2017河北省中考数学试卷说课材料.doc

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2017年河北省中考数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分，小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列运算结果为正数的是（　　）
A．（﹣3）2 B．﹣3÷2 C．0×（﹣2017） D．2﹣3
2．（3分）把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为（　　）
A．1 B．﹣2 C．0.813 D．8.13
3．（3分）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）=（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
6．（3分）如图为张小亮的答卷，他的得分应是（　　）

A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
7．（3分）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变
8．（3分）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（　　）

A．③→②→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
10．（3分）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（　　）

A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
11．（2分）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（　　）

A． B． C． D．
12．（2分）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（　　）

A．4+4﹣=6 B．4+40+40=6 C．4+=6 D．4﹣1÷+4=6
13．（2分）若= +，则 中的数是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．任意实数
14．（2分）甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表，如图，
甲组12户家庭用水量统计表
用水量（吨）
4
5
6
9
户数
4
5
2
1
比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（　　）

A．甲组比乙组大 B．甲、乙两组相同
C．乙组比甲组大 D．无法判断
15．（2分）如图，若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图象是（　　）

A． B． C． D．
16．（2分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（　　）

A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5

二、填空题（本大题共3小题，共10分。17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分。把答案写在题中横线上）
17．（3分）如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B间的距离为　 　m．

18．（3分）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=　 　°．

19．（4分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}=　 　；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．

21．（9分）编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%．
（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；
（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；
（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．

22．（9分）发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
23．（9分）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4时，求的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．

24．（10分）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣5与x轴交于点D，直线y=﹣x﹣与x轴及直线x=﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．
（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
（2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；
（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．

25．（11分）平面内，如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）

26．（12分）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．
月份n（月）
1
2
成本y（万元/件）
11
12
需求量x（件/月）
120
100
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．

2017年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分，小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2017•河北）下列运算结果为正数的是（　　）
A．（﹣3）2 B．﹣3÷2 C．0×（﹣2017） D．2﹣3
【解答】解：A、原式=9，符合题意；
B、原式=﹣1.5，不符合题意；
C、原式=0，不符合题意，
D、原式=﹣1，不符合题意，
故选A

2．（3分）（2017•河北）把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为（　　）
A．1 B．﹣2 C．0.813 D．8.13
【解答】解：把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为8.13，
故选：D．

3．（3分）（2017•河北）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：量角器的圆心一定要与O重合，
故选C．

4．（3分）（2017•河北）=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：=．
故选：B．

5．（3分）（2017•河北）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故选：C．

6．（3分）（2017•河北）如图为张小亮的答卷，他的得分应是（　　）

A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
【解答】解：﹣1的绝对值为1，
2的倒数为，
﹣2的相反数为2，
1的立方根为1，
﹣1和7的平均数为3，
故小亮得了80分，
故选B．

7．（3分）（2017•河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变
【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．

8．（3分）（2017•河北）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边两个小正方形，
故选：A．

9．（3分）（2017•河北）求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（　　）

A．③→②→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
【解答】证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴BO=DO，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD，
∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，
故选B．

10．（3分）（2017•河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（　　）

A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
【解答】解：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，
∴乙的航向不能是北偏西35°，
故选D．

11．（2分）（2017•河北）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线=10≈14，
因为15＞14，所以这个图形不可能存在．
故选A．

12．（2分）（2017•河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（　　）

A．4+4﹣=6 B．4+40+40=6 C．4+=6 D．4﹣1÷+4=6
【解答】解：∵4+4﹣=6，
∴选项A不符合题意；

∵4+40+40=6，
∴选项B不符合题意；

∵4+=6，
∴选项C不符合题意；

∵4﹣1÷+4=4，
∴选项D符合题意．
故选：D．

13．（2分）（2017•河北）若= +，则 中的数是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．任意实数
【解答】解：∵= +，
∴﹣====﹣2，
故____中的数是﹣2．
故选：B．

14．（2分）（2017•河北）甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表，如图，
甲组12户家庭用水量统计表
用水量（吨）
4
5
6
9
户数
4
5
2
1
比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（　　）

A．甲组比乙组大 B．甲、乙两组相同
C．乙组比甲组大 D．无法判断
【解答】解：由统计表知甲组的中位数为=5（吨），
乙组的4吨和6吨的有12×=3（户），7吨的有12×=2户，
则5吨的有12﹣（3+3+2）=4户，
∴乙组的中位数为=5（吨），
则甲组和乙组的中位数相等，
故选：B．

15．（2分）（2017•河北）如图，若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图象是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：抛物线y=﹣x2+3，当y=0时，x=±；
当x=0时，y=3，
则抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，1）；共有4个，
∴k=4；
故选：D．

16．（2分）（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（　　）

A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，
故选C．

二、填空题（本大题共3小题，共10分。17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分。把答案写在题中横线上）
17．（3分）（2017•河北）如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B间的距离为　100　m．

【解答】解：∵AM=AC，BN=BC，
∴AB是△ABC的中位线，
∴AB=MN=100m，
故答案为：100．

18．（3分）（2017•河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=　56　°．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56．

19．（4分）（2017•河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}=　﹣　；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=　2或﹣1　．
【解答】解：min{﹣，﹣}=﹣，
∵min{（x﹣1）2，x2}=1，
当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则（x﹣1）2=1，
x﹣1=±1，
x﹣1=1，x﹣1=﹣1，
解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则x2=1，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，
故答案为：；2或﹣1．

三、解答题（本大题共7小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）（2017•河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．

【解答】解：（1）若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，
∴p=1+0﹣2=﹣1；
若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，
∴p=﹣3﹣1+0=﹣4；

（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A表示﹣31，
∴p=﹣31﹣29﹣28=﹣88．

21．（9分）（2017•河北）编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%．
（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；
（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；
（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．

【解答】解：（1）第6名学生命中的个数为5×40%=2，
则第6号学生的积分为2分，
补全条形统计图如下：

（2）这6名学生中，命中次数多于5×50%=2.5次的有2、3、4、5号这4名学生，
∴选上命中率高于50%的学生的概率为=；

（3）由于前6名学生积分的众数为3分，
∴第7号学生的积分为3分或0分．

22．（9分）（2017•河北）发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；

（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；

延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，
它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2
=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．

23．（9分）（2017•河北）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4时，求的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．

【解答】（1）证明：连接OQ．

∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，
，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP=BQ．

（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP=∠BOQ，
∴P、O、Q三点共线，
∵在Rt△BOQ中，cosB===，
∴∠B=30°，∠BOQ=60°，
∴OQ=OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD=90°+60°=150°，
∴优弧的长==π，

（3）∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8．

24．（10分）（2017•河北）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣5与x轴交于点D，直线y=﹣x﹣与x轴及直线x=﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．
（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
（2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；
（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．

【解答】解：（1）在直线y=﹣x﹣中，
令y=0，则有0=﹣x﹣，
∴x=﹣13，
∴C（﹣13，0），
令x=﹣5，则有y=﹣×（﹣5）﹣=﹣3，
∴E（﹣5，﹣3），
∵点B，E关于x轴对称，
∴B（﹣5，3），
∵A（0，5），
∴设直线AB的解析式为y=kx+5，
∴﹣5k+5=3，
∴k=，
∴直线AB的解析式为y=x+5；

（2）由（1）知，E（﹣5，﹣3），
∴DE=3，
∵C（﹣13，0），
∴CD=﹣5﹣（﹣13）=8，
∴S△CDE=CD×DE=12，
由题意知，OA=5，OD=5，BD=3，
∴S四边形ABDO=（BD+OA）×OD=20，
∴S=S△CDE+S四边形ABDO=12+20=32，

（3）由（2）知，S=32，
在△AOC中，OA=5，OC=13，
∴S△AOC=OA×OC==32.5，
∴S≠S△AOC，
理由：由（1）知，直线AB的解析式为y=x+5，
令y=0，则0=x+5，
∴x=﹣≠﹣13，
∴点C不在直线AB上，
即：点A，B，C不在同一条直线上，
∴S△AOC≠S．

25．（11分）（2017•河北）平面内，如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）

【解答】解：（1）如图1中，

①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°，
②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°﹣（∠QPB﹣∠QPD）=180°﹣（90°﹣10°）=100°，
综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100°．

（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．

∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA=，
∴tan∠ABP=2，
在Rt△APE中，tanA==，设PE=4k，则AE=3k，
在Rt△PBE中，tan∠ABP==2，
∴EB=2k，
∴AB=5k=10，
∴k=2，
∴PE=8，EB=4，
∴PB==4，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴BQ=PB=4．

（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．

在Rt△AEB中，∵tanA==，∵AB=10，
∴BE=8，AE=6，
∴PF=BE=8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，
∴PF=BF=FQ=8，
∴PB=PQ=8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积==32π．
②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x．

易证△PBE≌△QPF，
∴PE=QF=x，EB=PF=8，
∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1，
∵CD∥AB，
∴∠FDQ=∠A，
∴tan∠FDQ=tanA==，
∴=，
∴x=4，
∴PE=4，=4，
在Rt△PEB中，PB=，=4，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积==20π
③如图5中，

当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积==16π，
综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π．

26．（12分）（2017•河北）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．
月份n（月）
1
2
成本y（万元/件）
11
12
需求量x（件/月）
120
100
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．
【解答】解：（1）由题意，设y=a+，
由表中数据可得：，
解得：，
∴y=6+，
由题意，若12=18﹣（6+），则=0，
∵x＞0，
∴＞0，
∴不可能；

（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3），得：120=2﹣2k+9k+27，
解得：k=13，
∴x=2n2﹣26n+144，
将n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合，
∴k=13；
由题意，得：18=6+，
解得：x=50，
∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0，
∵△=（﹣13）2﹣4×1×47＜0，
∴方程无实数根，
∴不存在；

（3）第m个月的利润为W，
W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+）
=12（x﹣50）
=24（m2﹣13m+47），
∴第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），
若W≥W′，W﹣W′=48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240；
若W＜W′，W′﹣W=48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W′﹣W取得最大值240；
∴m=1或11．

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