其长度与方向规定如下:(1)|a|a|;(2)a(a0)的方向特别地,当0或a0时,0a0或00.2向量数乘的运算律设,为实数,则(1)( a)()a;(2)()aa a;(3)(ab)ab.特别地,()a(a)(a),(ab)ab.3共线向量定理向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使b a.4向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a,b,以及任意实数、1、2,恒
2、有(1a2b)1a2b.【常考题型】题型一、向量的线性运算【例1】化简下列各式:(1)3(6ab)9;(2)2;(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.解(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.【类题通法】向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量【对点训练】化简下列各式:(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba);(2).解:(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b;(2)原式(4a16b16a8b)(12a24b)
3、2a4b.题型二、在几何图形中用已知向量表示未知向量【例2】如图所示,D,E分别是ABC的边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点,已知a,b,试用a,b分别表示,.解由三角形中位线定理,知DEBC,故,即a.abaab.abaab.【类题通法】用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的有关定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示即可,其实质是向量的线性运算的反复应用【对点训练】如图所示,四边形OADB是以向量a,b为邻边的平行四边形又BMBC,CNCD,试用a,b表示,.解:()(ab),babab.,()(a
4、b)(ab)abab.题型三、共线向量定理的应用 【例3】(1)已知e1,e2是两个不共线的向量,若2e18e2,e13e2,2e1e2,求证:A,B,D三点共线(2)已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若x y ,求xy的值解(1)证明:e13e2,2e1e2,e14e2.又2e18e22(e14e2),2,.AB与BD有交点B,A,B,D三点共线(2)由于A,B,P三点共线,所以向量,在同一直线上,由向量共线定理可知,必定存在实数使,即(),所以(1),故x1,y,即xy1.【类题通法】用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若ba(a0),且b与a所在的直线无公共点,则
5、这两条直线平行;(2)若ba(a0),且b与a所在的直线有公共点,则这两条直线重合例如,若向量,则,共线,又与有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法【对点训练】如图所示,已知D,E分别为ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DMCD,延长BE至N使BEEN,求证:M,A,N三点共线证明:D为MC的中点,且D为AB的中点,.同理可证明.,共线且有公共点A,M,A,N三点共线【练习反馈】1设a是非零向量,是非零实数,则下列结论中正确的是()Aa与a的方向相同Ba与a的方向相反Ca与2a的方向相同D|a|a|解析:选C只有当0时,a与a的方向相同,a与a的方向相反,且|a
6、|a|.因为20,所以a与2a的方向相同2.等于()A2abB2baCba Dab解析:选B原式(2a8b)(4a2b)ababa2b2ba.3下列向量中a,b共线的有_(填序号)a2e,b2e;ae1e2,b2e12e2;a4e1e2,be1e2;ae1e2,b2e12e2.解析:中,ab;中,b2e12e22(e1e2)2a;中,a4e1e244b;中,当e1,e2不共线时,ab.故填.答案:4已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma3b与a(2m)b共线,则实数m的值为_解析:因为向量ma3b与a(2m)b共线且向量a,b是两个不共线的向量,所以m,解得m1或m3.答案:1或35.如
7、图所示,已知ABCD的边BC,CD的中点分别为K,L,且Ae1,e2,试用e1,e2表示,.解:法一:设x,则x,e1x,e1x,又x,由得xe1xe2,解方程,得xe2e1,即e2e1,由,e1x,得e1e2.法二:设x,y,则x,y.由,得2得x2xe12e2,解得x(2e2e1),即(2e2e1)e2e1,同理得y(2e1e2),即e1e2.法三:如图所示,BC与AL的延长线相交于点E.则DLACLE,从而2,由,得2e2e1,即(2e2e1)e2e1.同理可得(2e1e2)e1e2.“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩,然后再尽量往后甩。”说着,苏格拉底示范做
8、了一遍,“从今天开始,每天做300下,大家能做到吗?”学生们都笑了,这么简单的事,有什么做不到的?过了一个月,苏格拉底问学生:每天甩手300下,哪个同学坚持了,有90的学生骄傲的举起了手,又过了一个月,苏格拉底又问,这回,坚持下来的学生只剩下了80。一年过后,苏格拉底再一次问大家:“请告诉我,最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了?”这时,整个教室里,只有一个人举起了手,这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们,柏拉图之所以能成为大哲学家,其中一个重要原因,就是,柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业,必须有持之以恒的精神,大家都熟悉愚公移山的故事,愚公之所以能够感动
9、天帝,移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生,他前十次革命均告失败,但他百折不挠,终于在第十一次革命的时候,推翻了清王朝的统治,建立了中华民国。这些故事,情节不同,但意义都是一样的,它告诉无们,做事要有恒心。旬子讲:“锲而不舍,朽木不折;锲而舍之,金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心,一些困难的事情便可以做到,没有恒心,再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路,不能靠一时激情,也不是熬几天几夜就能学好的,必须养成平时努力学习的习惯。所以我说:学习贵在坚持!当下市面上关于教授学习方法的书籍不少,其所载内容也的确很有道理,然而当读者实际应用时,很多看似实用的方法用
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