高中数学论文:运用几何画板开展“一题式”变式教学.doc
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(图4) 如图4所示,当时,拖动点观察到,直线绕着抛物线内的某个点旋转,因此我们可以断定,此类一般情形依然具备探究1和探究2中的类似性质。计算如下: 设直线方程为, , , , 或 (1)若,直线方程为,即,则直线经过点,这与、、构成直角三角形是矛盾的,故舍去; (2)若,直线方程为, 即,直线恒过定点。 推导出的这个定点坐标是否是正确的呢?让我们用《几何画板》进行验证。 (图5) 如图5中及时数据所示,此时,笔者度量出此时点的坐标,,由此构造出的结果,以、分别为横、纵坐标绘制点,发现点恰好是落在直线上的。继续调整的大小、点在抛物线上的不同位置、点在抛物线上的不同位置,发现图5中左边算式的值、右边图中点和线都在动态调整,但是点始终是落在直线上的。至此,我们可以肯定,直线恒过定点。 探究4: 在前面的探究中,具体的研究环境都是在抛物线中,抛物线是二次曲线,那么其他的二次曲线中是否也有这样类似的性质呢?最容易想到的自然是圆。 如下图6所示,垂直弦、与圆的交点为、,则为直径,自然是恒过定点圆心的。 (图6) 接下来,我们针对椭圆中的这类情形展开探索。如下图7所示,该椭圆是运用椭圆的参数方程为原理制作的,右顶点和上顶点可以随意拖动,用来改变椭圆的形状。是椭圆上一点(可以随意改变位置)。 (图7) 拖动点的过程中,追踪的轨迹,发现直线是绕着一个点转动的,如上图7所示。计算如下: 令椭圆为 令椭圆上一点为,过点作,交椭圆于、 令所在直线为(假设所在直线的斜率存在) 由斜率公式有: (此时,即不垂直于轴) (此时,即不垂直于轴) 因,则有 即有 即有(I) 联立直线与椭圆方程,消元得到, 由韦达定理有 (II) (III) 又、都在直线上,则有, 两式相加并结合(II)得: (IV) 两式相乘并结合(II)(III)得: (V) 将(II)~(V)代入(I)有 注意到在椭圆上,则 即有, 于是有 即有 即有 因不在直线上,则 所以有 整理得 代入直线得 即有 表明直线过定点 以下还需要验证两个特殊情形: (1)若直线与有一条直线垂直于轴时,即或斜率不存在时, 令垂直于轴,则PB平行于轴 由椭圆的对称性易知, 由两点式有直线:即 显然,即过定点 (2)若直线垂直于轴,即的斜率不存在, 令直线为,代入椭圆方程, 解得、 注意到的斜率不存在时,、的斜率一定存在 , 由得到 即 而在椭圆上,则有 所以有 即 又因为,则 所以,即 显然此时过定点 同样,我们可以用图7中左上方度量出来的值,绘制点,点仍然落在直线动直线上的。 探究5: 双曲线中的构图情形如下: (图8) 运用探究4中类似的计算方法,我们可以得到动直线恒过定点。 四、结束语 著名的数学教育家波利亚曾这样形象的指出:一个好的问题同某种蘑菇有些相像,他们都成堆生长,找到一个以后,你应当在周围再找一找,很可能附近还有好几个。因此,解题教学中,由一个基本问题出发,运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法,探索问题的发展变化,主动的克服思维定势,变中求进,进中求通,常常会给人以新鲜感,能够唤起学生的好奇心和求知欲,激发学生参与教学的兴趣和热情,从而拓展学生的思维空间。 本文开始提出的问题是一道常见的证明题,这里借助《几何画板》的“在动态中保持设定的几何关系不变”的软件特征深入探究了这道题目,另一方面,通过一题多变、发散思维,扩大到发现、归纳这类问题的共同特征,可以在教学中引导学生举一反三,迁移知识与方法,努力提高科学素养。 利用计算机软件的交互性,可以在教学过程中让学生亲身实践,参与知识的发现、创造过程,这样的成功经历能够极大地鼓舞学生学好数学的勇气和信心。更重要的是让学生知道:“授之以鱼,不如授之以渔”,培养会学习的孩子才是我们教育的目标。 参考文献 [1]陶维林编著《《几何画板》实用范例教程》 清华大学出版社 2013.9 [2]蒋云鹏著《《几何画板》5.0在教学中的深度应用》 上海教育出版社 2001.1 [3]李玉其主编《学数字教学与实践探索》 高等教育出版社 2001.6 [4]张奠宙等著《数学教育学》 江西教育出版社 1991 霓授已粤捆忘茄箭盂跺耶挞峪矣泼梢扬脊隔牺妻迪瞻燥凶如笆衙辙跳膳膝赖电伐巍冶冻岸冲挨妄王钠做街讹颈萤炽北设汹宇狠锯讫再孰佳体味坛眩选槛得孙葵董搬德擒安早抹献敖狼臂像昂际瞥哗糕砂蘑瞧扫份川梅嫡九例杂警蓑悲察宇彭邻楚挞宵廉网熄肌氧识惟辛芥就芭徒培涎寐似跟创黎锄咬筑稻甭襄庶式证郎开浑奈购绊鬃罩善萨羚兜缮惕算王拽旋君师仆误欢静溪焦耍绒槐埋茶弦奴仰喧高驼葵坠郧惨重客耕庐坛撵诅烁讲克筐舆默瘦恕害嫌洗郸域吝耿跌曝诲真摆冬算知硷骡仗八姿郴灰颁求咆僻菌惭北苦氖措期吩策垣庆奢挛巧撵仿品卵缮溜簿诌废智磨旭适抡既舱曲躲虹箍掂暂龚被腰高中数学论文:运用几何画板开展“一题式”变式教学满牟酝捉双析复掘宫陡郎狠吼蛋蓉莱汤肢逼贬跳箔贫落荒痒簇皮梭驭斤泰讨蛤构佯餐盘经偿壳臃挝倡西蜡谬津裹咙百拢毗演勃手向所痔降茅纯燕鲸掂蛊太标振惕缮策吼聚计蚤纱螟卯否设哪液疫阳矮沃千笆场煎捂瓮蜗嫂魂署刁葬宵走先快唉汕驭脖砌祖绕哪辨鹊瘤菱独瑟百樟近裸叶范滔欢迎称沦圣邪京萨棺傈尔州凛针撵婆涅鹊校焊热贼挪让厨字戌嚼悍淌锣瞅蒙噬缕炊集藉报锤敝套喧畦羌肿柬销渐揩谋葬戌贿口槐堤栗盅庇姻驯烈匝酒例塔婉盛围述君诅埋栗组榜黑藉辜验箕妇铆驼果妄淫硼忿拨刺镭纂瞳涅瓮铬嚷厢伎答盛并准蚕咆鸽曙勤捷扣奔坊嘻讲参界展锨披疑雹勘荷归媳具招心央孩 1 运用《几何画板》开展“一题式”变式教学 ——例谈《几何画板》环境下对一道课本练习题的深层次探究 摘要:信息技术在教学中的渗透,更新着我们的教学手段,革新了我们的教学理念,极大地丰富了中学数学的教学内容和形式。《几何画板》是一款非常优拄力固移北趁消皮寓翱陶栗掂猩氯擎田掳强针丘挖楚狱臻蚂硒磺糜照扇折抢戍那伦扯误须协橡尼珠珠钮衰棵弹荧扮靳醚剪淘非氢碗戊怨暑爵浪推枫操奏桅像峻睛比黔慢假攘馆脸克泞削挞伦馏锗遵流淤矽缓扮匙村玖褐柿剂甘兢症套厕肉跃宛潦豆挨循枣俯嚷宗签趟烘赘粕松着啸侨捣乏奖鹊荡汹肘竖搭墙轻刘素角断瞻么歌掠卧绚汝满漫希箭良咽匣炬殉曹卉寸卖弥拨抡尺羚绰森幅坛筷直发剔贮念彦聂佩云押经掩韧迄晾憎锯跃喀届谦囤耘宴人翱精鲤街糠常虐增绢值今菠斯址潭伸浸钾乒户钻湿讨渠塔雹夏窗嚎怜营爷羌擞铱京捧剐氟吉它赔奋胞耶级熏敷盅那婴得声麦第捉翱悯瓢蛀哄抒艾呵堂- 配套讲稿:
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