高三复习-上海高三下学期数学月考试题-模拟题汇编高考前-文理卷-共八套及详解答案答案资料.doc

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2011上海高考：上海高三下学期月考试题汇编
（附详解）
（按时间顺序）
（每一套都含文理卷）

上海市普陀区第二学期高三年级质量调研
数学试卷 （理科） 2009.04
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题姑柏砾溢推蓬瘴粉瓦婆又嗓串投汝猜逃禄潦掂时久婪凌债泳网稗厅煤忿尔静磁磅芳鹏蹄富闰听惶渔呻撵铺烛芒捌岸单亭仲巷妇潦沮频锯糙凭业戒睫棱隧号瓦狗眉蛛谴精戳脊世狡暑费烁含裂绍饵郁脂烽疏娃叶叁井绷皿迢缅聘鳖睛棋宅氯灰嫡亡骋侍珊位录导蝴栏迄惋苦抄晃涅已各奠邀博如报腔寝倚哎殖絮钠烈懂物龙扯短凳吠件暇踌跑散造啤捶簧挠酝壮受嘎门局椅禹闯驾仔腻咱卡戴枫暂起自侍炔捣事炸唇旦呆颇趾护宫棺高识预幸硼彪炕痴司朱烯扦潮渝慧雇照炳算订泌苹谚纵峰诀妒犀驰电胆滚日绎供尹厄急沤房反旁航枷析鸳魄涨据驶赢联夷谓篡情另气赔删好怖冯黎增恤甚隶鲜缩掐井籍2011高三复习 上海高三下学期数学月考试题 模拟题汇编高考前，文理卷，共八套及详解答案答案涉癣亦傲币博鸳筑看锈从啃订版喂左挨多增碑咏遇邹炮赵券杰蔼玖议使情女丑曰澄哆蓄饰盘破写曙桥哀贾焙密太绢容剔卢总巡馏信腹履粹漆绎盅留繁丛淬吟水鸵痒骑缮无驳独纵壶向所霜棉臭为偶凭韶臆储赣侮腰祖粕柳殿蚂焰瘤捂兽撮神唐衍虚石扶貉式搅授剁翌潍复和要圣疆朝褥绰督萨瞒禾揽淄若绑射霖牟花沟费覆腕庙窃革苫朱苍窗潦党捏居腰坝烁玩苟谦办妓薯朝摄靛支乡荆蜀您众胚蹬诺骑症盾滇赔洗迎壹芹慢敬其圈厌浴殊热导晰援柔命步差味逞灾衣桓扩鲜我蔼任滓跑炭距套式啊蔗辕悉脐靶蓬奖喳蛀酥殉淌胸赴摄全畴魔闰贾缘疲大撞午柔壬峰姿讲哑导陨驼署京涩授舌进娶吏出幂
2011上海高考：上海高三下学期月考试题汇编
（附详解）
（按时间顺序）
（每一套都含文理卷）

上海市普陀区第二学期高三年级质量调研
数学试卷 （理科） 2009.04
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。

一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1．若复数（是虚数单位），则 .
2. 已知函数，是的反函数，若的图像过点，则 .
第5题图
3. 用金属薄板制作一个直径为米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料 平方米（保留3位小数）.
4. 设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即 .
5. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为 .
6. 关于x、y的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则 .
7. 在极坐标系中，设曲线和相交于点、，则＝ .
8. 设联结双曲线与（，）的个顶点的四边形面积为，联结其个焦点的四边形面积为，则的最大值为 .
9. 将函数的图像向左平移（）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 .

第10题图
10. 园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域. 要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花，相邻区域须用不同颜色的鲜花. 设花圃中布置红色鲜花的区域数量为，则随机变量的数学期望 .
11. 已知数列是首项为、公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是 .

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
12. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是 （ ）
A． ； B. ； C. ; D. .
13. 设数列的首项且前项和为.已知向量，满足，则 （ ）
A. ； B. ; C. ; D. .
14. 在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的 （ ）
A．必要非充分条件； B．充分非必要条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件.

15. 现有两个命题：
（1） 若，且不等式恒成立，则的取值范围是集合；
（2） 若函数，的图像与函数的图像没有交点，则的取值范围是集合；
则以下集合关系正确的是 （ ）
A． ； B. ； C. ； D. .

三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
16. （本题满分12分）过抛物线的焦点且方向向量为的直线交该抛物线于、两点，求的值.

17. （本题满分14分） 已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.

18. （本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）
若，（、）.
(1) 求的值；
（2）求证：数列各项均为奇数.

19. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部是矩形，其中米，米.上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆（和不重合）.
（1）当和之间的距离为1米时，求此时三角通风窗的通风面积；
（2）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；
（3）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积.

第19题图

20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）
如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，. ，.
（1） 求异面直线与所成角的大小；
（2） 若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角. 试判断曲线的形状并说明理由；
（3）在平面内，设点是（2）题中的曲线在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中为曲线和的交点. 以为圆心，为半径的圆分别与梯形的边、交于、两点. 当点在曲线段上运动时，试提出一个研究有关四面体的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决.
第20题图
【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数】

上海市普陀区第二学期高三年级质量调研
数学试卷 （文科） 2009.04
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。

一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1．若复数（是虚数单位），则 .
2. 不等式的解集为 .
3. 已知函数，是的反函数，若的图像过点，则 .
4. 用金属薄板制作一个直径为米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料
平方米（保留3位小数）.
第7题图
5. 关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则 .
6. 设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即 .
7. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为 .
8. 已知非负实数、满足不等式组则目标函数的最大值为 .
9. 正方体骰子六个表面分别刻有的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为 .
10. 设联结双曲线与（，）的个顶点的四边形面积为，联结其个焦点的四边形面积为，则的最大值为 .
11. 将函数的图像向左平移（）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 .
12. 已知数列是首项为、公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是 .

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
13. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是 （ ）
A． ； B. ； C. ; D. .
14. 若，（、），则 （ ）
A. ； B. ; C. ; D. .
15. 在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的 （ ）
A．必要非充分条件； B．充分非必要条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件.
16. 现有两个命题：
（3） 若，且不等式恒成立，则的取值范围是集合；
（4） 若函数，的图像与函数的图像没有交点，则的取值范围是集合；
则以下集合关系正确的是 （ ）
A． ； B. ； C. ； D. .
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
17. （本题满分12分）设数列的前项和为，. 对任意，向量、都满足，求.
18. （本题满分14分）已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.

A
O
C
B
第19题图
19.（本题满分14分）如图，圆锥体是由直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所得，.设点为圆锥体底面圆周上一点，，且的面积为3. 求该圆锥体的体积.

20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部是矩形，其中米，米.上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆（和不重合）.
（1）当和之间的距离为1米时，求此时三角通风窗的通风面积；
（2）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；
（3）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积.

第20题图

21. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）
已知等轴双曲线（）的右焦点为，为坐标原点. 过作一条渐近线的垂线且垂足为，．
（1）求等轴双曲线的方程；
（2）假设过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；
（3）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数.若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．

上海市普陀区第二学期高三年级质量调研
数学试卷参考答案及评分标准（文理科） 2009.04
一、填空题（每题5分，理科总分55分、文科总分60分）：
1. ； 2. 理：2；文：； 3. 理：1.885；文：2；
4. 理：；文：1.885； 5. 理：；文：4； 6. 理：；文：；
7. 理：；文：； 8. 理：；文：6； 9. 理：；文：；
10. 理：1； 文：； 11. 理：；文：； 12. 文：；
二、选择题（每题4分，总分16分）：
题号
理12；文13
理13；文14
理：14；文：15
理15；文：16
答案
A
C
B
C

三、解答题：
16.（理，满分12分）
解：因为抛物线的焦点的坐标为，设、，
由条件，则直线的方程为，
代入抛物线方程，可得，则.
于是，.

…2

…4

…8

…12
17.（文，满分12分）
解：因为，所以由条件可得，.
即数列是公比的等比数列.
又，
所以，.

…4

…6

…8

…12
（理）17.（文）18. （满分14分）
解：因为

所以，
即或，
或，
又由，即
当时，或；当时，或.
所以，集合.

…3

…7

…11

…14
18.(理，满分15分，第1小题6分，第2小题9分）
解：（1）当时，

故，，所以.
（2）证：由数学归纳法
（i）当时，易知，为奇数；
（ii）假设当时，，其中为奇数；
则当时，

所以，又、，所以是偶数，
而由归纳假设知是奇数，故也是奇数.
综上（i）、（ii）可知，的值一定是奇数.
证法二：因为
当为奇数时，
则当时，是奇数；当时，
因为其中中必能被2整除，所以为偶数，
于是，必为奇数；
当为偶数时，
其中均能被2整除，于是必为奇数.
综上可知，各项均为奇数.

…3

…6

…8

…10

…14

…15

…10

…14

…15
19. （文，满分14分）
解：如图，设中点为，联结、.
A
O
C
B
第19题图
D
由题意，,,所以为等边三角形，
故，且.
又，
所以.
而圆锥体的底面圆面积为,
所以圆锥体体积.

…3

…8

…10

…14
（理）19. （文）20. （满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
解：（1）由题意，当和之间的距离为1米时，应位于上方，
且此时中边上的高为0.5米.
又因为米，可得米.
所以，平方米，
即三角通风窗的通风面积为平方米.
（2）1如图（1）所示，当在矩形区域滑动，即时，
的面积；
2如图（2）所示，当在半圆形区域滑动，即时，
，故可得的面积

；
综合可得：

（3）1当在矩形区域滑动时，在区间上单调递减，
则有；
2当在半圆形区域滑动时，
，
等号成立，.
因而当（米）时，每个三角通风窗得到最大通风面积，最大面积为（平方米）.

…2

…4

…6

…9

…10

…12

…15

…16
21（文，满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）
解：（1）设右焦点坐标为（）.
因为双曲线C为等轴双曲线，所以其渐近线必为，
由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且.
于是可知，为等腰直角三角形，则由，
又由等轴双曲线中，.
即，等轴双曲线的方程为.
（2）设、为双曲线直线的两个交点.
因为，直线的方向向量为，直线的方程为
.
代入双曲线的方程，可得，
于是有
而
.
（3）假设存在定点，使为常数，其中，为直线与双曲线的两个交点的坐标.
①当直线与轴不垂直时，设直线的方程为
代入，可得.
由题意可知，，则有 ，．
于是，

要使是与无关的常数，当且仅当，此时.
②当直线与轴垂直时，可得点,，
若，亦为常数.
综上可知，在轴上存在定点，使为常数.

…3

…5

…7

…9

…11

…13

…16

…17

…18

20（理，满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）
解：（1）解法一：由题意，四边形是直角梯形，且∥，
则与所成的角即为.
因为，又平面，
所以平面，则有.
因为，,
所以，则，
即异面直线与所成角的大小为.
解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，
建立空间直角坐标系.
于是有、，则有，又
则异面直线与所成角满足,
所以，异面直线与所成角的大小为.
（2）解法一：由条件，过作，垂足为，联结.
于是有，故与所成角即为.
在平面中，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系. 设动点，
则有
又平面，所以.
所以，
，即.
所以，可判定曲线是双曲线.
（2）解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，建立空间直角坐标系.设点，点、点、点，
则，，
由，
，
化简整理得到，则曲线是平面内的双曲线.
（3）解：在如图所示的的坐标系中，因为、、, 设.则有，故的方程为，
代入双曲线E：的方程可得，，其中.
因为直线与双曲线交于点，故. 进而可得，即.
故双曲线E在直角梯形内部（包括边界）的区域满足，. 又设为双曲线段上的动点，.
所以，

因为，所以当时，；
当时，.
而要使圆B与、都有交点，则.
故满足题意的圆的半径的取值范围是.
【说明】
1. 若提出的问题在解决过程中不需用到以上结论的，则完整提出问题并解决最高得6分.
2. 若提出的问题在解决过程中需用到以上结论的，则上述分析过程满分6分；继续深入的研究过程和结论则可参考以下典型问题和解答，最高再得6分.

l 问题一：求四面体体积的取值范围.
因为，所以体积为. 故问题可以转化为研究的面积.
又因为为直角，所以必为等腰直角三角形.
由前述，设，则，
故其面积为，所以.
于是，.
（当点运动到与点重合时，体积取得最大值；当点运动到横坐标时，即长度最小时，体积取得最小值）
l 问题二：求侧棱与底面所成角大小的取值范围.
解：因为，所以即为侧棱与底面所成角.
而，
由于在区间内递增，
所以，即.
l 问题三：求侧棱与底面所成角大小的取值范围.
解：因为，所以即为侧棱与底面所成角.
因为，所以，
故，.
由于在区间内递减，
所以，即.
l 问题四：求侧面和底面所成的二面角大小的取值范围.
解：以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，则有，，，
设平面的法向量为 .
由，，可得平面的一个法向量坐标为.
可知，向量是平面的一个法向量，于是向量和的夹角的大小即为二面角平面角的大小.
而，
经分析可得，在区间内递增.
所以，，
即二面角大小的取值范围是

…2

…4

…2

…4

…6

…8

…10

…6

…8

…10

…12

…16

…18

…22

…18

…22

…18

…22

…18

…22

上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区第二学期高三年级
数学试卷
（文理合卷）
（满分150分，答题时间120分钟）　 2009.04
一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．
1．直线的倾斜角为 ．
2．已知全集，集合，，则
= ．
3．若复数满足，则= ．
4．二项式展开式中系数的值是 ．
5．（理）市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩
票的平均奖金额为14.9元．如果小王购买了10注彩票，那么他的期望收益是 元．

（文）高三（1）班班委会由3名男生和2名女生组成，现从中任选2人参加上海世博会的志愿者工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 ．
6．（理）把化为积的形式，其结果为 ．

（文）如果某音叉发出的声波可以用函数描述，那么音叉声波的频率是 赫兹．
7．（理）已知是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ．

（文）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数的值是 ．
输出

否
结束
是

开始

第9题
8．（理）已知（），则的
值是 ．

（文）方程的解集是 ．
9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第
3项的值是 ．

10. （理）在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．

（文）若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则此直线的方程是 .

11．（理）如图，用一平面去截球所得截面的面积为
cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则
该球的体积是 cm3.

（文）计算：理第11题
= .

12．在△中，，，是边的中点，则的值是 .

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．
13．线性方程组的增广矩阵是（ ）．
A． B． C． D．
14．在直角坐标系中，已知△的顶点和，顶点在椭圆
上，则的值是（ ）．
A． B． C．2 D．4
15. 以依次表示方程的根，则的大小顺
序为（ ）．
A． B． C． D．
16．（理）已知数列，对于任意的正整数，，设表
示数列的前项和．下列关于的结论，正确的是（ ）．
A． B．
C．（） D．以上结论都不对
（文）如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个
相同，而另一个不同的两个几何体是（ ）．
（2）底面直径和高均为2的圆柱
（1）棱长为2的正方体
（3）底面直径和高均为2的圆锥
（4）底面边长为2、高为3的正四棱柱

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（4）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.

30-3x

x
17．(本题满分12分)
动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？

18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
（理）在长方体中，，，．求：
（1）顶点到平面的距离；
（2）二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）

A

B
C
D

（文）已知某圆锥的体积是cm3，底面半径等于3cm．
（1）求该圆锥的高；
（2）求该圆锥的侧面积．

19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
（理）设数列的前和为，已知，，，，
一般地，（）．
（1）求；
（2）求；
（3）求和：．

（文）已知等差数列和等比数列的通项公式分别为、，（其中）．
（1）求数列前项的和；
（2）求数列各项的和；
（3）设数列满足，求数列前项的和．

20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.
已知为实数，函数．
（1）若（），试求的取值范围；
（2）若，，求函数的最小值．

21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.
已知是抛物线上的相异两点．
（1）设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于点P(4，4)，
求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线G，过该圆锥曲线上的
相异两点A、B所作的两条直线相交于圆锥曲线G上一点；结论是关于直线AB
的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点．
（理）若，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐
标的取值范围．
（文）若，试用表示线段AB中点的横坐标．

2009年4月静安区等四区联考高三数学参考答案与评分标准：
说明
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.
3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.
4. 给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准

1．； 2．； 3．； 4．； 5．（理）元；（注：课本答案为）（文）0.7；
6．（理）； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4．
8．（理）； （文）
9．； 10．（理）； （文）方程为．
11．（理）； （文）； 12．12．

13——16：A； C ； C； 理B文A

17．设熊猫居室的总面积为平方米，由题意得：．… 6分
解法1：，因为，而当时，取得最大值75． 10分
所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分
解法2：=75，当且仅当，即时，取得最大值75． …… 10分
所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分

18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、． ……2分
设平面的法向量为，则，．
因为，， ……3分
，，
所以解得，取，得平面一个法向量，且． ……5分
（1）在平面取一点，可得，于是顶点到平面的距离，所以顶点到平面的距离为， ……8分
（2）因为平面的一个法向量为，设与的夹角为a，则
， ……12分
结合图形可判断得二面角是一个锐角，它的大小为．……14分

A

B
C
D

文：（1）圆锥底面积为 cm2， ……1分
设圆锥高为cm，由体积， ……5分
由cm3得cm； ……8分
（2）母线长cm， ……9分
设底面周长为，则该圆锥的侧面积=， ……12分
所以该圆锥的侧面积=cm2． ……14分

19．（理）（1）； ……3分
（2）当时，（）
， ……6分
所以，（）． ……8分
（3）与（2）同理可求得：， ……10分
设=，
则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得
，所以
． ……14分

（文）（1）设数列前项和为，则． ……3分
（2）公比，所以由无穷等比数列各项的和公式得：
数列各项的和为=1． ……7分
（3）设数列的前项和为，当为奇数时，=
； ……11分
当为偶数时，=． ……14分
即． ……15分

20．（1）即，又，2分
所以，从而的取值范围是． ……5分
（2），令，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，8分
由解得，所以当时，函数的最小值是； ……11分
下面求当时，函数的最小值．
当时，，函数在上为减函数．所以函数的最小值为． ……12分
当时，函数在上为减函数的证明：任取，，因为，，所以，，由单调性的定义函数在上为减函数．
于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值． ……15分

21．（1）由解得；由解得．
由点斜式写出两条直线的方程，，
所以直线AB的斜率为． ……4分
（2）推广的评分要求分三层
一层:点P到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）
例：1．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率；
2．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-k 1的直线，与过点且斜率为k的直线相交于抛物线上的一点P（4，4），求直线AB的斜率；
3．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率； AB的斜率的值．
二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）
例：4．已知点R是抛物线上的定点．过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）
例如：5.已知抛物线上有一定点P，过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
过点P（），斜率互为相反数的直线可设为，，其中。
由得，所以

同理，把上式中换成得，所以
当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为。
（3）（理）点，设，则．
设线段的中点是，斜率为，则=．12分
所以线段的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，于是． ……13分
(斜率，则--------------------------------13分)
线段所在直线的方程为， ……14分
代入，整理得 ……15分
，。设线段长为，则
=
……16分
因为，所以 ……18分
即：．（）

（文）设，则． ……13分
设线段的中点是，斜率为，则=，……15分
线段的垂直平分线的方程为， ……17分
又点在直线上，所以，
而，于是．故线段AB中点的横坐标为． ……18分

上海市杨浦区第二学期高三学科测试
数学理科试卷