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电大专科2332高等数学基础复习及答案电大专科2332高等数学基础复习及答案2332高等数学期末复习指导 高等数学基础复习指导 注意: 1 本次考试题型分为单选(20=4分*5)填空(20=4分*5)计算题(44=11分*4)应用题(16=16分*1) 2 复习指导分为3个部分，第一部分配有详细解答，掌握解题方法，第二部分历年试题汇编，熟悉考试题型;第三部分中央电大今年的模拟真题，应该重点掌握。 3 复印的蓝皮书大家要掌握第5页的样卷和29页的综合练习。 第一部分(详细解答) 一(填空题 x，41(函数的定义域为 xx,12且 。 y,ln(1)x,x，,40,x4,x,10解:且,xx12 x,1,ln10x,，x,11,ln(1)x，2(函数的定义域是 。 ,12xy,24,xx，,10x,1, 解:,12x,2,22x40,x,x，23(函数的定义域是 。 xx,23且y,x,3xx，,202, 解:,xx,303,22f(x),4(设，则 。 xx,，46fxx(2)2，,2xt，,2xt,2解:设，则且原式 fxx(2)2，,22ftt()22,即, tt,，42，2fx(),亦即 xx,，424,x,4(1),0,xxfx(),x,0k4(若函数在处连续，则= e 。 ,kx,0,第 1 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 函数fx在x=0连续,lim则ffx,0，x0,41,，,4，,4xxlimlim1limfxxxe,1， xxx,000,fk(0), ,4？,ke,xx,05(曲线在处的切线方程为 。 yx,1ye,曲线在点处的切线方程为yyyxx, yfx,xy,，0000x0,x0,解:， ye1,xye,01时，000x,0x,， yxyx,1(0)1ln(3)x，6. 函数的连续区间为 。 y,，,3,1,1,，x，1初等函数在其定义区间连续。 x，,30ln(3)x，,x,3x,1y,且 ,，,3,1,1,，,x，1x，,10,7(曲线在点(1,0)处的切线方程为 。 yx,lnyx,11,yx解:,ln1,，xxx,111 xyxyx？,，01111dy,fxdx(ln2)8. 设函数yfx,(ln2)可导，则 。 x1dyydx,解:,fxxdx(ln2)2 fxdx(ln2)fxxdx(ln2)ln2，,2x11fxdx(ln2),fxxdx(ln2)2, ，x2x132yxxx,，239.(判断单调性、凹凸性)曲线在区间内是 单调递减且凹 。 2,3，32,解: yxxxxxy,，,4331,230当时，曲线下降，, yxy,20,4曲线是凹的22,f(f(x),10(设，则 。 41x，fxx()1,，222,fxxx()12,，,ffxfxxx()22141,，,，解:， ，1311( 0 。 xxdx(1cos),1第 2 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 3解:是奇函数;是偶函数，由于偶+偶=偶，则是偶函数， 1cos,xx1cos和x3因为奇偶,奇，所以是奇函数，是对称区间 x，,1,11cos,x，,奇函数在对称区间上的积分为零 12212( 。 xxxdx(1),，,13111122222解: xxxdx(1),，,(1)xxxdx,，,xdxxxdx,，1,1111122是奇函数(奇偶,奇)，故; ，xxdx10，,xx1，,1111222232,而是偶函数，故 xdxxdxx2x,0,1033fx(ln3),13(设，则 。 Fxfx()(),dx,FxCln3，,x11,解: ,？,ln3ln3ln3xdxxdxdx，xx1 fxdxfxdxFxC(ln3)ln3ln3ln3,，,x122,xfxdx(1),14(已知Fxfx()(),，则 。 FxC,，1，,211122222解: xfxdxfxxdxfxdxFxC(1)12111,，,222fxxdx(sin)cos,15(设Fx()fx()为的原函数，那么 。 FxCsin，,fuduFuC,，cossinxdxdx,Fx()fx()分析:为的原函数， ,，,fxxdxfxdxFxC(sin)cossinsinsin,，解: ，,sinx,sinxfx()16(设的一个原函数是, 则fx(), 。 ,sinxfx()Fx()fx()Fx()fx(),解:的一个原函数为, sinxcosx,，0,xxcos2Fx(),17(，那么 。 Fxttdt()cos2,x,xx,解: ftdtfx,Fxttdtxx()cos2cos2，,0a0d,2t2,x,tedt18(_,xe_。 ，,xdx0xdd,2,t2t2,x,tedttedt解:,xe ，,0xdxdxx,1,sint,F(),19(设，则 e 。 Fxedt(),02第 3 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 ,x,sin,sinsin1tx2,FxedteFee,解: ，,，,02,0d2220(cos= 。 tdt,cosx,xdx0xdd222coscos解:tdt,tdt, ,cosx,x0dxdx二(选择题 1( 下列函数中( B )的图像关于坐标原点对称。 xlnxA( B( C(xxsin D( axxcos规律:(1)1(奇偶函数定义: ; fxfxfxfxfxfx,;是奇函数，是偶函数，2243(2)(常见的偶函数: xxxxx,.,cos,常数111，,xx3523常见的奇函数: xxxxxxx,.,sin,ln1,ln,ln，11,，xxxxxx,常见的非奇非偶函数:; aeaex,ln(3)(奇偶函数运算性质: 奇?奇=奇;奇?偶=非;偶?偶=偶;奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶; y(4)(奇函数图像关于原点对称;偶函数图像关于轴对称。 y解:A(非奇非偶; B(奇偶=奇(原点); C(奇奇=偶(轴); D(非奇非偶 2(下列函数中( B )不是奇函数。 xx,2sinxcosxA(; B(sin(1)x，; C(; D( ee,ln1xx，解:A(奇函数(定义); B(非奇非偶(定义);C(奇函数(奇偶);D(奇函数(定义) y3(下列函数中，其图像关于轴对称的是( A )。 1,xx2lncos(1)x,A( B( C( D( excossin(1)x,1，xy解:A(偶函数(轴); B(非奇非偶(定义);C(奇函数(常见);D(非奇非偶(定义) 4(下列极限正确的是( B )。 3xx,11e,1A( B( lim,lim0,3x,313x，,0xxsinx1x,，,elim(1)lim1C. D( x,0xxxxxe,1xlim1,x,0解:A错。?，e,1,?; lim,xx,0x,0xxB正确。分子分母最高次幂前的系数之比; 11sinxsinx,0lim0C错。?，即是无穷小，即是有界变量，?; sin1x,x,x,xxx第 4 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 11x,x1，,eD错。第二个重要极限应为或，其类型为。 lim(1)lim(1)，,xe,x,x0x5(当x,1时，( D )为无穷小量。 x，11A( B(sin C( D( cos(1)x，ln(2)x，2x,1x，10x，1110lim解:A( ,0; lim2x,1x,1x22x,111B(x,1，x，,10，,， 不存在; limsinx,1x，x，11x,1C(，; cos(1)cos01x，,x,1D(，。 ln(2)ln10x，,6. 下列等式中，成立的是( B )。 1,33xx,22xxedxde,A( B( edxde,2321C( D( dxdx,ln3 dxdx,3xx1,33xx,22xx,33xxedxde,解:A(错，正确的应为 B。 正确，即 ,2edxde,3edxde311C(错，正确的应为 D(错，正确的应为 dxdx,dxdx3ln3,3x2x,f(x)7(设在点可微，且，则下列结论成立的是( C )。 xx,fx()0,00f(x)f(x)A( 是的极小值点 B( 是的极大值点 ; xx,xx,00f(x)f(x)C(是的驻点; D( 是的最大值点; xx,xx,00,fx()fx()解:驻点定义:设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。 xx,fx()0,xx,000fxf()(3),fxx()ln,8(函数lim,，则 ( D )。 x,3x,311ln3A( 3 ; B( ; C( ; D( x3fxf()(3),11解一:lim, ffxx,3ln，xx,33x,3x,3x3x,310fxf()(3),lnln3x,1x0lim,lim解二: ,limx,3x,3x,3x,3x,313第 5 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 fx()9(设，则,( B )。 fxx()sin,limx,0x12A( 0 ; B( ; C( ; D( 不存在 fx，sinx 解一,:limlim1xx,00xxfx，sin0x, 解二:limlimsincos1,xx，xx,00xx,00,0xx3210(曲线在区间(1,3)内是( A )。 yxxx,，391A(下降且凹 B(上升且凹 C(下降且凸 D( 上升且凸 解: 22,yxxxxxx,，369323331,，,在任取一点13,0,xyx带入可知，曲线下降 ,yx,66,，,在中任取一点13,0,xyx带入可知，曲线是凹的x11(曲线在(0,)，,内是( B )。 yex,A( 下降且凹; B(上升且凹; C(下降且凸; D(上升且凸 解: xxyexe1,，当时上升xy,00，曲线 xye,当时，曲线是凹的xy,0012(曲线在点M(1,2)处的法线方程为( B )。 yx,21yx,2(1)yx,2(1)yx,22(1)A.;B.;C(D.yx,1(2) 21规律:曲线在x=处的法线方程为 xyfx,yfxxx,，000,fx，011yfxx,2解:， fxx2,f,，11，xxx,1yx,2(1)故法线方程为B(; 13(下列结论中正确的是( C )。 A(函数的驻点一定是极值点 B(函数的极值点一定是驻点 00C(函数一阶导数为的点一定是驻点 D(函数的极值点处导数必为 ,fx()fx()解:驻点定义:设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。 xx,fx()0,xx,000第 6 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 14(设函数，则( A )。 df(x),fxx()cos,sinxsinxsinxsinxA(; B(; C(; D( dxdx,dxdx2xx2xxsinx解: dfxdxxd()coscossi,xxxdx,n,dx，2x15(当函数不恒为0，为常数时，下列等式不成立的是( B )。 fx()ab,db,f(x)dx,f(x)A. B. (f(x)dx),f(x),adxb,C. D. df(x),f(b),f(a)f(x)dx,f(x)，c,a解: ,()()fxdxfx,A. 成立，为不定积分的性质; ,bB. 不成立，常数，而常数的导数为零; fxdx(),a,fxdxfxc()(),，C. 成立，为不定积分的性质; ,bD. 成立，为牛顿,莱布尼兹公式。 dfxfbfa()()(),a1116(设函数f(x)Fx()fdx(),的原函数为，则( A )。 2,xx111FC()，fC()，A( ,，FC()FxC()，; B(; C(; D( xxx11fuduFuC,，fx()Fx()解:函数的原函数为，,dxd ,，2,xx1111111,fdx(), ,fdxfd(),，FC,22,xxxxxxx,17(下列无穷积分为收敛的是( B )。 ，,0，,01,x2x1edxdxA. B. C. D. edxsinxdx,1,0,2x，,0,1,发散p,0,收敛1,pxdxedx,规律:?(0), ? ,a,xp,0,发散,1,收敛,，,，,，,p,0,发散npx,xedxn,N,?、发散 ? sinxdxcosxdx,0aap,0,收敛，,1p,20p,10,解:A.;B.，收敛; C.，发散; D. ，发散 1sinxdx,0218(下列无穷积分为收敛的是( C )。 第 7 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 x，,，,，,，,122,2A. B.dx C. D. edxxdxxdx,1111x解:A. 发散;B. 发散;C. 收敛;D. 发散; 三(计算题 12,x2x41x,4x,limlim1、求极限 2、求极限 ,x,x,41x，43x，,414122xx,，,44333xx，,解:? 解:? ,，1,，1414141xxx，434343xxx，,212x，,32x3 lim,-lim,1x,x,43x，241x，3,2?原题, ?原题, eexex,1xx,03、求极限解:?，,，, e,1limln1，xxx，,0xxxln(1)，,xxxxex1,，e1ex,1e,1lim?原题,=, limlimlim,0,0,0xx,0xx222xxx,2,x，sin3xsin3x3x,2xx,04、求极限lim解:?，,，, 141,xx,0,141x3x3,lim?原题, x,0,22x2ln(13),x22sin2x2xx,0、求极限5解:?，,，, ,3xlimln(13),xx,0xxsin223,3x,?原题,lim, x,02xx,2sin2xe,16、求极限 lim,x0tan4xsin2xsin2x2x4xx,0tan4x解:?，,，, e,12x1lim?原题, x,04x23dy7、设函数，求 yxx,ln(2)13323yxxxxln(2)ln2,，,，,，,3ln(2)2xxxx解: ，2,x第 8 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 3x2 ,3ln(2)xx2,x3，x2 ,3ln(2)xxdx,dy,2,x，cosx8、设函数，求。 dyyxex,2，3xcos2解: yxex,2131,coscosxxxcosxxcoscos222,，,exex3yxex2, ,，,exexxcos3，,1xxcoscos2 ,exxexsin31,xxcoscos2,exxexdx,sin3dy ,2x,129、设函数，求dy。 yxee,，cos(ln2)2,x,12,解:yxeecosln2 ,，2,x,12,cosln2xee ,，2,x,12, sinln2ln210xxex,，,，21x,1,xxex,，,sinln222 ，x22sinlnxx,1,，2xe x2sinln2x,x,1 ,，dy2xedx,x,3xedy10、设函数y,，求。 2,x,33xx,33xx33xx,3x,exex22,，exxe321,32exe,，,，e,解:y, ,2222,x22,xx2,x，,33xx32ex,，e，dy,dx 22,x，sin3xy,dy11、设函数，求。 cos1x，第 9 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 ,sin31cossin31cosxxxx，,，sin3x,解:, y,21cos，x,1cos，x，,cos331cossin3sinxxxxx，,， ,21cos，x，3cos31cossin3sinxxxx，, 21cos，x，3cos31cossin3sinxxxx，dy,dx 21cos，x，x2xdxsin12、计算不定积分 ,222x 2 0 解:x+ + xxxx,4cossin,2cossin8 2222xxxx22,，2cos8sin16cosxxC xdxsin, ,2222,3xxedx13、计算不定积分 解: 1 0 x,， 11,3x,3x,3x,ee e9311,3x,3x,3xxedx,xe,，eC, ,39四、应用题 1、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。 h解:设圆柱体底半径为，高为， r42,h则体积 Vrh,42,r材料最省即表面积最小 48222S,，,，r表面积rr2,rrh，2, 2rr,843,S2rS,，令,0，得唯一驻点 ,r2r,4433所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即材料最省。 ,2、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 第 10 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 h解:设圆柱体底半径为，高为， rr162h则体积, hVrh,162,r64022,，,，,且造价函数 frrhr1020210r64043,令，得唯一驻点 fr200,r22r,4433所以当底半径为米，此时高为米时造价最低。 2,3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 解:要使建造费用最省，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。 h设圆柱体底半径为，高为， r1082,则体积h Vrh,1082,r108216222S,，,，r则圆柱体仓库的表面积为, rr2,rrh，22rr,216108433,SS2r,，令,0，得唯一驻点, ,3r2r,4433所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即建造费用最省。 ,33,4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形(如图)， 为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。 y2x解:设长方形的底边长为，高为， 2222,yx64y则 8 8,，xy2Sxyxx,2264面积 xx2,x2,Sx,2640令，得唯一驻点 x,42,264,x,所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。 82425、在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大， 该长方形的底长和高各为多少。 2x2y解:设长方形的底边长为，高为， 2222,yx64则 8,，xy第 11 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 2Sxyxx,4464面积 2,x2,令Sx,4640，得唯一驻点 x,42,264,x,米，此时高为米时面积最大。 所以当底边长为8282第二部分 高等数学基础历年试题汇编 一、单项选择题(每小题4分，本题共20分) ,xxee, 1.函数的图形关于(A)对称( y,2yy,x (A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x2.在下列指定的变化过程中，(C)是无穷小量( 11xsin(x,)sin(x,0) (A) (B) xx1x (C) ln(x，1)(x,0) (D) e(x,)f(x2h)f(x),00lim 3.设f(x)在可导，则,(C)( x0h,02h, (A) (B) (C) (D) f(x)2f(x),f(x),2f(x)00001f(x)dx,F(x)，cf(lnx)dx, 4.若，则(B)( ,x11F(lnx)，cF()，c (A) F(lnx)F(lnx)，c (B) (C) (D) xx5.下列积分计算正确的是(D)( 1001,x (A) (B) (C) (D) xsinxdx,0edx,1sin2xdx,xcosxdx,0,11,xx22，y,6.函数的图形关于(B)对称( 2yy,x (A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x7.在下列指定的变化过程中，(A)是无穷小量( 11xsin(x,0)xsin(x,) (A) (B) xxxlnx(x,0) (C) (D) e(x,)8.下列等式中正确的是(B)( dxdx1xxd(x),d(),lnxdxd(lnx), (A) (B) (C) (D) d(3),3dxxxx第 12 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 1f(x)dx,F(x)，c 9.若，则f(x)dx,(C)( ,x(A) (B) (C) (D) F(x)F(x)，c2F(x)，c2F(x)10.下列无穷限积分收敛的是(D)( ，,，,，,，,111xdxdx (A) (B) (C) dx (D) edx2,1110xxx,xxee,11.函数的图形关于(A)对称( y,2yy,x (A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x12.在下列指定的变化过程中，(C)是无穷小量( 11xsin(x,)sin(x,0) (A) (B) xx1x (C) ln(x，1)(x,0) (D) e(x,)f(x2h)f(x),00lim 13.设f(x)在可导，则,(C)( x0h,02h, (A) (B) (C) (D) f(x)2f(x),f(x),2f(x)00001f(x)dx,F(x)，cf(lnx)dx, 14.若，则(B)( ,x11F(lnx)，cF()，c (A) F(lnx)F(lnx)，c (B) (C) (D) xx15.下列积分计算正确的是(D)( 1001,x (A) (B) (C) (D) xsinxdx,0edx,1sin2xdx,xcosxdx,0,1116下列各函数对中，(C)中的两个函数相等( 22f(x),x (A) ，g(x),x (B) ，g(x),x f(x),(x)34g(x),3lnxg(x),4lnx (C) ， (D) ， f(x),lnxf(x),lnxf(x)(,，,)f(x),f(,x)17设函数的定义域为，则函数的图形关于(D)对称( y,xy (A) (B) 轴 (C) 轴 (D) 坐标原点 xx,018当时，变量(C )是无穷小量( 2sinxx1x (A) (B) (C) (D) e,13xxxfhf,(12)(1)x,1,f(x)lim 19设在点处可导，则(D )( h,0h,f(1),f(1)2f(1),2f(1) (A) (B) (C) (D) 第 13 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 2 20函数在区间内满足(B)( (2,4)y,x，2x,3(A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降 ,f(x)dx,21若，则(B)( f(x),cosx,(A) sinx，c (B) (C) ,sinx，c (D) cosx，c,cosx，c72(xcosx,2x，2)dx,(D)( 22,202 (A) (B) (C) (D) 21,23若的一个原函数是，则(B)( f(x)f(x),x211, (A) (B) (C) (D) lnx32xxx24下列无穷积分收敛的是(B)( ，,，,，,，,11x,3dxdx (A) (B) (C) (D) cosxdxedx,1100xx25.设函数f(x)的定义域为(,，,)，则函数f(x),f(,x)的图形关于(D)对称( y,xy (A) (B) 轴 (C) 轴 (D) 坐标原点 xx,0 26.当时，变量(C)是无穷小量( sinx1xx (A) (B) (C) (D) e,12xxxfxf，,(1)(1)x, 27.设，则lim(B)( f(x),e,x,0x,11ee2e (A) (B) (C) (D) e42d2xf(x)dx, 28.(A)( ,dx1122f(x)f(x)dx (A) (B) (C) (D) xf(x)xf(x)dx2229.下列无穷限积分收敛的是(B)( ，,，,，,，,11xx,dxdx (A) (B) (C) (D) edxedx,1100xx二、填空题(每小题4分，共20分) 29,xy,(1,2):(2,3 1.函数的定义域是 ( ln(x,1)x,1x,0,x,0y, 2.函数的间断点是 ( ,sinxx,0,第 14 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 1 3.曲线在处的切线斜率是 ( (1,2)f(x),x，122 4.函数的单调减少区间是 ( (,1)y,(x，1)，1,(sinx)dx, 5. sinx，c ( ,ln(x，1)6.函数的定义域是 ( y,(,1,2)24,x1,x,(1，x)x,0x,0k,f(x), 7.若函数，在处连续，则 ( e,2,x，kx,0,33 8.曲线在(1,2)处的切线斜率是 ( f(x),x，1y,arctanx 9.函数的单调增加区间是 ( (,，,),f(x)dx,sinx，c,sinx 10.若，则 ( f(x),ln(x，1)11.函数y,的定义域是 ( (,1,2)24,x1,x,(1，x)x,0x,0k,f(x), 12.若函数，在处连续，则 ( e,2,x，kx,0,33(1,2) 13.曲线在处的切线斜率是 ( f(x),x，1y,arctanx 14.函数的单调增加区间是 (,，,) ( ,f(x)dx,sinx，c,sinx 15.若，则f(x), ( ,x，1y,(1,2):(2,，,)16.函数的定义域是 ( ln(x,1)1,x,(1，x)x,0x,0k,f(x), 17.若函数，在处连续，则 ( e,x，kx,0,1(1,1) 18.曲线在处的切线斜率是 ( f(x),x22(0,，,) 19.函数的单调增加区间是 ( y,ln(1，x),(cosx)dx, 20. ( cosx，c,第 15 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 x21函数y,，2，x的定义域是 ( ,2,1):(1,2)ln(2,x)x，2x,0,22函数的间断点是 x,0 ( y,sinxx,0,1,x,(1，x)x,0x,0k,23若函数f(x),，在处连续，则 ( e,3,x，kx,0,1 24曲线在处的切线斜率是 ( (2,2)f(x),x，242 25函数的单调增加区间是 ( (2,，,)y,(x,2),1f(x)dx,sin3x，c3cos3x26若，则 ( f(x),22dxxedx,27 ( e,dx三、计算题(每小题11分，共44分) sin(x1)sin(x1)1sin(x，1)，limlimlim, 1.计算极限(解: 22x,1x,1x,1(x1)(x1)2x,1x1，,1xxx,y,esine2.设，求( 解: y,y,lnx，cosex1xe 3.计算不定积分dx( 2,x解:由换元积分法得 111xe1uuxx dx,ed(),edu,e，c ,e，c,2xxe 4.计算定积分( lnxdx,1解:由分部积分法得 eeee lnxdx,xlnx,xd(lnx),e,dx,1,1111sin6xlim 5.计算极限( x,0sin5xxxsin6sin6limxsin6666x,0xx66lim,lim,解: x,0x,0xxsin5sin5xsin5555limx,0xx55xsinx，2,y6.设，求(解:由导数四则运算法则得 y,2x第 16 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 222xxxx,(sinx，2)x,2x(sinx，2)xcosx，x2ln2,2xsinx,2x2, y,44xx1xx，xcosx，x2ln2,2sinx,2 ,3x2xxxxxx,7.设，求(. 解: y,y,siney,2esinecose,esin(2e)y8.设是由方程确定的函数，求(解:等式两端求微分得 dyyyx,()ycosx,e左端 ,d(ycosx),yd(cosx)，cosxdy,ysinxdx，cosxdyyy 右端 ,d(e),edyy由此得 ,ysinxdx，cosxdy,edyysinxdy,dx整理后得 ycosx,excos3xdx9.计算不定积分( ,解:由分部积分法得 1111xcos3xdx,xsin3x,sin3xdx,xsin3x，cos3x，c ,3339e2lnx，dx10.计算定积分(解:由换元积分法得 ,1x32ee32，lnx5udx,(2，lnx)d(2，lnx),udu, ,11222x2四、应用题(本题16分) 1某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省, h解:设容器的底半径为，高为，则其表面积为 r2V22S2r2rh2r,，,， r2V,S,4r, 2rVV4V,333S,0r,r,h,由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分224VV33别为与时，用料最省( 22 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大, h 解:如图所示，圆柱体高与底半径满足 r222 h，r,l 圆柱体的体积公式为 l 第 17 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 2 V,rh222将代入得 r,l,h22 V,(l,h)h求导得 22222, V,(,2h，(l,h),(l,3h)3663,V,0令得，并由此解出(即，高时，圆柱体的体积最大( h,lr,lr,lh,l3333-第三部分高等数学基础模拟题 -1 1 一、单项选择题(每小题4分，本题共20分) ,xxee, 1.函数y,的图形关于(A)对称( 2(A) 坐标原点 (B) 轴 xyy,x (C) 轴 (D) 2.在下列指定的变化过程中，(C)是无穷小量( 11xsin(x,)sin(x,0) (A) (B) xx1x (C) ln(x，1)(x,0) (D) e(x,)f(x2h)f(x),00lim 3.设f(x),在可导，则(C)( x0h,02h, (A) (B) (C) (D) f(x)2f(x),f(x),2f(x)00001f(x)dx,F(x)，cf(lnx)dx, 4.若，则(B)( ,x11F(lnx)，cF()，cF(lnx)F(lnx)，c (A) (B) (C) (D) xx5.下列积分计算正确的是(D)( 1001,x (A) (B) (C) (D) xsinxdx,0edx,1sin2xdx,xcosxdx,0,11二、填空题(每小题3分，共15分) ln(x，1)y,(,1,2) 1.函数的定义域是 ( 24,x1,x,(1，x)x,0x,0k,f(x), 2.若函数，在处连续，则 ( e,2,x，kx,0,第 18 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 3 3.曲线在处的切线斜率是 3 ( (1,2)f(x),x，14.函数y,arctanx的单调增加区间是 ( (,，,),f(x)dx,sinx，c 5.若，则 ,sinx ( f(x),三、计算题(每小题11分，共44分) sin(x1)sin(x1)1sin(x，1)，limlimlim 1.计算极限(解:, 22x,1x,1x,1(x1)(x1)2x,1x1，,xx 2.设，求dy( y,cose，3xxxxxxx解: dy,d(cose，3),d(cose)，d(3),sined(e)，3ln3dxxxxxxx ,esinedx，3ln3dx,(,esine，3ln3)dx1xe 3.计算不定积分( dx2,x111xe1uuxx解:由换元积分法得 dx,ed(),edu,e，c,e，c,2xxe 4.计算定积分( lnxdx,1解:由分部积分法得 eeee lnxdx,xlnx,xd(lnx),e,dx,1,1111四、应用题(本题16分) 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省, h 解:设容器的底半径为，高为，则其表面积为 r2V22S2r2rh2r,，,， r2V,S,4r, 2rVV4V,333S,0r,r,h,