初一数学竞赛培训讲座数论的方法技巧下.doc
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1、初 一 数 学 竞 赛 培 训 讲 座第2讲 数论的方法技巧(下)四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设,并从此假设出发,经过正确的推理,导出矛盾的结果,这就否定了作为推理出发点的假设,从而肯定了原结论是正确的.反证法的过程可简述为以下三个步骤:1反设:假设所要证明的结论不成立,而其反面成立;2归谬:由“反设”出发,通过正确的推理,导出矛盾与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾;3结论:因为推理正确,产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.运用反证法的关键在于导致矛盾.在数论中,不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的.例
2、1 是否存在三位数?解:如果存在这样的三位数,那么就有:100a+10b+c=(10a+b)+(10b+c)+(10a+c).上式可化简为 80a=b+c,而这显然是不可能的,因为a1,b9,c9.这表明所找的数是不存在的.说明:在证明不存在性的问题时,常用反证法:先假设存在,即至少有一个元素,它符合命题中所述的一切要求,然后从这个存在的元素出发,进行推理,直到产生矛盾.例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒,再将得到的数与原来的数相加.试说明,得到的和中至少有一个数字是偶数.解:假设得到的和中没有一个数字是偶数,即全是奇数.在如下式所示的加法算式中,末一列数字的和d+a为奇数,从而第一列也
3、是如此,因此第二列数字的和b+c9.将已知数的前两位数字a,b与末两位数字c,d去掉,所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒,得到的数与它相加,和的数字都是奇数”这一性质.照此进行,每次去掉首末各两位数字,最后得到一位数,它与自身相加是偶数,矛盾.故和的数字中必有偶数.说明:显然结论对(4k+1)位数也成立.但对其他位数的数不一定成立.如12+21,506+605等.例3 有一个魔术钱币机,当塞入1枚1分硬币时,退出1枚1角和1枚5分的硬币;当塞入1枚5分硬币时,退出4枚1角硬币;当塞入1枚1角硬币时,退出3枚1分硬币.小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始,反复将硬币塞入机器,能否在某一时刻,小
4、红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚?解:开始只有1枚1分硬币,没有1角的,所以开始时1角的和1分的总枚数为 0+1=1,这是奇数.每使用一次该机器,1分与1角的总枚数记为Q.下面考查Q的奇偶性.如果塞入1枚1分的硬币,那么Q暂时减少1,但我们取回了1枚1角的硬币(和1枚5分的硬币),所以总数Q没有变化;如果再塞入1枚5分的硬币(得到4枚1角硬币),那么Q增加4,而其奇偶性不变;如果塞入1枚1角硬币,那么Q增加2,其奇偶性也不变.所以每使用一次机器,Q的奇偶性不变,因为开始时Q为奇数,它将一直保持为奇数.这样,我们就不可能得到1分硬币的枚数刚好比1角硬币数少 10的情况,因为如果我们有P枚
5、1分硬币和(P+10)枚1角硬币,那么1分和1角硬币的总枚数为(2P+10),这是一个偶数.矛盾.例 4在33的方格表中已如右图填入了9个质数.将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作.问:你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗?为什么?解:因为表中9个质数之和恰为100,被3除余1,经过每一次操作,总和增加3的倍数,所以表中9个数之和除以3总是余1.如果表中9个数变为相等,那么9个数的总和应能被3整除,这就得出矛盾!所以,无论经过多少次操作,表中的数都不会变为9个相同的数.五、构造法构造法是一种重要的数学方法,它灵活多样,数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、
6、特殊性质的整数或整数的组合来解决.例5 9999和99!能否表示成为99个连续的奇自然数之和?解:9999能.因为9999等于99个9998之和,所以可以直接构造如下:9999=(9998-98)+(9998-96)+(9998-2)+9998+(9998+2)+(9998+96)+(9998+98).99!不能.因为99!为偶数,而99个奇数之和为奇数,所以99!不能表示为99个连续奇数之和.说明:利用构造法证明存在性问题,只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行.例6 从1,2,3,999这999个数中,要求划去尽量少的数,使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积.应划去哪些数?解:
7、我们可划去2,3,30,31这30个数,因为划去了上述这30个数之后,余下的数中,除1以外的任何两个数之积将大于322=1024999.另一方面,可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数.(2,61,261),(3,60,360),(4,59,459),,(30,33,3033),(31,32,3132).上面写出的这些数都是互不相同的,并且这些数中的最大数为 3132=992.如果划去的数少于30个,那么上述三元数组至少剩下一个,这样就不满足题设条件.所以,30是最少的个数.六、配对法配对的形式是多样的,有数字的凑整配对,也有集合间元素与元素的配对(可用于计数).传说高斯8岁时求和(1+2
8、+100)首创了配对.像高斯那样,善于使用配对技巧,常常能使一些表面上看来很麻烦,甚至很棘手的问题迎刃而解.例7 求1,2,3,9999998,9999999这9999999个数中所有数码的和.解:在这些数前面添一个数0,并不影响所有数码的和.将这1000万个数两两配对,因为0与9999999,1与9999998,4999999与5000000各对的数码和都是97=63.这里共有5000000对,故所有数码的和是635000000=315000000.例8 某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号.若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称
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