物理竞赛实验误差理论基础省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

试验误差理论基础试验误差理论基础山东大学物理与微电子学院山东大学物理与微电子学院 韩广兵韩广兵第1页绪绪 论论物理试验物理试验 是研究自然现象、总结物理规律基本方法，同时也是验证新理论必经之路。物理试验大致分为下面几个步骤：要明确实验目、内容、步骤，通过实验过程观察某些物理现象，测量某些物理量-观察和测量；b.测试计量是取得正确试验结果关键一步，对测量量-准确统计计量结果；d.试验目标是为了从测得大量数据中得到试验规律，寻找各变量间相互关系-数据处理；c.任何测量都有误差，应利用误差理论预计判断测量结果是否可靠-对计量结果误差分析和计算；e.最终写出测量结果-结果表示。第2页误差理论基础误差理论基础绪绪 论论主要内容：主要内容：v基本概念基本概念物理试验和测量误差物理试验和测量误差v误差分类误差分类偶然误差和系统误差偶然误差和系统误差v误差计算误差计算测量结果不确定度测量结果不确定度 v数据格式数据格式有效数字有效数字v数据处理数据处理用最二乘法作直线拟合用最二乘法作直线拟合第3页误误 差差 理理 论论 基基 础础一、一、物理试验和测量误差物理试验和测量误差测量就是将待测量与选做标准单位物理量进行比较，得到此物理量测量值。测量值必须包含:数值和单位，如测量课桌长度为1.2534m。测量分类：按测量方式通常可分为：直接测量由仪器直接读出测量结果叫做直接测量 如：用米尺测量课桌长度，电压表测量电压等间接测量由直接测量结果经过公式计算才能得出结果叫做间接测量 如：测量单摆振动周期T，用公式求得求得gg第4页按测量精度通常可分为：按测量精度通常可分为：按测量精度通常可分为：按测量精度通常可分为：n n等精度测量等精度测量对某一物理量进行屡次重复测量，而且对某一物理量进行屡次重复测量，而且每次测量条件都相同每次测量条件都相同(同一测量者，同一组仪器，同一个同一测量者，同一组仪器，同一个试验方法，温度和湿度等环境也相同试验方法，温度和湿度等环境也相同)。n n不等精度测量不等精度测量在诸测量条件中，只要有一个发生了在诸测量条件中，只要有一个发生了改变，所进行测量。改变，所进行测量。n n因为测量方法、测量环境、测量仪器和测量者不足因为测量方法、测量环境、测量仪器和测量者不足误差不可防止性，待测物理量真值同测量值之间总会存误差不可防止性，待测物理量真值同测量值之间总会存在某种差异，这种差异就称为测量误差，定义为在某种差异，这种差异就称为测量误差，定义为测量误差（测量误差（）=测量值（测量值（X X）-真值（真值（a a)n n测量结果也应包含测量误差说明及其优劣评价测量结果也应包含测量误差说明及其优劣评价Y=NY=N N N误误 差差 理理 论论 基基 础础第5页误误 差差 理理 论论 基基 础础真值就是与给定特定量定义相一致量值。客观存在、但不可测得（测量不完善造成）。可知真值：a.理论真值-理论设计值、理论公式表示值等 如三角形内角和180度；b.约定(实用)真值-指定值,最正确值等，如阿伏加德罗常数,算术平均值当真值等。第6页二、偶然误差和系统误差二、偶然误差和系统误差误差分类误差分类按其性质和原因可分为三类按其性质和原因可分为三类:系统误差系统误差 偶然误差偶然误差(随机误差随机误差)粗大误差粗大误差误误 差差 理理 论论 基基 础础第7页误误 差差 理理 论论 基基 础础1系统误差：在重复测量条件下对同一被测量进行无限屡次测量结果平均值减去真值 起源：仪器、装置误差；测量环境误差；测量理论或方法误差；人员误差-生理或心理特点所造成误差。标准器误差标准器误差；仪器安装调整不妥仪器安装调整不妥,不水平、不不水平、不垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂,分分光计读数装置偏心；附件如导线光计读数装置偏心；附件如导线 理论公式为近似理论公式为近似或试验条件达不或试验条件达不到理论公式所要到理论公式所要求要求求要求 温度、湿度、光照，电磁场等温度、湿度、光照，电磁场等 特点特点：同一被测量屡次测量中，保持恒定或以可预知方式改变（一经查明就应设法消除其影响）第8页误误 差差 理理 论论 基基 础础分类:a.定值系统误差-其大小和符号恒定不变。比如，千分尺没有零点修正，天平砝码标称值不准确等。比如，千分尺没有零点修正，天平砝码标称值不准确等。b.变值系统误差-展现规律性改变。可能随时间,随位置改变。比如分光计刻度盘中心与望远镜转轴中心不重合，存在偏心差 发觉发觉方法方法(2)理论分析法理论分析法-理论公式和仪器要求使用条件理论公式和仪器要求使用条件 规律性改变规律性改变(一致变大变小一致变大变小)一定存在着系统误差一定存在着系统误差(1)数据分析法数据分析法-观察观察 随测量次序改变随测量次序改变第9页(3)对比法对比法 a.a.试验方法试验方法 b.b.仪器仪器 c.c.改变测量条件改变测量条件 误误 差差 理理 论论 基基 础础处理:任何试验仪器、理论模型、试验条件，都不可能理想 a.消除产生系统误差根源(原因)b.选择适当测量方法 单摆单摆g=(9.8000.002)m/s2；自由落体自由落体g=(9.77=(9.770.02)m/s2，其一存在系统误差其一存在系统误差 如两个电表接入同一电路，对比两个表读如两个电表接入同一电路，对比两个表读数，如其一是标准表，可得另一表修正值。数，如其一是标准表，可得另一表修正值。一些物理量方向、参数数一些物理量方向、参数数值、甚至换人等值、甚至换人等 第10页误误 差差 理理 论论 基基 础础1)交换法-如为了消除天平不等臂而产生系统误差 2)替换法-如用自组电桥测量电阻时 3)抵消法-如测量杨氏模量试验中，取增重和减重时读数平均值；各种消减系统误差方法都含有较强针对性，都是些经验型、详细处理方法!4)半周期法-如分光计读数盘相对180设置两个游标，任一位置用两个游标读数平均值图中角度读数为：游标1读数:295+132=29513游标2读数:115+12=11512分光计 读数方法示意图第11页误误 差差 理理 论论 基基 础础2偶然误差（随机误差）：测量结果减去同一条件下对被测量进行无限屡次测量结果平均值 起源：仪器性能和测量者感官分辨力统计涨落，环境条件微小波动，测量对象本身不确定性(如气压小球直径或金属丝直径)等 特点：个体而言是不确定;但其总体服从一定统计规律。处理：能够用统计方法估算其对测量结果影响（标准差），不可修正，但可减小之。（下面讲）定义:在相同条件下，因为偶然不确定原因造成每一次测量值无规则涨落，测量值对真值偏离时大时小、时正时负，这类误差称为偶然误差 第12页误误 差差 理理 论论 基基 础础测量结果测量结果分布规律分布规律预计预计经验分布曲线经验分布曲线 f(v vi)-v vi 测量列测量列 xi，n容量容量对大量数据处理时，往往对对大量数据处理时，往往对 i取一个单位取一个单位(尽可能小尽可能小)，考虑，考虑 i落在第一个落在第一个，第二个第二个，第三个第三个-f(i)，-经验分布曲线经验分布曲线f(i)-i出现概率出现概率正态分布正态分布均匀分布均匀分布三角分布三角分布 i i (单单位位)-0.2-0.2-0.1-0.10.00.00.10.10.20.2出现次数出现次数10102020404020201010f f(i i)0.10.10.20.20.40.40.20.20.10.1第13页正态分布规律正态分布规律:大多数偶然误差服从正态分布大多数偶然误差服从正态分布(高斯分布高斯分布)规律规律 特点特点：1）有界性）有界性.2）单峰性）单峰性.3）对称性）对称性.4）抵偿性）抵偿性.能够经过屡次测量，利用其统计规律到达相互抵偿随机能够经过屡次测量，利用其统计规律到达相互抵偿随机误差，找到真值最正确近似值误差，找到真值最正确近似值(又叫最正确预计值或最又叫最正确预计值或最近真值近真值)。误误 差差 理理 论论 基基 础础第14页误误 差差 理理 论论 基基 础础3粗大误差：显著超出要求条件下预期误差起源：使用仪器方法不正确，粗心大意读错、记错、算错数据或试验条件突变等原因造成（坏值）。处理：试验测量中要尽力防止过失错误；在数据处理中要尽可能剔除坏值。试验中异常值决不能不加分析地统统扔掉试验中异常值决不能不加分析地统统扔掉 -很多惊世发觉都是超出预期结果！很多惊世发觉都是超出预期结果！第15页误误 差差 理理 论论 基基 础础准确度：用于表述测量结果好坏1精密度：表示测量结果中随机误差大小程度。即是指在要求条件下对被测量进行屡次测量时，所得结果之间符合程度，简称为精度。2.正确度：表示测量结果中系统误差大小程度。它反应了在要求条件下，测量结果中全部系统误差综合。3.准确度：表示测量结果与被测量“真值”之间一致程度。它反应了测量结果中系统误差与随机误差综合。又称准确度。第16页误误 差差 理理 论论 基基 础础a)精密度低,正确度高(b)精密度高，正确度低(c)精密度、正确度和准确度皆高第17页三、测量结果不确定度三、测量结果不确定度 1 1什么是不确定度什么是不确定度什么是不确定度什么是不确定度测量结果写成以下形式：测量结果写成以下形式：y yN N N N (1.1)(1.1)其中其中y y代表待测物理量，代表待测物理量，N N为该物理量测量值，为该物理量测量值，N N是一是一个恒正量，称为不确定度，个恒正量，称为不确定度，代表测量值代表测量值代表测量值代表测量值N N N N不确定程度，不确定程度，不确定程度，不确定程度，也是对测量误差可能取值测度，是对待测真值可能存也是对测量误差可能取值测度，是对待测真值可能存也是对测量误差可能取值测度，是对待测真值可能存也是对测量误差可能取值测度，是对待测真值可能存在范围预计在范围预计在范围预计在范围预计不确定度和误差是两个不一样概念不确定度和误差是两个不一样概念:误差是指测量值与真误差是指测量值与真误差是指测量值与真误差是指测量值与真值之差值之差值之差值之差，普通情况下，因为真值未知，所以它是未知普通情况下，因为真值未知，所以它是未知不确定度大小能够按一定方法计算不确定度大小能够按一定方法计算不确定度大小能够按一定方法计算不确定度大小能够按一定方法计算(或预计或预计或预计或预计)出来出来出来出来误误 差差 理理 论论 基基 础础第18页2 2测量结果含义测量结果含义测量结果含义测量结果含义n n式式 y yN NN N 含义是含义是:待测物理量真值有一定概率落待测物理量真值有一定概率落在上述范围内，或者说，上述范围以一定概率包含真在上述范围内，或者说，上述范围以一定概率包含真值值这里所说这里所说这里所说这里所说“一定概率一定概率一定概率一定概率”称为置信概率称为置信概率称为置信概率称为置信概率，而区间，而区间 N N N N-N N N N，N N N N+N N N N 则称为置信区间则称为置信区间n n在一定测量条件下，置信概率与置信区间之间存在单在一定测量条件下，置信概率与置信区间之间存在单一对应关系：置信区间越大，置信概率越高，置信区一对应关系：置信区间越大，置信概率越高，置信区间越小，置信概率越低间越小，置信概率越低假如置信概率为假如置信概率为假如置信概率为假如置信概率为100100100100，其对，其对，其对，其对应应应应N N N N就称为极限不确定度，用就称为极限不确定度，用就称为极限不确定度，用就称为极限不确定度，用e e e e表示，表示，表示，表示，这时式这时式(1.1)(1.1)写写做做Y YN N e e 表示表示真值一定在真值一定在 N N-e e，N N+e e 中中误误 差差 理理 论论 基基 础础第19页标准差标准差标准差标准差n n用标准差用标准差用标准差用标准差 来表示来表示来表示来表示 N N，这时式，这时式，这时式，这时式(1(11)1)写做写做写做写做Y YN N 大小标志着测量列离散程度，置信概率为大小标志着测量列离散程度，置信概率为大小标志着测量列离散程度，置信概率为大小标志着测量列离散程度，置信概率为68.368.3其意义可表示为其意义可表示为其意义可表示为其意义可表示为:待测量落在待测量落在待测量落在待测量落在 N N-,-,N N+范围内可范围内可范围内可范围内可能性为能性为能性为能性为68.368.3n n 大小是怎样标志测量列离散程度大小是怎样标志测量列离散程度大小是怎样标志测量列离散程度大小是怎样标志测量列离散程度?n n判断粗大误差判断粗大误差判断粗大误差判断粗大误差3 3 标准标准标准标准(奈尔、格拉布斯等奈尔、格拉布斯等奈尔、格拉布斯等奈尔、格拉布斯等)误误 差差 理理 论论 基基 础础n n要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位和不确要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位和不确要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位和不确要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位和不确定度定度定度定度 N N三个要素三个要素三个要素三个要素第20页相对不确定度相对不确定度相对不确定度相对不确定度n n为了比较两个以上测量结果准确度高低，经常使用相为了比较两个以上测量结果准确度高低，经常使用相对不确定度这一概念，其定义为对不确定度这一概念，其定义为相对不确定度相对不确定度相对不确定度相对不确定度=不确定度不确定度不确定度不确定度/测量值测量值测量值测量值 即即N NN N误误 差差 理理 论论 基基 础础n n用米尺分别测量课桌长度用米尺分别测量课桌长度(L L=1210.5mm)=1210.5mm)和钢笔直径和钢笔直径(d d=10.1mm)=10.1mm)，它们测量极限不确定度均为，它们测量极限不确定度均为e e=1mm=1mm，比较以上两个测量结果准确度高低比较以上两个测量结果准确度高低第21页误误 差差 理理 论论 基基 础础（1）直接测量中不确定度估算 （a)屡次测量：在相同条件下对一物理量X进行了n次独立直接测量，所得n个测量值为x1，x2，xn，称其为测量列，标准不确定度参数：数学期望（算术平均值）和标准差：数学期望（算术平均值）和标准差任一测量结果误差落在-x，x范围内概率为68.3%。3不确定度预计方法 第22页误误 差差 理理 论论 基基 础础算术平均值标准不确定度算术平均值误差落在 范围内概率为68.3%。随随n增大而减小，但当增大而减小，但当n大于大于1010后，减小速度显著后，减小速度显著降低，通常取降低，通常取 5 5n1010 第23页误误 差差 理理 论论 基基 础础（b)b)单次测量结果标准单次测量结果标准不确定度估算：估算：e e为极限不确定度（仪器最大读数误差）为极限不确定度（仪器最大读数误差）k为为分布系数，分布系数，对对于于正态正态分布，分布，k=3 3,=e/3；对对于于均匀均匀分布，分布，k=3,即即=e/3；测量结果表示测量结果表示:意义意义:真值真值a落在落在 范围内概率为范围内概率为68.3%。第24页误误 差差 理理 论论 基基 础础例例1 1 用温度计对某个不变温度等精度测量数据如表，求测量结果。i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111t t(O OC)C)528528531531529529527527531531533533529529530530532532530530531531 解解:=530.0909 OC=0.5301 OC=0.1000017%=0.6 OC=530.1 OC=0.11%第25页(2)(2)间接测量结果不确定度预计：间接测量结果不确定度预计：设间设间接接测测量量N=f（x，y，z）量值量值：标准不确定度标准不确定度：误误 差差 理理 论论 基基 础础第26页相对不确定度相对不确定度：测量结果表示测量结果表示计算次序计算次序：计计算公式以加减运算算公式以加减运算为为主，先算主，先算标标准，再算相准，再算相对对不确定度不确定度；计计算公式以乘除或乘方运算算公式以乘除或乘方运算为为主，先算相主，先算相对对，再算，再算标标准准不确不确 定度定度误误 差差 理理 论论 基基 础础第27页不确定度惯用公式不确定度惯用公式不确定度惯用公式不确定度惯用公式N N=x xk k (k k为常数为常数)e eN N=|k|e=|k|ex x N N=|k|=|k|x xN N=kxkx(k k为常数为常数)N N=xyxy或或N=N=x x/y ye eN N=e ex x+e ey yN=x N=x y y算数合成方式算数合成方式方和根合成方式方和根合成方式函数表示式函数表示式误误 差差 理理 论论 基基 础础第28页误误 差差 理理 论论 基基 础础例例2 测某立方体钢材长宽高为 l,b,h 如表，材料密度p=7.86gcm-3 求其质量m。1 12 23 34 45 5平均值平均值l l i i(mm)(mm)1483.71483.71483.81483.81483.91483.91484.11484.11484.01484.01483.91483.9b b i i(mm)(mm)471.2471.2471.4471.4471.3471.3471.1471.1471.0471.0471.2471.2h h i(mm)i(mm)23.123.123.223.223.323.323.023.023.423.423.223.2解：m=plbh=0.00501mm2=127.503013kg=0.02158=0.275157kg第29页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算四、有效数字1.1.概念概念 数字分类：完全准确数字；有效数字。有效数字组成(读取)：准确部分+一位非准确部分(误差所在位)。(I)物体长度物体长度L估读为估读为4.27cm或或4.28cm (II)右端恰好与右端恰好与15cm刻度线对齐刻度线对齐,准确数字为准确数字为“15.0”，再加上估读数，再加上估读数“0”，则物体长度，则物体长度L有效数字应记为有效数字应记为15.00cm 预计值，普通为最小分度值预计值，普通为最小分度值1/10整数倍整数倍位数无限多，如1/3，等 位数有限，如0.333，3.14159等 第30页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算有效数字有效数字位数特点：位数特点：a.a.位数与仪器最小分度值相关，与被测量大小也相关；位数与仪器最小分度值相关，与被测量大小也相关；如用最小分度值如用最小分度值0.010.01mmmm千分尺测量长度读数为千分尺测量长度读数为 8.348.344 4mmmm，用最小分度值为用最小分度值为0.020.02mmmm游标卡尺来测量，游标卡尺来测量，其读数为其读数为 8.3 8.34 4mmmm。b.b.位数与小数点位置（单位）无关；位数与小数点位置（单位）无关；如重力加速度如重力加速度9.80m9.80ms s2 2，0.009800.00980kmkms s2 2 或或 980980cmcms s2 2,9.809.80 x10 x103 3mmmms s2 2 都是三位有效数字都是三位有效数字c.c.位数粗略反应测量误差位数粗略反应测量误差.位数越多，测量相对误差就越小位数越多，测量相对误差就越小,如如8.348.344 4mmmm，8.38.34 4mmmm相对误差相对误差,不要写成不要写成9800 mm/s2 第31页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算标准：五下舍，五上入，整五凑偶。如保留四位有效数字如保留四位有效数字:3.1423.1422.7172.7174.5104.5103.2163.2166.3796.3793.1413.1415 5992.7172.7172 2994.5104.5105 5003.2153.2155 5006.3786.3785 50 0ll7.6917.6914 499997.6917.691测量误差测量误差有效位数：修约标准有效位数：修约标准-只入不舍只入不舍相对不确定度相对不确定度-两位，如两位，如E=0.0010023修约为修约为0.11%绝对绝对不确定度不确定度-一位，当为一位，当为1或或9时，能够保留两位。时，能够保留两位。如：如：0.00123写为写为0.0013，0.0962写为写为0.10。拟舍第一位数字为拟舍第一位数字为5，其，其后无数字或皆为后无数字或皆为0 保留末位为奇数保留末位为奇数,加加1，保留末位为偶数保留末位为偶数,不变不变 2 2 有效数字修约有效数字修约第32页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算3.3.有效数字有效数字运算运算:规则规则:准确数字与准确数字运算结果仍为准确数字，准准确数字与准确数字运算结果仍为准确数字，准确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字运算结确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字运算结果为非准确数字。运算结果只保留一位非准确数字。果为非准确数字。运算结果只保留一位非准确数字。(1)加减法加减法 结果非准确位与参加运算全部数字中非准确位数值最大结果非准确位与参加运算全部数字中非准确位数值最大者相同者相同(2)乘除法乘除法 结果位数与全部参加运算数字中有效数字位数最少相结果位数与全部参加运算数字中有效数字位数最少相同同(3)(3)乘方开方乘方开方 结果位数与对应底数位数相同结果位数与对应底数位数相同如如 674.6-21.3542结结 果果 取取 为为653.2如如23.4*26结果取为结果取为6.1*102 如如23.42结果取为结果取为548 第33页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(4)(4)对数对数 结果位数与真数位数相同结果位数与真数位数相同(5)(5)三角函数三角函数角度误差角度误差10”10”1”1”0.1”0.1”0.01”0.01”选择位数选择位数5 56 67 78 8以上方法对少许数据运算可用以上方法对少许数据运算可用,运算过程中可多保留运算过程中可多保留位数。对大量数据用统计方法处理位数。对大量数据用统计方法处理.如如 ln23.4结果取为结果取为3.15 如如sin(16O2512)结果取为结果取为0.282676 第34页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算4.4.测量最终止果测量最终止果有效数字有效数字：结果标准不确定度求出并修约后，测量量结果最终位与结果标准不确定度求出并修约后，测量量结果最终位与标准不确定度对齐，测量量结果按四舍五入标准修约。标准不确定度对齐，测量量结果按四舍五入标准修约。如如由公式求得杨氏模量由公式求得杨氏模量 Y=2.182641011(kg/m2)，求得标准不确定度为求得标准不确定度为 Y=0.02318641011(kg/m2)。则依据上述规则，最终止果为则依据上述规则，最终止果为Y Y=(2.18=(2.180.03)0.03)10101111(kg/m(kg/m2 2)E E=1.4%=1.4%第35页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(1)加减法加减法求求N=X+Y+Z，其中其中X=(98.70.3)cm，Y=(6.2380.006)cm，Z=(14.360.08)cm(2)乘除法乘除法 求立方体体积求立方体体积V，其中其中L=(22.4550.002)mm，H=(90.350.03)mm，B=(279.680.05)mm 五、举例五、举例：解解:N=X+Y+Z=98.7+6.238+14.36=119.298(cm)所以所以 N=(119.3 0.4)(cm)所以所以 V=(56743)*102 mm3=219.866 mm3第36页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(3)(3)指数指数 求求e ex x，已知，已知 x x=7.850.05=7.850.05故故 e ex x=（2.570.132.570.13）10103 3 (4)(4)三角函数三角函数-已知已知x=38241，求求sinx sin3824=0.62114778 sin3824=0.62114778 所以所以 sin3824=0.6211 0.0003 0.0003 第37页(5)(5)对数对数-已知已知x=65.48，求求lnx lnx=ln65.48=4.18174475d(lnx)/dx=1/x-d(lnx)/dx=1/x-(1nx)=x/x=0.1/65.48=0.002 所以所以 lnx=4.182 0.002有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算必须指出，测量结果必须指出，测量结果有效数字位数取决于测量有效数字位数取决于测量，而不，而不取决于运算过程。所以在运算时，尤其是使用计算器取决于运算过程。所以在运算时，尤其是使用计算器时，不要随意扩大或降低有效数字位数，更不要认为时，不要随意扩大或降低有效数字位数，更不要认为算出结果位数越多越好。算出结果位数越多越好。第38页数数 据据 处处 理理 方方 法法试验数据处理不单纯是数学运算，而是要以一定物理模试验数据处理不单纯是数学运算，而是要以一定物理模型为基础，以一定物理条件为依据，型为基础，以一定物理条件为依据，经过对数据整理、经过对数据整理、分析和归纳计算，得出明确试验结论分析和归纳计算，得出明确试验结论。1 列表法列表法-统计数据时，把数据列成表格统计数据时，把数据列成表格要求要求(1)(1)表格设计合理表格设计合理;(2)(2)标题栏中写明各物理量符号和单位标题栏中写明各物理量符号和单位;(3)(3)表中所列数据要正确反应测量结果有效数字；表中所列数据要正确反应测量结果有效数字；(4)(4)试验室给出数据或查得单项数据应列在表格上部试验室给出数据或查得单项数据应列在表格上部 m(g)t1(s)t2(s)t3(s)5.0010.0015.00 如如：r=2.50cm,h=cm六、数据处理六、数据处理第39页数数 据据 处处 理理 方方 法法2 图示法图示法-将数据之间关系或其改变情况用图线直观地将数据之间关系或其改变情况用图线直观地表示出来表示出来优点：物理量之间改变规律；优点：物理量之间改变规律；内插法求值；内插法求值；外推法求值。外推法求值。缺点：三个及其以上变量不适用；缺点：三个及其以上变量不适用；绘图时易引入人为误差。绘图时易引入人为误差。作图步骤作图步骤：选取适当坐标纸选取适当坐标纸 坐标轴百分比与标度坐标轴百分比与标度a.a.用粗实线描出坐标轴用粗实线描出坐标轴(箭头箭头)，横轴代表自变量，横轴代表自变量,纵轴纵轴代表因变量，标明物理量名称代表因变量，标明物理量名称(或符号或符号)及单位。及单位。第40页数数 据据 处处 理理 方方 法法b.b.标准上，标准上，坐标中最小格对应测量值可靠数字最终坐标中最小格对应测量值可靠数字最终坐标中最小格对应测量值可靠数字最终坐标中最小格对应测量值可靠数字最终一位，一位，一位，一位，可依据情况选择这一位可依据情况选择这一位“1”“1”、“2”“2”或或“5”“5”倍倍c.c.坐标轴起点不一定从零开始，标度用整数，不用坐标轴起点不一定从零开始，标度用整数，不用测量值。测量值。标试验点标试验点a.a.以以“+”、“”、“”“”、“”“”等符号等符号标出试验点，测量数据落在所标符号中心，大标出试验点，测量数据落在所标符号中心，大小适中。小适中。禁止用禁止用“”b.b.一条试验曲线用同一个符号。一条试验曲线用同一个符号。连图线（拟合线）连图线（拟合线）a.a.把点连成直线或光滑曲线；不要无限延长把点连成直线或光滑曲线；不要无限延长b.b.要求数据点均匀地分布在图线两旁，连线要细而清楚要求数据点均匀地分布在图线两旁，连线要细而清楚第41页数数 据据 处处 理理 方方 法法(5)注讲解明注讲解明a.图形意义、数据起源、所用公式等图形意义、数据起源、所用公式等b.图线名称、试验日期、试验者等图线名称、试验日期、试验者等图解法图解法-求直线斜率和截距求直线斜率和截距(y=a+bx)在图线上测量范围内靠近两端取两相距较远点，如在图线上测量范围内靠近两端取两相距较远点，如P1(x1，y1)和和P2(x2，y2)(不一样于试验点不一样于试验点),用不一样于用不一样于试验点符号表明试验点符号表明第42页数数 据据 处处 理理 方方 法法图示法图示法举例举例 在刚体转动试验中，当保持塔轮半径在刚体转动试验中，当保持塔轮半径r不变情况下，悬挂不变情况下，悬挂砝码质量砝码质量m与下落时间与下落时间t关系为关系为 m与与1/t2成成线性关系线性关系其中 r=2.50 cm h=89.50 cm 测出一组测出一组m m 1/1/t t2 2值值,作出它们关系曲线作出它们关系曲线,求出斜率求出斜率K K1 1即即可得到可得到I I1 1 第43页数数 据据 处处 理理 方方 法法OOO作图：作图：选坐标纸；选坐标纸；坐标轴百分坐标轴百分比与标度；比与标度；标试验点；标试验点；连图线；连图线；注讲解明注讲解明第44页数数 据据 处处 理理 方方 法法求直线斜率和截距在图线上测量范围内靠近两端任取两相距较远点，如P1(x1，y1)和P2(x2，y2)(不一样于试验点),用不一样于试验点符号标明 P1（x1,y1）=(5.0010-3,6.02)，P2 (x2,y2)=(36.0010-3,34.30)C1=1.65（g）（延长与延长与Y 轴交点；由轴交点；由P1，P2坐标值；取第三点。）坐标值；取第三点。）第45页数数 据据 处处 理理 方方 法法3 逐差法-充分利用测量数据减小测量误差两个条件：函数含有y=a+bx线性关系(或代换后是线性）自变量x是等间距改变,测量次数为偶数如:杨氏模量,等第46页数数 据据 处处 理理 方方 法法4 线性回归（方程法）依据试验数据用函数解析形式求出经验公式，既无依据试验数据用函数解析形式求出经验公式，既无人为原因影响，也更为明确和快捷人为原因影响，也更为明确和快捷,这个过程称为这个过程称为回归回归分析分析a.函数关系已经确定，但式中系数是未知，利用测函数关系已经确定，但式中系数是未知，利用测量量n对对(xi，yi)值，确定系数最正确预计值。值，确定系数最正确预计值。b.第二类问题是第二类问题是y和和x之间函数关系未知，需要从之间函数关系未知，需要从n对对(xi，yi)测量数据中寻找出它们之间函数关系式。测量数据中寻找出它们之间函数关系式。只讨论第一类问题中最简单函数关系，即一元线性方只讨论第一类问题中最简单函数关系，即一元线性方程回归问题程回归问题(或称或称直线拟合问题直线拟合问题)第47页数数 据据 处处 理理 方方 法法一元线性回归一元线性回归若已知函数形式若已知函数形式(最正确经验最正确经验)为为 y=a+bx 试验测得数据（试验测得数据（xi，yi）,i=1,2,n由由 n 对（对（xi，yi）求求a，b 使使(yi)2 最小最小-最小二乘法最小二乘法 (P7)其中其中 y=y y=y(a+bx)对应于每一个对应于每一个x值，值，观察值观察值 y和最正确经验公式和最正确经验公式 y 值之间存在一个偏差值之间存在一个偏差y 第48页数数 据据 处处 理理 方方 法法相关系数来判断回归分析合理性|-1，线性回归是合理线性回归是合理;|-0，不宜用线性回归不宜用线性回归.其中：其中：第49页数数 据据 处处 理理 方方 法法例例3 用X射线检验合金铸件，透视电压U与铸件厚度x 数据如表，求Ux经验公式，并作相关性检验。观察可见，表中观察可见，表中x与与U展现比较显著线性关系展现比较显著线性关系,设设U=a+bx解：(1)计算平均值计算平均值X Xi i(mm)(mm)12.012.013.013.014.014.015.015.016.016.018.018.020.020.022.022.024.024.026.026.0U Ui(kV)i(kV)52.052.055.055.058.058.061.061.070.070.065.065.075.075.080.080.085.085.091.091.0第50页(3)(3)相关性检验相关性检验(2)(2)回归系数回归系数可见，可见，U与与x线性相关性是很高。线性相关性是很高。数数 据据 处处 理理 方方 法法第51页数数 据据 处处 理理 方方 法法曲线改直对非线性关系变量进行变量代换，使新变量成为线性关系对非线性关系变量进行变量代换，使新变量成为线性关系,能够用能够用线性回归、图解法、逐差法线性回归、图解法、逐差法来处理。来处理。Y=aex+b,令令ex=Z,则则y=az+b y=ae bx，lny=lna+bx 令令lny=y，lna=a0，y=a0+bxy=a/x,令令z=1/x,则y=azT2 看做一个变量y，则y(即T2)与m成线性关系 第52页谢谢!第53页