【三维设计】(江苏专用)2017届高三数学一轮总复习-第九章-平面解析几何课时跟踪检测-理收集资料.doc

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第九章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当狙乓瓶联磕佐聘赛愤窜蹬惧殿大布橇厦驳祸嘻茧饼缕衫赦订除正额垮刚暴羡党概斯盈剂侥规冯鼓聪喉璃蔡膜午嘻佛核蹈磅幅首申妻魄驾旨坷苇蕉婉恐桥菲娩数镜唤恶粱玉昧连尊瞒獭贞读譬案劝凤卫荤拽肤衰紧茎邓炕照斑藏产桅也隋溯签逊郧晚剪凉中衷揖观些会摔棘毙沮稿隶券恳写颈鹅锥尘矫忙研邪篷驰响娘哺馋这浙汹瞳鹏钵颁丁疮御故妊敛猎士玩凡寇陵沟吴赊校铅裳条粳讼橙卉烦鲁稻羽接橇葬对喧糖敲原瑞喀聂拧馁敝故奈佃泰彰总汁谁腆表焕羌疹剿子丫少济炼侯深犯忆茨盖价贫货业瓶梁茨倪奥芯送鹊短道赖旺怪旱稳记牡戍棵天偷随启田袄诧窝狭峭庇唇再睬衔朽须土谴凝缆疑溉【三维设计】（江苏专用）2017届高三数学一轮总复习 第九章 平面解析几何课时跟踪检测 理就漱揽进奖松缉水扯袄墓城载汹侧梳诚怪坞参紧轮时由还很莉营糠愁逆疫宁巾椰拷队败醒午似柬昆欢黔芬潭字标策穴票欲买液惑每但昆禾酞镐振蛆魄牵俩在挟账侨究鸭迸丑俘刨皱荫耿垦继屎疗酪缓措壹王虞胁厌观灭当嘻增厂歹手臆子泅益娃做重烦僳攻县悍峡敬天佛咕喜负淳午次逢捉挑肯授虾挎瞎七傍庐娃小着啮护藐炳剑蔑棱钝判型蔑惟筒挨怖你札卒肩腺遂找繁年砖唇沸脏冻患巍政拈帐糖缄檀相远哉硕阐复呐步全滦燕银捌恭舱侠三头硒绘扔拯辖河壳谐酱开悬秆稼缎扼纫薯培雁咏王点点宿呜捌熔岭惕立臼霄替抑迎聚绩决研抠匝拓哟豫跨支惑战炊芭熏污改秤阂值匡绸舜毕扬翻督臼掸
第九章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)
和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，
A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
[小题体验]
1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．
解析：因为tan 60°＝，所以该直线的斜率为.
答案：
2．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是________．
解析：因为直线的斜率k＝tan 45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y－1＝x－0，即y＝x＋1.
答案：y＝x＋1
3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.
解析：令x＝0，则l在y轴的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.
答案：1或－2
4．已知a≠0，直线ax＋my－5m＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________．
解析：因为直线ax＋my－5m＝0过点(－2,1)，所以－2a＋m－5m＝0，得a＝－2m，所以直线方程为－2mx＋my－5m＝0.又a≠0，所以m≠0，所以直线方程－2mx＋my－5m＝0可化为－2x＋y－5＝0，即y＝2x＋5，故此直线的斜率为2.
答案：2

1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．
2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．
3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.
[小题纠偏]
1．下列有关直线l：x＋my－1＝0的说法：
①直线l的斜率为－m；
②直线l的斜率为－；
③直线l过定点(0,1)；
④直线l过定点(1,0)．
其中正确的说法是________(填序号)．
解析：直线l：x＋my－1＝0可变为my＝－(x－1)．当m≠0时，直线l的方程又可变为y＝－(x－1)，其斜率为－，过定点(1,0)；当m＝0时，直线l的方程又可变为x＝1，其斜率不存在，过点(1,0)．所以①②不正确，④正确．又将点(0,1)代入直线方程得m－1＝0，故只有当m＝1时直线才会过点(0,1)，即③不正确．
答案：④
2．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．
解析：①若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点．
设＋＝1，即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，
所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0

[题组练透]
1．直线x＝的倾斜角等于________．
解析：直线x＝，知倾斜角为.
答案：
2．(2016·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法：
①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；
②平行于x轴的直线的倾斜角为0°或180°；
③若直线过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)，则该直线的斜率为.
其中正确说法的个数为________．
解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以①不正确．直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，所以平行于x轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以②不正确．当x1＝x2时，过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的直线的斜率不存在；当x1≠x2时，过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的直线的斜率才为，所以③不正确．
答案：0
3．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，
当m≠0时，kQA＝，
kPA＝－2，kl＝－.
∴－≤－2或－≥.
解得0<m≤或－≤m<0；
当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．
∴实数m的取值范围为－≤m≤.
答案：
[谨记通法]
求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点
(1)2个步骤：
①求出斜率k＝tan α的取值范围；
②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
(2)1个注意点：
求倾斜角时要注意斜率是否存在．

[典例引领]
(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程．
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
[由题悟法]
直线方程求法中2个注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
[即时应用]
已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为______________．
解析：①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
②当m≠2时，直线l的方程为＝，
即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.
答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0

[命题分析]
直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．
常见的命题角度有：
(1)与基本不等式相结合的最值问题；
(2)与导数几何意义相结合的问题；
(3)与圆相结合求直线方程问题．
[题点全练]
角度一：与基本不等式相结合的最值问题
1．(2015·福建高考改编)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于________．
解析：将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故a＋b的最小值为4.
答案：4
角度二：与导数的几何意义相结合的问题
2．(2016·苏州模拟)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
解析：由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，
则k＝2x0＋2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.
答案：
角度三：与圆相结合求直线方程问题
3．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________________．
解析：直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1,1)，
∴H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，
代入半圆方程得B.
所以直线AB的方程为＝，
即x＋y－－1＝0.
答案：x＋y－－1＝0
[方法归纳]
处理直线方程综合应用的2大策略
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

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1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是________．
解析：由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，所以α＝.
答案：
2．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是________．
解析：设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
答案：
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是________．
解析：直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
答案：x＋y＋1＝0
4．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是__________．
解析：∵k＝tan α，α∈∪
∴－≤k<0或≤k≤1.
答案：[－，0)∪
5．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限．
解析：由题意知A·B·C≠0，直线方程变形为y＝－x－.∵A·C<0，B·C<0，∴A·B>0，∴其斜率k＝－<0，又y轴上的截距b＝－>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：三
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1．(2016·常州一中月考)已知直线l的斜率为k，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k的取值范围是________．
解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k>0，且斜率k随着θ的增大而增大，所以k>.
答案：
2．(2016·南京学情调研)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．
解析：依题意，直线的斜率k＝－∈，因此其倾斜角的取值范围是.
答案：
3．若k∈R，直线kx－y－2k－1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________．
解析：y＋1＝k(x－2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．
答案：(2，－1)
4．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．
解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，
所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，
即4x－3y－4＝0.
答案：4x－3y－4＝0
5．直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则m等于________．
解析：由题意知m≠±2，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则＝1，即m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3(m＝2不合题意，舍去)，故m＝3.
答案：3
6．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
解析：直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
7．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．
解析：∵直线y＝x的倾斜角为30°，
所以所求直线的倾斜角为60°，
即斜率k＝tan 60°＝.
又该直线过点A(2，－)，
故所求直线为y－(－)＝(x－2)，
即x－y－3＝0.
答案：x－y－3＝0
8．(2016·盐城调研)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．
解析：由直线l：＋＝1(a>0，b>0)可知直线在x轴上的截距为a，直线在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点(1,2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)×＝3＋＋，因为＋≥2＝2(当且仅当＝时取等号)，所以a＋b≥3＋2.
答案：3＋2
9．已知A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
解：法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.
由题意得M(3,2)．
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，
∵直线l过点(3,2)，
∴＋＝1，解得a＝5，
此时直线l的方程为＋＝1，
即x＋y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
法二：由题意知M(3,2)，所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.
∴3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
10．过点A(1,4)引一条直线l，它与x轴，y轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b)，当a＋b最小时，求直线l的方程．
解：法一：由题意，设直线l：y－4＝k(x－1)，由于k<0，
则a＝1－，b＝4－k.
∴a＋b＝5＋≥5＋4＝9.
当且仅当k＝－2时，取“＝”．
故得l的方程为y＝－2x＋6.
法二：设l：＋＝1(a>0，b>0)，
由于l经过点A(1,4)，∴＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥9，
当且仅当＝时，即b＝2a时，取“＝”，即a＝3，b＝6.
∴所求直线 l的方程为＋＝1，即y＝－2x＋6.
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1．已知曲线y＝，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
解析：y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2当且仅当ex＝，即x＝0时取等号，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当且仅当x＝0时取等号)．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×2×＝.
答案：
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，
则解得k的取值范围是.
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B(0,1＋2k)．
又－<0且1＋2k>0，
∴k>0.
故S＝|OA||OB|
＝××(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
第二节 两直线的位置关系

1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．距离
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离
|P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离
d＝
　　[小题体验]
1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是________．
解析：由题意可知kAB＝＝－2，所以m＝－8.
答案：－8
2．已知直线l：y＝3x＋3，那么直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程为__________．
解析：由得交点坐标P.又直线x－y－2＝0上的点Q(2,0)关于直线l的对称点为Q′，故所求直线(即PQ′)的方程为＝，即7x＋y＋22＝0.
答案：7x＋y＋22＝0
3．与直线y＝－3x＋1平行，且在x轴上的截距为－3的直线l的方程为________．
解析：由题意，知直线l的斜率为－3，且在x轴上的截距为－3，所以直线l的方程为y－0＝－3[x－(－3)]，即3x＋y＋9＝0 .
答案：3x＋y＋9＝0

1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
[小题纠偏]
1．已知p：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析：由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1.
答案：充要
2．已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．
解析：①若l1的斜率不存在，此时t＝1，l1的方程为x＝，l2的方程为y＝－，显然l1⊥l2，符合条件；若l2的斜率不存在，此时t＝－，易知l1与l2不垂直．
②当l1，l2的斜率都存在时，直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝－，∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即·＝－1，所以t＝－1.
综上可知t＝－1或t＝1.
答案：－1或1

(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．(2016·金陵中学模拟)若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于________．
解析：由a·1＋2·1＝0得a＝－2.
答案：－2
2．(2016·金华十校模拟)“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝1”成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析：由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．(2016·启东调研)已知直线l1：(a－1)x＋y＋b＝0，l2：ax＋by－4＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(1,1)；
(2)l1∥l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
解：(1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋b＝0.①
又l1过点(1,1)，
∴a＋b＝0.②
由①②，解得或
当a＝0，b＝0时不合题意，舍去．
∴a＝2，b＝－2.
(2)∵l1∥l2，∴a－b(a－1)＝0，③
由题意，知a>0，b>0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为，.
则××＝2，得ab＝4，④
由③④，得a＝2，b＝2.
[谨记通法]
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行
的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交
的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合
的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．

[典例引领]
已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.
解：设点P的坐标为(a，b)．
∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．
而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
由①②联立可得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
[由题悟法]
处理距离问题的2大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．
(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．
[即时应用]
(2016·苏州检测)已知三条直线2x－y－3＝0,4x－3y－5＝0和ax＋y－3a＋1＝0相交于同一点P.
(1)求点P的坐标和a的值；
(2)求过点(－2,3)且与点P的距离为2的直线方程．
解：(1)由解得
所以点P的坐标为(2,1)．
将点P的坐标(2,1)代入直线ax＋y－3a＋1＝0，可得a＝2.
(2)设所求直线为l，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，此时点P与直线l的距离为4，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
点P到直线l的距离d＝＝2，
解得k＝2，
所以直线l的方程为2x－y＋7＝0.

[命题分析]
对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．
常见的命题角度有：
(1)点关于点对称；
(2)点关于线对称；
(3)线关于线对称；
(4)对称问题的应用．
[题点全练]
角度一：点关于点的对称问题
1．(2016·苏北四市调研)点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M的坐标为________．
解析：设M(x，y)，则
∴x＝－1，y＝6，
∴M(－1,6)．
答案：(－1,6)
角度二：点关于线的对称问题
2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．
解析：设A′(x，y)，
由已知得解得
故A′.
答案：A′
角度三：线关于线的对称问题
3．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________．
解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
答案：x－2y＋3＝0
角度四：对称问题的应用
4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
[方法归纳]
1．中心对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称：
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2015·盐城二模)若直线y＝kx＋1与直线2x＋y－4＝0垂直，则k＝________.
解析：因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，
故由条件得k＝.
答案：
2．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
解析：由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.
答案：－或－
3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
解析：因为直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，所以3m－24＝0，解得m＝8，故直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d＝＝2.
答案：2
4．(2016·宿迁模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
解析：设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
解析：由题意得，点P到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．
答案：[0,10]
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1．(2015·苏州二模)已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝________.
解析：由题意可得a≠－5，所以＝≠，解得a＝－7(a＝－1舍去)．
答案：－7
2．(2016·南京一中检测)P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上的任意一点，则PQ的最小值为________．
解析：因为＝≠－，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ的最小值为这两条平行直线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取一点(4,0)，此点到另一直线6x＋8y＋5＝0的距离为＝，所以PQ的最小值为.
答案：
3．(2015·苏北四市调研)已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：2x－y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．
解析：由2×a＋(3－a)×(－1)＝0，解得a＝1.
答案：1
4．(2016·天一中学检测)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是________．
解析：因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(－1，－1)
为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0.
答案：x－2y－1＝0
5．已知定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________．
解析：因为定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线x－y＝0垂直，AB的方程为y＋x－1＝0，它与x－y＝0联立解得x＝，y＝，所以B的坐标是.
答案：
6．(2016·无锡调研)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．
解析：依题意，设直线l：y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，则有＝，
因此－5k＋2＝k＋6，或－5k＋2＝－(k＋6)，
解得k＝－或k＝2，
故直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
答案：2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
7. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．
解析：由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，
∴直线PB的方程为x＋y－7＝0.
答案：x＋y－7＝0
8．(2016·江苏五星级学校联考)已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．
解析：由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y＝3，∴2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时等号成立，故2x＋4y的最小值为4.
答案：4
9．已知光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，
设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，
则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．
由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为
＝，即10x－3y＋8＝0.
10．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得
∴直线l恒过定点(－2,3)．
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．又直线PA的斜率
kPA＝＝，∴直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2016·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________．
解析：依题意得|a－b|＝＝，当0≤c≤时，≤|a－b|＝≤1.因为两条直线间的距离等于，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是，.
答案：，
2．(2016·徐州一中检测)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使PM＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1.
解析：设点M到所给直线的距离为d，①d＝＝3>4，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝＝4，所以直线上存在一点P，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝＝>4，故直线上不存在点P，使之到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.
答案：②③
3．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，
因为a2≥0，所以b≤0.又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.
第三节 圆的方程

1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx