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热传导方程扩散方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、从不一样物理模型出发,建立数学物理中三类从不一样物理模型出发,建立数学物理中三类 经典方程经典方程依据系统边界所处物理条件和初始状态列出依据系统边界所处物理条件和初始状态列出 定解条件定解条件提出对应定解问题提出对应定解问题第一章第一章 数学建模和基本原理介绍数学建模和基本原理介绍第第1页页1.1 1.1 数学模型建立数学模型建立数学模型建立普通方法:数学模型建立普通方法:确定所研究物理量;确定所研究物理量;建立适当坐标系;建立适当坐标系;划划出出研研究究小小单单元元,依依据据物物理理定定律律和和试试验验资资料料写写出出 该该单单元元与与邻邻近近单单元元相相互互作作用用,分分析析这这种种相相互
2、互 作作用用在在一一个个短短时时间间内内对对所所研研究究物物理理量量影影响响,表示为数学式表示为数学式;简化整理,得到方程。简化整理,得到方程。第第2页页2 热传导动方程热传导动方程第一节第一节 热传导方程导出和定解条件热传导方程导出和定解条件一、热传导方程导出:一、热传导方程导出:给定一空间内物体给定一空间内物体 ,设其上点,设其上点 在在时刻时刻 温度为温度为 。模型:模型:问题:问题:研究温度研究温度 运动规律。运动规律。第第3页页分析:(两个物理定律和一个公式)分析:(两个物理定律和一个公式)1 1、热量守恒定律、热量守恒定律:2 2、傅里叶、傅里叶(Fourier)热传导定律热传导定
3、律:温度改温度改变吸收变吸收热量热量经过边经过边界流入界流入热量热量热源放热源放出热量出热量为热传导系数。为热传导系数。3 3、热量公式、热量公式:第第4页页任取物体任取物体 内一个由光滑闭曲面内一个由光滑闭曲面 所围成区域所围成区域 ,研究物体在该区域,研究物体在该区域 内热量改变规律。内热量改变规律。热传导方程推导:热传导方程推导:热量热量守恒守恒定律定律区域区域 内各点温度从时刻内各点温度从时刻 温度温度 改变改变为时刻为时刻 温度温度 所吸收(或放出)所吸收(或放出)热量,应热量,应等于等于从时刻从时刻 到时刻到时刻 这段时间内经这段时间内经过曲面过曲面 流入(或流出)流入(或流出)内
4、热量和热源提内热量和热源提供(或吸收)热量之和。即供(或吸收)热量之和。即 内温度改变所需要热量内温度改变所需要热量 =经过曲面经过曲面 流流入入 内内热量热量 +热源提供热量热源提供热量 下面分别计算这些热量下面分别计算这些热量第第5页页(1)内温度改变所需要能量内温度改变所需要能量那么包含点那么包含点 体积微元体积微元 温度从温度从 变为变为 所需要热量为所需要热量为 设物体设物体比热(单位质量物体温度改变比热(单位质量物体温度改变所需要热量为所需要热量为密度为密度为 整个整个 内温度改变所需要能量内温度改变所需要能量第第6页页(2)经过曲面)经过曲面 进入进入 内热量内热量由傅里叶热传导
5、定律,从由傅里叶热传导定律,从 到到 这段时间内经过这段时间内经过 进入进入 内热量为内热量为由高斯公式由高斯公式知知第第7页页(3)热源提供热量)热源提供热量用用 表示热源强度,即单位时间内从单位表示热源强度,即单位时间内从单位体积内放出热量,则从体积内放出热量,则从 到到 这段时间内这段时间内 内热源内热源所提供热量为所提供热量为由热量守恒定律得:由热量守恒定律得:由由 及及 任意性知任意性知第第8页页三维无热源热传导方程:三维无热源热传导方程:三维有热源热传导方程:三维有热源热传导方程:(均匀且各向同性物体,均匀且各向同性物体,即即 都为常数物体)都为常数物体)其中其中称为非齐次项(自由
6、项)。称为非齐次项(自由项)。通常称(通常称(1.5)为)为非齐次热传导方程非齐次热传导方程,而称(,而称(1.6)为)为齐次热传导方程齐次热传导方程。第第9页页二、定解条件(初始条件和边界条件)二、定解条件(初始条件和边界条件)初始条件:初始条件:边界条件:边界条件:1 1、第一边界条件、第一边界条件(Dirichlet 边界条件)边界条件)尤其地:尤其地:时,物体表面保持恒温。时,物体表面保持恒温。第第10页页2 2、第二边界条件、第二边界条件(Neumann 边界条件)边界条件)尤其地:尤其地:时,表示物体绝热。时,表示物体绝热。3 3、第三边界条件、第三边界条件(D-N 混合边界条件混
7、合边界条件)其中:其中:表示表示 沿边界沿边界 上单位外法线方向上单位外法线方向 方向导数方向导数注:注:第第11页页注意第三边界条件推导:注意第三边界条件推导:研究物体与周围介质在物体表面上热交换问题研究物体与周围介质在物体表面上热交换问题 把一个温度改变规律为把一个温度改变规律为 物体放入物体放入 空气空气介质中,已知与物体表面接触处空气介质温度为介质中,已知与物体表面接触处空气介质温度为 ,它与物体表面温度,它与物体表面温度 并不相同。这给出了第并不相同。这给出了第三边界条件提法。三边界条件提法。热传导热传导试验定试验定律或牛律或牛顿定律顿定律从物体流到介质中热量和二者温差成正比从物体流
8、到介质中热量和二者温差成正比:其中百分比常数其中百分比常数 称为称为热交换系数热交换系数第第12页页流过物体表面流过物体表面 流量能够从物质内部(傅里叶定流量能够从物质内部(傅里叶定律)和外部介质(牛顿定律)两个方面来确定:律)和外部介质(牛顿定律)两个方面来确定:或或即得到(即得到(1.10):):第第13页页例例 长为长为l 均匀杆,两端有恒定均匀杆,两端有恒定热热流流进进入,其入,其强强度度为为,写出,写出这这个个热传导问题边热传导问题边界条件。界条件。在边界上有:在边界上有:若端点是绝热,则解:x=l处:xq0q0nnx=0处:第第14页页三、定解问题三、定解问题定义定义1 在区域在区
9、域上,由偏微分方程、初上,由偏微分方程、初始条件和边界条件中其中之一组成定解问题称为始条件和边界条件中其中之一组成定解问题称为初边初边值问题或混合问题值问题或混合问题。比如三维热传导方程第一初边值问题为:比如三维热传导方程第一初边值问题为:第第15页页始条件组成定解问题称为始条件组成定解问题称为初值问题或柯西问题初值问题或柯西问题。比如三维热传导方程初值问题为:比如三维热传导方程初值问题为:定义定义2 在区域在区域上,由偏微分方程和初上,由偏微分方程和初第第16页页2 2、上述边界条件形式上与波动方程边界条件一上述边界条件形式上与波动方程边界条件一样,但表示物理意义不一样;样,但表示物理意义不
10、一样;3 3、热传导方程初始条件只有一个,而波动方程热传导方程初始条件只有一个,而波动方程有两个初始条件。有两个初始条件。1 1、热传导、热传导方程不但仅描述热传导现象,也能够方程不但仅描述热传导现象,也能够刻画分子、气体扩散等,也称扩散方程;刻画分子、气体扩散等,也称扩散方程;注注4 4、除了三维热传导方程外,物理上,除了三维热传导方程外,物理上,温度分布温度分布在同一个界面上是相同在同一个界面上是相同,可得,可得一维热传导方程:一维热传导方程:而对于薄片热传导,而对于薄片热传导,可得可得二维热传导方程:二维热传导方程:第第17页页3 3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程当我们研究物理中各类现象,如
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