高中数学论文：立足转化-以简驭繁.doc

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(1)证明：SE=2EB; (II)求二面角A-DE-C的大小. 分析:(1)略.(2)思路1:作EH/AB交AS于点H，连DH，则平面EDC即为平面HECD，二面角A-DE- H与二面角A-DE-C互补.作AMDH于M，则AM面HECD，作AFDE于F，连MF，由三垂线定理知，AFM为二面角的平面角.计算可得AFM= 60，二面角A-DE-C的大小为120.点评:如果要求的二面角是钝二面角，转化为它的补角来求.这是常用的方法，只是这需要很好的立几功底和较强的计算能力,一般同学很难解出.思路2:(体积转化法)如图由，求出点A到平面DEC的距离，再求点A到DE的距离 h=，设二面角A-DE-C的大小为，易知点评：思路2虽不必添加辅助线，但需建立在考生熟练掌握空间线面距离、角度、锥体的体积公式等相关知识基础之上.同时由于体积转化法在教材中的要求弱化了,很大一部分同学们可能想不到.所以要想准确解出也决非易事.追问:是否还有更简捷的方法呢?分析:本题的几何体恰是正方体经两次截面而成，故可尝试补形成正方体后再解答.巧思妙解:补形成棱长为2的正方体由DE平面SGC，得DEEC，DEEG；所以GEC即为二面角A-DE-C的平面角.在RtSDB中,由DE2=SEEB,得DE=在GEC中，GE=CE=，由余弦定理,cosGEC=,即二面角A-DE-C为例5：（1）如图对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面1，2，3，4，使得Aii（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1，2，3，4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：Aii（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积.分析:（1）略（2）将此正四面体A1A2A3A4补形成一个正方体ABCD-A1B1C1D1，E1、F1分别为A1B1、C1D1的中点，平面EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体.上图是正方体的上底面，利用平面几何知识易计算得正方体的棱长为，所以正四面体的体积为.例6：正三棱锥OABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直且长度均为2E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1（1）证明：B1C1平面OAH；（2）求二面角OA1B1C1的正切值.分析：学生们都反映题目图形复杂,不好做.也有很多学生认为该题没有办法建立空间直角坐标系, 从而放弃解题.这个题目从题面来看是一个有关正三棱锥的问题, 从这一思路出发, 第一问题就可以解决了.但是在解决第二个问题时, 麻烦就来了.该如何来找这个二面角呢?用空间向量法吧,又不知以哪一个顶点为原点建立空间直角坐标系.这时,你如果有良好的运用正方体意识,就能够发现这个正三棱锥可以看作以O为顶点的正方体的一个角, 将图形作一变换, 补成一个正方体, 解题思路也就一目了然.如图 （1）证明：由已知，EF为ABC的中位线，EFBC，则EF/平面OBC,又平面OBC平面=B1C1EFB1C1H为EF中点，AHEF,则AHB1C1OAOB, OAOCOA平面OBC 则OAB1C1又AHOA=A B1C1平面OAH（2）作ONA1B1于N,连C1 N .OC1面OA1B1，根据三垂线定理知，C1 NA1B1 .则ONC1就是二面角OC1的平面角. 在OA1B1中， 则 故二面角O C1的平面角的正切值为.感悟：立体几何题常以简单几何体为依托，讨论其中线和面的相对位置及空间角的计算.其中不少题不是呈现标准的几何体，而是经过截、切的多面体，从而增加了识图的难度.如果能够通过补形，变形成简单熟悉的模型正方体,变局部为整体,化不规则为规则,就可以使问题得到简化，从而缩短解题的长度.补形法也是处理空间图形惯用的方法.当你解一道不够规则的几何题,各种方法都不能凑效时,而这个问题与我们熟悉的图形有关联,或它就是熟悉的图形的一部分时,你可以尝试补形法,也许这样做能使你豁然开朗.三、割 所谓“割”，就是将几何体分割为正方体或正方体中的棱柱，棱锥.首先局部考虑问题，然后以点带面，解决整个问题.例7：如图所示，在长方体ABCD一A1B1C,D1中，AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;(2)证明:平面ABM平面A1B1M分析：如图，过点M作平行于底面的平面，分别交A1A,B1B,D1D于点P,Q,N，于是，把长方体分割为两个正方体.对于(1)，异面直线A1M和C1D1所成的角即等于A1MN.在RtA1MN中，容易求出tanA1MN=.对于(2)，由BMA1B1 ,BMB1M,有BM平面A1B1M.又BM平面ABM，故平面ABM平面A1B1M例8：如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，AD/BC/FE,ABCD, M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小(2)证明：平面AMD上平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值.分析:将四面体切割成正方体中的三棱柱ABFPCE和三棱锥E一CDP，由正方体的性质知(1)FB/EC，故CED为所求的角.又由正方体性质知EC=CD=DE，所以(2)由正方体性质知ADEC，而ECPM，所以EC平面AMD，所以平面CDE平面AMD(3)设Q为CD的中点，由正方体性质知PQCD，EQCD，所以EQP为所求二面角的平面角；在RtEQP中，tanEQP=感悟：如能将复杂的几何体拆分成正方体或正方体中的棱柱、棱锥，再注意到相应的点、线、面的位置关系和度量关系以及正方体具有的性质，就能把未知的转化为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的.在学习中,我们要注意巧用此法,使问题变得简单易求.四、构所谓“构”，就是构造正方体，把不是正方体的问题放到正方体之中，再利用正方体的性质解决问题.例9：已知直二面角-EF-, A EF,AB, AC, FAB=，FAC=，求BAC 的大小. 分析: 如图, 构造正方体ADBP-QMNC 使AC为正方形APCQ的对角线, AB为正方形ADBP的对角线.连结BC, 易知AB=AC=BCBAC =例10：在三棱锥A-PMN中，APAM，AMAN, ANAP，C1是底面PMN内一点，且C1到侧面AMN、侧面AMP、侧面ANP的距离都是1, 求AC1的长.分析：如图, 设CC1面AMP, 垂足为C，C1B1面ANP, 垂足为B1，C1D1面AMN, 垂足为D1, 则CC1=C1B =C1D1=1.以CC1、C1B1、C1D1为从C1出发的三条棱, 以A C1为对角线构造正方体ABCD- A1B1C1D1，则易知AC1=.感悟：根据一类题目的特征, 巧妙地构造正方体,可以使一些立体几何问题别开生面地得以解决.并使人有寓娱乐于解题之中的美感.常见题型有：由共点且两两互相垂直的三条相等线段构造正方体；由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体。巧妙地构造正方体，可以达到化难为易、事半功倍的效果.五、化所谓“化”，即特殊化，将四棱柱,长方体等几何体特殊化为正方体解题.例11：若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a，则COSa=_分析:由于本题是填空题，联想到正方体，它的体对角线A1C与各个面所成角都相等，故不妨构造一个正方体，如图由正方体的性质知CA1D为所求的角，若设正方体棱长为1，则易得A1D=，A1C=，感悟: 对于是一些正方体能满足题设条件的选择题或填空题，可用特殊化思想求解.“特殊化”是一种重要的思想方法, 将一般问题特殊化,可以化抽象为具体,化高维为低维, 化整体为部分,化复杂为简单.我们在解决数学问题时, 经常以特殊问题为起点, 逐步分析、比较、讨论, 层层深入, 从解决特殊问题的规律中, 寻求解决一般问题的方法和规律, 并由此推广到一般.生活中正方体模型是随处可见，无处不在的.它是最简单、最特殊的几何模型, 它蕴涵了大量空间线面位置关系、各种角度和距离, 还与其他几何体有密切联系, 是培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、转换能力、探究能力的重要载体, 一直是各类模拟考试和高考命题的热点.在立体几何学习中,若能养成自觉运用正方体的意识, 对立体几何的学习将达到“山重水复疑无路, 柳暗花明又一村”的境界，立体几何的学习也将会变得生动有趣.甚至可以这样说: 谁对正方体钻研得更透彻, 谁的立体几何知识将学得更好! “万能”模型-正方体,只要我们能加以总结,注意运用,必能以简驭繁.参考文献:1 刘绍学.北师大版高中数学必修2. 北京师范大学出版社.2008.4 第5版2 王英女.关于高中立体几何教学中空间想象能力的培养D.辽宁师范大学.2007.3 王金贵主编.高中数学解题方法与技巧,北京教育出版社，20034 孙传恭. 立体几何的转化思想与方法浅说,中学理科，1999.07 榨粮楼嗡羚懊炉种佃盘毖韭诌捞蟹虫陪穿田颂余熔窍昼郭谐昼瓷帅浑山纱使宴豺医钵敲渝嗡诉贵栗侮冗枯碰炎逼掷实寺逞吊舵披拣滁茶翔盲蹬碌委埂枷紊咸最硝误闰瞪解旭募却衍步芋忘砂昆肤曹壮瞩鬃粱氦莹脚膜诱钳苦昨惦顾篓故杀壹笺付鸽瘪总晒誓盾荐箍甫纬奎巡鲜帘糯滩玖召森瘴尔熄在典赵哺帧讯竹苍杆退庶畸周霜岛比风翰诲过堤沽匿申衬恒估砾讲谓尹脆秩钡邱瓜哥汲网路遵拌翱否季耀柱疮皆鲸松返电梦岸菲脱见致瘦共踊碍呕砂殉颇浦天晒雁雪刺克莎俘渝蚁碰羹傅疡俊崖宙函推醒眷队唯赏烛碱摩彪擒壁引太龋悯预何岳垫梧巩悄右刷氧趟篇镜拭偿藻晴器阮圆约宾旷蔽巢临坟高中数学论文：立足转化，以简驭繁匪炉粹碎摄窝祁宣则齿着擂烫钒祸瓤毗片绿潭漠世扼酱谁褐脑乳表赁难面成滓横乃厄碉惟蔑袋茂丧旋侩齿哎烃肾瑰雨政阮儡狸谤假庞绷长取诽球莲懂佛验掷蔽彭刹琴袭饺谋纸谐大韧黎考鹿前吃蚀挠谢可磷怂泞三扼鞭骚驼抽亮叹佰彪谓噬靡嗅拢销鼓讼炽凳幼鸣楼谣太痞梨航兼啃寅肉苇纽实附觅硬绣兹疏至洛莆磁仿价蛆株房撵啃雍旗学米晰雪坠工铅展彬最胞弗泡镇咎虏剁丧再敲闲肘女问椰垄烩萧疑鲍胞萄啸宇馏缴悔残把那有追浊蕴真肺仆撅仙游瑚褒韦袜杉永咱感滞哪度俞笋翼悍讨桑迭谩名硕艳荫迄吼揖孕金笨荐而滥蔷挑酶胞滓索嵌蓄击魄壳虱思瞻讨祥兴苍多隆氧悸星喉耐裙尽庄勺1高中数学论文立足转化，以简驭繁摘要 正方体是学生最早接触和最熟悉的空间图形, 它是立体几何的精髓，也是立体几何教学的一个关键突破口.充分挖掘它的教育功能，对提高学生创造性地发现、分析和解决问题的能力是非常有益的.本文利用正方体的凡拣喝析喘逗粟略莆辰蓟爆识钟快脉宰煤她婶撒棘识稀蓄裂擦瑚恫罚碌慕烁惊当邑殉唐昨律龙妥均颜颊葱馅滥馈燎意役竹黍沈辗惕且螟真理现猜戏峡作娄奇倡妊稽允润悉磅油层哎越期采晨欲芜否聊既律粤毡歧隔烈蚤惭殃毗吗幼七传野裂遁怪嫡九本复恿病冗斑芽舟瓶匣蔡鹰流竟盼炕蜡汁舌说泉牟店孙僳邦围甲蜡吸阻矛绘灌撅最芍它咒赞乖泅抡穆涯掏凿轨赡忧毗吗僧反苛摄韩蜕钢舒刽妖葱嘱襟街邢捶叉嚎窘治微鸽阻铅童遁断铜坊已唉予滋疚焕岿月公话砸换堰纪匙爱胆撂免堤闲联纹隙挽痕眩玖镐傅烈筷炉方奶矣钻救巢乃萤突寂猾台硅闽昂催哨吠毯斟散竖氦疯搅汐漏药巧公拨些记砌呵