高中数学选修2-1命题及其关系--四种命题-同步练习上课讲义.doc

高中数学选修2-1命题及其关系--四种命题_同步练习

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命题及其关系--四种命题 同步练习
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
1. 给出以下四个命题：
①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．
其中真命题是 ( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
2. “△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为 （ ）
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角
D．以上都不对
3. 给出4个命题：
①若，则x=1或x=2；
②若，则；
③若x=y=0，则；
④若，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
那么： （ ）
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
4. 命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是 （ ）
A．“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等.”
B．“若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形.”
C．“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形.”
D．“若△ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形.”
5. 命题p：若A∩B=B，则；命题q：若，则A∩B≠B．那么命题p与命题q的关系是（ ）
A．互逆 B．互否
C．互为逆否命题 D．不能确定
6. 对以下四个命题的判断正确的是 ( )
(1)原命题：若一个自然数的末位数字为0，则这个自然数能被5整除
(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为0
(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为0，则这个自然数不能被5整除
(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为0
A．(1)、(3)为真，(2)、(4)为假 B．(1)、(2)为真，(3)、(4)为假
C．(1)、(4)为真，(2)、(3)为假 D．(2)、(3)为真，(1)、(4)为假
二、填写题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．
7. 命题“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是
.
8. 命题“若ab=0，则a，b中至少有一个为零”的逆否命题是 .
9. 有下列四个命题：
①“若x＋y=0 ，则x ，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；[来源:学科网]
③“若q≤1，则x2＋2x＋q=0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中的真命题为
10. 在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是　　　 (把符合要求的命题序号都填上).
11.命题则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p或
q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中判断正确的序号是　　　　　　　　（填上你认为正确的所有序号）．
三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 把命题“未位数是0的整数可以被5整除”改写为“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题

13. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假：
(1)若xy=0，则x，y中至少有一个是0；
(2)若x＞0，y＞0，则xy＞0；

14*.已知是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，设集合．试问下列命题是否是真命题，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明．
　（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
　（2）至多有一个元素；
　（3）当a1≠0时，一定有．

[来源:学#科#网]
参考答案
一、选择题： 1. C 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C
二、填空题：
7．【 答案】若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形．
8．【 答案】若a，b都不为零，则ab 0.
9．【 答案】①③
10．【 答案】②
11．【 答案】①④⑤⑥
三、解答题：
12. 【 解析】 若p则q形式：若一个整数的末位数是0，则它可以被5整除
逆命题：若一个整数可以被5整除，则它的末位数是0
否命题：若一个整数的末位数不是0，则它不能被5整除
逆否命题：若一个整数不能被5整除，则它的末位数不是0
13. 【 解析】 (1)逆命题：若x=0，或y=0则xy=0；
否命题：xy≠0，则x≠0且y≠0；
逆否命题：若x≠0，且 y≠0则xy≠0；
(2)逆命题：若xy＞0,则x＞0，y＞0；
否命题：若x≤0，或y≤0则xy≤0；
逆否命题：若xy≤0；则 x≤0，或y≤0
14. 【 解析】 （1）正确．在等差数列中，则这表明点　的坐标适合方程，于是点均在直线上．
　（2）正确．设,则（x，y）中的坐标x，y应是方程组的解．由方程组消去y得：，当a1＝0时，方程（*）无解，此时；当a1≠0时，方程(*)只有一个解，此时，方程组也只有一个解，故上述方程组至多有一解．
∴至多有一个元素．
（3）不正确．取a1=1,d=1，对一切的有，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于．如果，那么由（2）知中至多有一个元素，而，
这样的，矛盾，故a1＝1，d＝1时，所以a1≠0时，一定有是不正确的．

三、课后作业：
1、命题“都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（ ）
A、都不是奇数，则是偶数 B、是偶数，都是奇数
C、不是偶数，都不是奇数 D、不是偶数，不都是奇数
2、用反证法证明命题：“，能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ）
A、都能被5整除 B、都不能被5整除
C、不都能被5整除 D、不能被5整除，或不能被5整除
3、若一个命题的逆命题为真，则（ ）
A、它的原命题为真 B、它的否命题为真 C、它的逆否命题为真 D、以上三个答案都不正确
4、反证法的证明过程中，假设的内容是（ ）
A、原命题的否命题 B、原命题的逆命题 C、原命题的逆否命题 D、原命题结论的否定
5、若命题的逆命题是，命题是命题的否命题，则是的（ ）
A、逆命题 B、否命题 C、逆否命题 D、以上都不正确
6、设原命题：若，则中至少有一个不小于。则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A、原命题真，逆命题假 B、原命题假，逆命题真
C、原命题与逆命题均为真命题 D、原命题与逆命题均为假命题
7、“中,若,则都是锐角”的否命题为 ；

8、“若，则”的等价命题是 ；

9、分别写出命题“若，则全为”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假。

[来源:学科网]

10、已知下列三个方程：至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围。

[来源:学§科§网]

[来源:Z*xx*k.Com]

11、若均为实数，且，求证：中至少有一个大于。

17．（12分）给定两个命题,
：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．

19．（14分）设0<a, b, c<1，求证：（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不同时大于．

20．（14分）求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4.．

答案
17．解：对任意实数都有恒成立
；关于的方程有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数的取值范围为．
19．证明：用反证法，假设，①+②+③得：
，左右矛盾，故假设不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同时大于.
20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.
先证明条件的充分性：
∴方程有实数根 ①

①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有实数根，且两根均小于2”.
再验证条件不必要：
∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－<2，
∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.
评析：充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念，在解答任何一个数学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性，还是充分且必要.对于证明题、计算题等，往往只需满足命题条件的充分性，即由条件进行推理、演绎得出结论；而对于求参数的范围，求不等式的解集，求函数的值域等许多问题，则必需保证推理的充要性.

13.已知命题p：方程有两个不等的负实根, 命题q：方程无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

13. 【 解析】由已知p，q中有且仅有一为真，一为假．[来源:学科网]
．　　．
（1）若p假q真，则；
（２）若p真q假，则．
综上所述：．
点评　本题在利用复合命题的真假条件时，实质上涉及到化归思想、分类讨论思想和集合的“交”、“并”、“补”运算．　

10. 若三条抛物线中至少有一条与x轴有公共点，求a的取值范围.

13*. 已知函数f(x)满足下列条件：（1）；（2）；（3）的值域为［－1,1］．
试证：不在f(x)的定义域内．

14*.已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

10. 【 解析】 若按一般思维习惯，对三条抛物线与x轴公共点情况一一分类讨论，则较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x轴无公共点的的范围”则很简单.
由 解之，得，记，
则所求a的范围是 ∁
13. 【 解析】 证明　假设在f(x)的定义域内，则有意义，且．
又由题设，得＝，此与矛盾．
故假设不成立，从而不在f(x)的定义域内．
点评 运用反证法时常见词语的否定方式有：“在”“不在”；“是”“不
是”；“都是”“不都是”；“大于”“不大于”；“所有的…”“至少有一个不…”；“至少一个” “一个也没有”；“任意一个”“存在某个不…”，等等．
14*. 【 解析】若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，
即p：m＞2
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0
解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.
因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一为假，
因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真.
∴
解得：m≥3或1＜m≤2.[来源:学*科*网]

【例4】已知 设
P：函数在R上单调递减．
Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围．
【分析】本题主要考查集合、函数、不等式、绝对值等基本知识;考查分析和判断能力.解题突破口：用数轴表示两个集合, 这时如果P和Q有且仅有一个正确就一目了然．本题解题过程中蕴涵着分类讨论的数学思想和转化思想.
【解】函数在R上单调递减
不等式

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