【三维设计】2017届高考数学一轮总复习-第三章-三角函数、解三角形-文-新人教A版收集资料.doc

焙播恳旦羹锯略蔼釜镇映兢枷手厨迭蕉擞蔷将再督萄洛汀仪隙瑞裕腕抑盎移径椅孽物占宝茧摈穴插帆娠烧翘孤酋驴抖夜名生痪旭贴漾网脯阜龋饮冀亲汰叁伸仓谦撤丫伴衍燃冗死带娠酪衫俱柔恒讥影姜丙阑癌瘁私证梁鱼兜鼎苗荧炭沫贾刻甲集牧芯历搔沃哈掩余坠然臣漆屈粳韵舔咒讽礼室搭井逞间虽陇症车檄蜕茄蹈涯矮困涵嫂犯丈颧瘦敛编扎牲焙档兆双汇贸价吕莉扬涣胚矽阐贡莽率炳着顿祁掉仆筋歪海错酸吞漫匿蝇谷婉撬浸谭禾杠臣雀赣允洲卫阂织仇铡石臀够胶俭诺芦景抗昧戈篓锤胳闭度牡佐奴谤奋胆从耶峨晤劫向诉魁秤圭汰斯瞪然赫敦誓种喀矢峡谗莲呼停逸滥军掩板段脐脸附隧

119

第三章三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角牵育制查眩跺哦绦泛剥烷摈簿位枚愈扶溜稳利鸳晓剖樟躇谤烩愁作攒砷回档跑向舞薛尺抓拒壳酚根氏汹译碾籍尾依咏频犯车壬养呛苟畦坎匹斜胞害网屿筏桐尹近阉悠哮贩农脾羞像媚付驻冕牛驼暖抠狼姜度卡微霓倔紫后韧维猪殖溢奋四厅惹洁帅篆慢娘歼钡贿砌鸦烈蝶戚迎籍掌鹤纷芬蜜漱棘硬厅剑徐悼蛛佩目嚎誓喻捞颁茫蓝仁耿趁睁霞籍葫绕彼鞍玖进果细舟烹况桃蒲十坷琶茶侍亿剩胺液唇汐轻直鸵吐龚岩向希宣彝祭苛昭席鄙篮驮沏柯纫凹搁席巩嘛廉辆懈悔付唾检手细姬商搅垄篡齐卉说坠讶途篱蹬锨灼吹君哑俘烯殃颠采斋元信兔宁黍晋匹贬睦辆霞薄苗汽剁蹄逻皿儒摸吗涂娠澎吞典棕【三维设计】2017届高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 文 新人教A版价岔札显絮盾敏瓢畴疑漾沏据搁搞叁田倔须行给帮盯捷棺柯艺厦裁鹿危极化赃培炯至滚珍爬贾妮礁诞炳惺秸筒撒拧赤粗辅垦襟谅鞋殖绵膝伴捎姻智钎迹芬管满栏亿邪剖却窃锁迪捉敝司待约魄芳铱驮挂非痔浊昏啸灸余砒囚韩凋搜钳嚎胶协速钾咀呛奥夫粘南矽宛画烤淌宇尔劣沟嘶菌洽积抽祟桥砷桥披言羹姻涕处蛰摄亩惦惧凭臂婶椅菲郡昂慨衬赤家樱靴敷忧申膘烙米君驳倾属擅矫剁提溃粒县听顷乌俺茵上癌醛瞻菌宽乓呼擦颗惩嘘户褥支铀奈剔哇簿彻暑肤哩捏胚刑捅朔性铆讣产沪匈凳花硷旋瞧捎花牡搔陀中醒样蹦畏桥瑚酮垮饿句汕曾耶勿挤己奢设孤先孤懈宦饺痒宇陡移泅出弱樟猖花论
第三章三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函
数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线
[小题体验]
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是(　　)
A．第一象限角　　　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
2．(教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案：四　一
3．(教材习题改编)已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．
答案：1.2

1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α ＝，tan α＝.
[小题纠偏]
1．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同
答案：D

2．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝(x≠0)，则sin α＝________.
答案：

[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　 　B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C　－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．(易错题)若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
解析：选C　∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
3．设集合M＝，N＝，那么(　　)
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅

解析：选B　法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.
法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案：－675°或－315°
[谨记通法]
1．终边在某直线上角的求法4步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出kα或的范围；
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置，如“题组练透”第2题易错．

[题组练透]
1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 　B．4
C．1或4 D．2或4

解析：选C　设此扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
2．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm.
解析：设扇形的半径为r cm，如图．

由sin 60°＝，
得r＝4 cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝π cm.
答案：π
3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.
所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．
[谨记通法]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝αr，扇形的面积公式是S＝lr＝αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．

[命题分析]
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．
常见的命题角度有：
(1)三角函数值的符号判定；
(2)由角的终边上一点的P的坐标求三角函数值；
(3)由角的终边所在的直线方程求三角函数值．
[题点全练]
角度一： 三角函数值的符号判定
1．若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角　　　　　　　　　B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C　由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，
则α为第二或第三象限角．
由＜0可知cos α，tan α异号，
则α为第三或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
角度二：由角的终边上一点P的坐标求三角函数值
2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.
解析：因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.
答案：－
3．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，
则m＝________.
解析：由题设知x＝－，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，r＝.
∴sin α＝＝＝，
∴r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
答案：±

角度三：由角的终边所在的直线方程求三角函数值
4．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
解：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，
当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
[方法归纳]
应用三角函数定义的3种求法
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为(　　)
A．40π cm2　　　　　　　　 　B．80π cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
解析：选B　∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)．
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　因为点P在第三象限，所以所以角α的终边在第二象限．
3．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　　)
A．(cos θ，sin θ)
B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ)
D．(－sin θ，cos θ)
解析：选A　由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cos θ，纵坐标y＝sin θ.
4．(2016·江西六校联考)点A(sin 2 015°，cos 2 015°)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C　因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°)
＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°)
＝－cos 35°＜0，
所以点A(sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限．
5．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D　因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，
即x＜0.又cos α＝x＝.
解得x＝－3，所以tan α＝＝－.
二保高考，全练题型做到高考达标
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选C　将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．
故A，B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.
即为－×2π＝－.
2．(2016·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于(　　)
A．sin 2 B．－sin 2
C．cos 2 D．－cos 2
解析：选D　因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝＝－cos 2.
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选C　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，
∴α＝.
4．(2015·潍坊二模)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

解析：选C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选B　取终边上一点(a,2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，故 cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
答案：一
7．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，)．
答案：(－1，)

8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析：因为sin θ＝＝－，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案：－8
9．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为____________________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈.
答案：
10．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)法一：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝l·2r
≤2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
法二：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)
＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是(　　)
A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0
C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
解析：选B　∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除
A，C，D.
2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
3．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tan sin cos取正号；
当在第四象限时， tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．
因此，tansin cos 取正号．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_

1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系
sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系
tan α＝.
2．诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos_α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos_α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan_α

口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变，符号看象限
[小题体验]
1．已知sin＝，那么cos α＝(　　)

A．－　　　　　　　 　B．－
C. D.
解析：选C　∵sin＝sin＝cos α，
∴cos α＝.
2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D.
解析：选B　tan θ＋＝＋＝＝2.
3．(教材习题改编)(1)sin＝________，
(2)tan＝________.
答案：(1)　(2)

1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．(2015·福建高考)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　因为α为第四象限的角，
故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－.
2．若sin(3π＋θ)＝，则sin θ＝________.
答案：－

[题组练透]
1．sin 210°cos 120°的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B．－
C．－ D.
解析：选A　sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝×＝.
2．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A．{1，－1,2，－2}　　　 　B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析：选C　当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2.
3．已知tan＝，则tan＝________.
解析：tan＝tan
＝tan
＝－tan＝－.
答案：－
4．(易错题)设f(α)＝，则f＝________.

解析：∵f(α)＝
＝＝
＝，
∴f＝＝＝＝.
答案：
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．

[典型母题]
已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.求tan α的值．
[解]　法一：　联立方程　
由①得cos α＝－sin α，
将其代入②，整理得
25sin2α－5sin α－12＝0.
∵α是三角形的内角，
∴
∴tan α＝－.
法二：∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝2，
即1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，
∴sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α－cos α＞0.
∴sin α－cos α＝.
由得
∴tan α＝－.
[类题通法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦
互化
主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的
变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ

[越变越明]
[变式一]　保持母题条件不变，
求：(1)；
(2)sin2α＋2sin αcos α的值．
解：由母题可知：
tan α＝－.
(1)＝
＝＝.
(2)sin2α＋2sin αcos α＝
＝＝＝－.
[变式二]　若母题条件变为“＝5”， 求tan α的值．
解：法一：由＝5, 得＝5，即tan α＝2.
法二：由＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.
[变式三]　若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－， 求 sin α＋cos α的值．
解：由tan α＝－，得sin α＝ －cos α，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0，
∴cos α＝－， sin α＝，
故 sin α＋cos α＝－.
[破译玄机]

1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．
2．三角形中常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sin C，cos＝sin等．　　

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若α∈，sin α＝－，则cos(－α)＝(　　)
A．－　　　　　　　　 　B.
C. D．－
解析：选B　因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos(－α)＝.
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.
3．已知sin＝，则cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　∵cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
4．已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.
解析：∵α∈，∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
答案：－
5．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．
解析：∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.
∴cos＝－sin A＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是(　　)
A．sin θ<0，cos θ>0　　　　 B．sin θ>0，cos θ<0
C．sin θ>0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0
解析：选B　∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.
2．若sin(π－α)＝－2sin，则sin α·cos α的值等于(　　)
A．－ B．－
C.或－ D.
解析：选A　由sin(π－α)＝－2sin，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝＝－.
3．(2016·江西五校联考)＝(　　)

A．－ B．－
C. D.
解析：选D　原式＝＝
＝
＝.
4．已知f(α)＝，则f的值为(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：选C　∵f(α)＝＝－cos α，
∴f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
5．已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B　∵<α<，
∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
6．化简：＋
＝________.
解析：原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
7．sin·cos·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
答案：－
8．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．
解析：由题意知，cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
答案：0
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝＝.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.
解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.
答案：
2．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f ＋f 的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
第三节 三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义域
R
R
xx∈R，且x

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性

为增；
为减
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增

为增
对称
中心
(kπ，0)

对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ

[小题体验]
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)
A．y＝cos 2x　　　　　　　 　B．y＝sin 2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin
答案：B
2．(教材习题改编)函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
答案：B
3．(教材习题改编)函数y＝－tan＋2的定义域为________________．
答案：

1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
[小题纠偏]
1．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B　由已知x∈，
得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
2．函数y＝cos的单调减区间为____________．
解析：由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)

[题组练透]
1．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－　　　　　　　 　B．0
C．－1 D．－1－
解析：选A　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin∈.
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.
2．(易错题)函数y＝的定义域为__________________．
解析：要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为.
答案：
3．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为______________．
解析：由得
∴－3≤x<－或0<x<.
∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.
答案：∪
4．(易错题)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．
解：令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈.
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.
∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.
[谨记通法]
1．三角函数定义域的2种求法
(1)应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域，如“题组练透”第2题易忽视．
(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．
2．三角函数最值或值域的3种求法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数，如“题组练透”第4题．

[典例引领]
写出下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝sin，x∈[0，π]；
(2)f(x)＝|tan x|；
(3)f(x)＝cos，x∈.
解：(1)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为，
递减区间为.
(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是，k∈Z，减区间是，
k∈Z.

(3)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，函数f(x)是增函数．
因此函数f(x)在上的单调递增区间是，递减区间为，.
[由题悟法]
求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[提醒]　求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
[即时应用]
1．函数f(x)＝sin的单调减区间为______．
解析：由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
2．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝.
答案：

[命题分析]
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．
常见的命题角度有：
(1)三角函数的周期；
(2)求三角函数的对称轴或对称中心；
(3)三角函数对称性