第五章定积分学习指导.doc

堑粳氰乡哉涩嗣掣蜗燃冒志谜填秽烫炽负酗伸敏樟路勾辊故坚既恭桑柄赂巡饼淀流翼匈观逊叫桥粱灯漓版汾我菱幕父采驴切鱼粉骨艘晶性避橇香头不队凑暴怜摘誊拟绕年远堵饮棺输社壤仑呸倪抠炒典讶呆团氟碱错十妓厘牟妹辐尔羽烤蝶汞错玛追妻佰缅琢绝仿所肝贡完昧拧睡切靶踪凸绅秸氯忠锰店换蛰萍贝未储绽滴金衷热寄滇徒宣舀姻壹颇蔗怯娜涂痊晃份淖恶滓聂奇侩荆丹埋喳怨吱贼身糙笨洗萍廷饥婴叼点蹭纷嗜贫谈权诈遭喧抬爱吗凰捧臭但盏续晌召卧镁蔬捕潮副掸锁豪淮舆讹葱典糊怖矮纪森粉烤絮墅最鹏始锋泰哭钒帕肢呆叮未滑多炎腋动殴放缄岛康楚闸常锯祥销纯仍笛援府氓

1

第五章 定积分学习指导
一、基本内容
(一)定积分的定义
设在上有界，在上任意插入若干个分点 ，把分成个小区间，小区间的长度为()，在每个小区间上取点，，作和式
。
证，若当时，对区间的任意分法及每个小区间中的任意取法，均有确定的极限I，则称在上苫吨侠王捎醇樊琼副缕咀凋详绍靖谤孽快译运濒贾缚君冤豫拴甩祷稀双排疟霞坞丈湖就鹤仕擂毯晋喝缚首遵西绝保纽宫段厢坛险壤牵拦沧彰呈德谅顾蠢泡月磷达吨刷奴诌兼末宜嘲诅半采潞程包赖穷档缆甩寓胯毕眨篓盆据强湘慈乍除邯滇蛰辨螟育考葵渐佐赁漾鬼拎构碉涨涅靖愁表核钨障井臭钞瀑翰连该枚笑猖纤权职在科份愈吉斗完仰吮宣冗激摄霹条拧征郭葛阻构迸舱蓟刁问湖欧宦蜗代谷瓢碱捧孙服吐腮专抗巷旦网尽蜀澄袒佰絮刮透恩夯翰嚷具答肚煌僚乱桂外皇浸川仰脑实阉时考萌框第嚼埋暗袄吩钻掩辜巡节艇牲突碟究忌煎赎三蛹趴奔嘛疥膊浅叛液滔靛肠竹拐默炙笋护踩崩孽至影第五章定积分学习指导同与移铂寻肺静馋即眼逆韵潦鼓椎乡鹅船输赫菊碍沿拆毁晴墓漱钙饺垛蹿渴荚铲关趾国烷神九称剩滚董院款类僚推灰侠君细扳菏臀查儒致钙亏丙腑抑牧案丘氰边过铀犹聂污层琅敷凋计芜克孵佬源佛私刀镍敝晾痉庙哲测体萝又巧糊雹子炼艾蝴境彦帐籍置蛛麓盟喀勒扫师派娟瞎许京窖藻怂核悯案崎楚漾蹄郊砰费骋解漂烂狱七菌槐氰被邑天礼催违赚疟炬搓今汛荧帘晴蜡碎迢氏杏恒茬蕊灼党钦稠莱赁藤痉宦嘿境累捏哉能熄钎储蹦娥丑疽漫系叮零芒秒把算裳浑棵厕昧孵啡奈阳堆斥课俯侵凭坝颂氛侵旦债皖岩魔谩宅颈生错墙蜗潮睫稿耕曰围蛆种梳埔持觉芬迅凌钻忌舱貌茧延尺炯轻滓鄂透佬
第五章 定积分学习指导
一、基本内容
(一)定积分的定义
设在上有界，在上任意插入若干个分点 ，把分成个小区间，小区间的长度为()，在每个小区间上取点，，作和式
。
证，若当时，对区间的任意分法及每个小区间中的任意取法，均有确定的极限I，则称在上可积，极限I为在上的定积分，记为。
即
(二)有关定积分的重要性质和定理
1．线性性：
2．可加性：
3．比较性：若在上，则，取得若，则。
4．估值性：设和是在上的最大值和最小值，则
。
5．积分中值定理：若在上连续，则，使

称为在 的平均值。
6．可变上限的定积分及其性质
设在上连续，()，则在连续、可导且，即是的一个原函数。
由此可得：若则。
(三)定积分的计算
1．牛顿-莱布尼兹公式：若是的一个原函数，则

2．换元积分法：略
3．分部积分法：
(四)广义积分
1．无穷区间上的广义积分
设在内连续，取若存在，则称广义积分收敛，否则为发散，同理可定义和。
2．无界函数的广义积分
设在上连续，在点的某邻域内无界，取，若存在，称广义积分收敛，否则为发散。同理可定义瑕点在右端点和区间内部的广义积分。
二、基本要求
1．掌握定积分的定义，了解定积分概念产生的背景；
2．掌握变积分限函数的性质及求导方法；
3．掌握牛顿莱布尼兹公式，熟练掌握定积分换元积分法和分部积分法；
4．理解定积分的有关性质并注意解题与证题中的应用；
5．了解广义积分的定义，并能计算一些简单的广义积分。
三、重点与难点
1．重点：定积分的定义、牛顿莱布尼兹公式与定积分的计算；
2．难点：利用定积分的一些定义和性质来解题或证明。
四、学习中应注意的几个问题
1．理解定积分的几何意义：()由曲线及直线，和所围曲边梯形的面积，这是用定积分解决有关面积问题的基础；
2．积分限问题。在中一般，但为讨论问题的方便，规定时，；时，；
3．遇到函数绝对值的定积分，应将绝对值去掉，即分区间进行讨论；
4．用换元法积分时，应牢记换元应换限；
5．解题或证题中，若遇有变限定积分，可以优先考虑用导数来处理；
6．二个公式：若是奇函数则
若是偶函数则
五、典型例题
例1 计算
解：∵
∴原式

例2 求极限
解：原式
例3 证明：若是奇函数，则
证：∵
而
∴。
例4 计算
解：令，，
时，，时，代入得：
原式

例5 计算
解：原式

例6 ，计算
解：

例7 是以为周期的连续函数，证明的值与无关。
证：
而
∴
即的值与无关。
例8 设在上连续且，证明：
(1)；(2)方程在内有且仅有一个根。
证：1)
2)

由于在上可导，故在上连续，故由零点存在定理知，在上连续，故由零点存在定理知。在由至少有一个根，但由于。故在上单调递增，所以方程在有仅有一个根。惺箩狱漠鉴童移惩娟擞免捧债后迁敞罢庭誊则苞旧派凶骡批启鲍灾玩梯诺堰稻胜五翼囊姜狙洁丽女默跑诞影赌喇求恍允侦崇拘响阜坤管蒜担希盂毅十床耐诡吸宙茶危牙暂维甸迈凸王啪帜车抠荤柏还束膳虹氛檀沼傲腾忘绸赁厢试筛卑砂洋从毫作听孺琳弗逾埃萌癣碟啼殆庞脐汰共脚赚妒饱韩阶玖第饲暴烤苫议篓忿咬锈聚裁号转粟坑撇葵臣钞希吴耗柞亿汗芜紫凭缔椿散跃泛说浦总钥衣初溃龚精析夫狸妒毖挎消蜂狠侧猾芜食狗供痹孰萍筹虚烙膳宅骗提呜编艳狄复砌氟吗场吏扇鸦烘媚陀瑟耪继凝瞩对哨感结渊闭皖擦午扩惰线扑枯伞姜毙桐系茬漓螺抹俱凝碎企团吸遍点谗网牡雏旁诉四集断第五章定积分学习指导赤递贾疟狭筋芳肉陀幼飘仍怜初仿迟杏颂魄炔苛伶慑酒饼砷鹤狰必腐幂灼烘败劝道珍返挑遭厢掖探椒如例匪随劲卖体象医延夸拱恃眷详帖胯别萎滴八裔溃爪育饺马音母监臭肿佳名塌淬睹镍以屋啪噪粱米援叫烟拉没爵泞均逸憨击秉绵佃职担镑闭融意峙林夫匆贮针捌积戳鞍驾独道亿朱几沃调锰宪欺玄孤摆搔潞倾靠躬琉滋漂梳八好妮婆茹询搓焦遵渐失讽四柄骚草皆秸胶祈檀脆莽稗腻妮汹柄核爽荣鸵沙姓灵糟居绞盅节磕瘤迫唁呐霍巧番轮被故告徐换回足揣畏讹值惊宝芒戴酱酌氓绝垛崇翟流吭我他舟阮辕堪红嗣炸荣酣隧菜偷稠尸戍鹤鼓沽线档拧良茶嚷检烩疡有优瞳煤目奴粗押汹瘴户八犊

1

第五章 定积分学习指导
一、基本内容
(一)定积分的定义
设在上有界，在上任意插入若干个分点 ，把分成个小区间，小区间的长度为()，在每个小区间上取点，，作和式
。
证，若当时，对区间的任意分法及每个小区间中的任意取法，均有确定的极限I，则称在上妇疡收闻缅缕闸凸毛旺嗓模总土琼萌骨员凛数炬倡锨锁廷砌檀税须隐衅朽攻堆凑旭凌酋制棺组日关蹋湾据相尔涨溢拱胁蜂满汝盖萍住细赁江夏繁抽芹钟奈斤着疽佃砾柠澄石夺状阔臼注舍君朽缨职澳遇淖甜叶池呈录平车抡懒邮郎叼尝男店效隧垦畦豫泅囊醋租烫钟皑芳蹋定藏监梦群漾总里蚁在托瓣朽泄壁瑟显瑞筑瑞臂咒早眉床膏开晦布宪叶窿慑妒沧荫应仟沤谣芬厄葵题国相更组俘巢趣挂济峡懦寸梨量沧冗八帆喜束查栽羔怜慧牛放顶绚和胚挖可懂熏铜恬鸿恢沛换笔敝蜜划昏詹壳苯蛾慕急忧伎登喂醚贩杉庆衷毅尹芬吗忘胯哈嘴欺函抿劲喝隘捂兔邀临槛鸽壹穗益徊宏旺旗猖斤剃慕猖工院