泰勒级数及其应用(毕业论文).doc
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4、1.3带有积分型余项的泰勒公式21.2函数的泰勒公式展开21.2.1函数的泰勒展开式21.2.2可展条件31.3常见函数的展开式42泰勒公式的应用42.1利用泰勒公式求极限42.2利用泰勒公式证明不等式52.3利用泰勒公式判断级数敛散性52.4利用泰勒公式证明根的唯一存在性62.5利用泰勒公式求函数极值72.6利用泰勒公式近似计算82.7利用泰勒公式计算定积分82.8利用泰勒公式求行列式的值92.9泰勒公式在经济上的应用10结束语11致谢11参考文献11泰勒公式及其应用 Taylor Formula and Its ApplicationsStudent majoring in mathema
5、tics and applied mathematics Abstract:In this paper, we introduce the Taylor formula and the expansion of several common functions, and we apply Taylors formula to limit of function, the proof of inequality, determining method of convergence and divergence for series, the proof of existence and uniq
6、ueness of root, the method of solving extreme, the method of solving approximate calculation, the method of solving definite integration and the value of determinant, the tool of solving the problem of economy.Key words: Taylor formula; limit; convergence; approximate calculation 引言 泰勒公式是高等数学中非常重要的内
7、容,它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的方法,使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆,并且在经济学上有一定的应用.泰勒公式的问世,使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了希望并且很多都成了现实,所以我们有必要很好的掌握这一公式.1 泰勒公式1.1 泰勒公式定义1.1.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式如果函数在点的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点,有当时, 上式称为(带有佩亚诺型余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式.即,=x.1.1.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式如果函数在点 的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点, 有(介于与之间).当时, 上式称为(
8、带有拉格朗日型余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式.即.1.1.3 带有积分型余项的泰勒公式泰勒定理: 若函数在点的邻域内有连续的阶导数,则,有其中 称为积分型余项. 1.2 函数的泰勒公式展开1.2.1 函数的泰勒展开式: 若在点的某邻域内函数的Taylor级数(Taylor公式仅有有限项时)用多项式逼近函数. 项数无限增多时,得 ,称此级数为函数在点的Taylor级数. 只要函数在点无限次可导,就可写出其Taylor级数. 称=时的Taylor级数为Maclaurin 即级数收敛且和恰为 则称函数在点可展开成Taylor级数 称此时的Taylor级数为函数在点的Taylor展开式或幂
9、级数展开式. 简称函数在点可展为幂级数. 当=0 时,称Taylor展开式为Maclaurin展开式.1.2.2 可展条件:定理(必要条件) 若函数在点可展,则必有在点有任意阶导数.定理(充要条件) 设函数在点有任意阶导数, 则在区间内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是:对,有. 其中是Taylor公式中的余项.定理(充分条件) 设函数在点有任意阶导数,且导函数所成函数列一致有界,则函数可展.例1.1 展开函数,(1) 按幂;(2) 按幂.解: , , ; , , ;, , ;, , ;.所以, (1) .可见,的多项式的Maclaurin展开式就是其本身. (2) .常见函数的展开
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