高考湖北文科数学试题及答案word解析版.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2013年湖北，文1，5分】已知全集，集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】，故选B．
（2）【2013年湖北，文2，5分】已知，则双曲线：与：的（ ）
（A）实轴长相等 （B）虚轴长相等 （C）离心率相等 （D）焦距相等
【答案】D
【解析】在双曲线：与：中，都有，即焦距相等，故选D．
（3）【2013年湖北，文3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
（A）∨ （B）∨ （C）∧ （D）∨
【答案】A
【解析】因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则是“没有降落在指定范围”，是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为∨，故选A．
（4）【2013年湖北，文4，5分】四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y与x负相关且；② y与x负相关且；
③ y与x正相关且；④ y与x正相关且．其中一定不正确的结论的序
号是（ ）
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
【答案】D
【解析】在①中，y与x不是负相关；①一定不正确；同理④也一定不正确，故选D．
（5）【2013年湖北，文5，5分】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）

（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x轴的一条线段，由此可以排除D；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B，故选C．
（6）【2013年湖北，文6，5分】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】因为可化为（x∈R），将它向左平移个单位得，其图像关于轴对称，故选B．
（7）【2013年湖北，文7，5分】已知点、、、，则向量在方向上的投
影为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】，，则向量在向量方向上的射影为
，故选A．
（8）【2013年湖北，文8，5分】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（ ）
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）增函数 （D）周期函数
【答案】D
【解析】函数表示实数x的小数部分，有，
所以函数是以1为周期的周期函数，故选D．
（9）【2013年湖北，文9，5分】某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆．则租金最少为（ ）
（A）31200元 （B）36000元 （C）36800元 （D）38400元
【答案】C
【解析】根据已知，设需要A型车x辆，B型车y辆，则根据题设，有，
画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为，，，目标函数
（租金）为，如图所示．将点B的坐标代入其中，即得租金的最小值为：
（元），故选C．
（10）【2013年湖北，文10，5分】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】，由由两个极值点，得有两个不等的实数解，即有两个实数解，从而直线与曲线有两个交点． 过点作的切线，设切点为，则切线的斜率，切线方程为． 切点在切线上，则，又切点在曲线上，则，即切点为．切线方程为． 再由直线与曲线有两个交点，知直线位于两直线和之间，如图所示，其斜率满足：，解得，故选B．
二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（11）【2013年湖北，文11，5分】为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 ．
【答案】
【解析】复数在复平面内的对应点，它关于原点的对称点为，所对应的复数为．
（12）【2013年湖北，文12，5分】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（1）平均命中环数为 ；（2）命中环数的标准差为 ．
【答案】（1）7；（2）2
【解析】（1）；
（2）．
（13）【2013年湖北，文13，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的值为2，则输出的结果 ．
【答案】4
【解析】初始值，第一次执行程序，得，因为不成立，
则第二次执行程序，得，还是不成立，第三次执行程序，
得，仍是不成立，第四次执行程序，得，，有成立，输出．
（14）【2013年湖北，文14，5分】已知圆：，直线：（）．设
圆上 到直线的距离等于1的点的个数为，则_________．
【答案】4
【解析】这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线的距离为，所以圆上到直线的距离等于1的点有4个，如图A、B、C、D所示．
（15）【2013年湖北，文15，5分】在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 ．
【答案】3
【解析】因为区间的长度为6，不等式的解区间为[-m，m] ，其区间长度为2m． 那么在区间
上随机地取一个数x，要使x满足的概率为，m将区间分为和[m，4]，且两区间
的长度比为5:1，所以．
（16）【2013年湖北，文16，5分】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水． 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸． 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
【答案】3
【解析】如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为（立
方寸），盆口面积S=196π（平方寸），所以，平地降雨量为（寸）．
（17）【2013年湖北，文17，5分】在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点． 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形． 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为． 例如图中△是格点三角形，对应的，，．（1）图中格点四边形DEFG对应的分别是 ；（2）已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数． 若某格点多边形对应的，， 则 （用数值作答）．
【答案】（1）3, 1, 6；（2）79
【解析】（1）S=S△DFG+S△DEF=1+2=3 ，N=1，L=6．
（2）根据题设△是格点三角形，对应的，，，有 ①
由（1）有 ② 再由格点中，S=2，N=0，L=6，得 ③
联立①②③，解得所以当，时，．
三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（18）【2013年湖北，文18，12分】在△中，角，，对应的边分别是，，． 已知．
（1）求角A的大小；
（2）若△的面积，，求的值．
解：（1）由，得，即，
解得或（舍去）．因为，所以．
（2）由得． 又，知．
由余弦定理得故．
又由正弦定理得．
（19）【2013年湖北，文19，13分】已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．
解：（1）设数列的公比为，则，．由题意得，即， 　
解得，故数列的通项公式为．
（2）由（1）有．若存在，使得，则，即
当为偶数时，， 上式不成立；当为奇数时，，即，则．
综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为．
（20）【2013年湖北，文20，13分】如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且． 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．
（1）证明：中截面是梯形；
（2）在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为． 在估测三角形区域内
正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式
来估算．已知，试判断与V的大小关系，并加以证明．
解：（1）依题意平面，平面，平面，所以A1A2∥B1B2∥C1C2．又， ，，且．因此四边形、均是梯形．由∥平面，平面，且平面平面，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．又、分别为、的中点，则、、、分别为、、、 的中点，即、分别为梯形、的中位线．
因此 ，，
而，故，所以中截面是梯形．
（2）． 证明如下：
由平面，平面，可得．而EM∥A1A2，所以，同理可得
．由是△的中位线，可得即为梯形的高，
因此，即．
又，所以．
于是．
由，得，，故．
（21）【2013年湖北，文21，13分】设，，已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，称为、关于的加权平均数．
（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；
（ii）、的几何平均数记为G． 称为、的调和平均数，记为H． 若，求
的取值范围．
解：（1）的定义域为，．
当时，，函数在，上单调递增；
当时，，函数在，上单调递减．
（2）（i），，．故，
即．① 所以成等比数列．
因，即． 由①得．
（ii）由（i）知，．故由，得．② 当时，
．这时，的取值范围为；当时，，从而，
由在上单调递增与②式，得，即的取值范围为；当时，，
从而，由在上单调递减与②式，得，即的取值范围为．
（22）【2013年湖北，文22，14分】如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为
且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的
四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分
别为和．
（1）当直线与轴重合时，若，求的值；
（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．
解：依题意可设椭圆和的方程分别为：，：． 其中，
（1）解法一：
如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则
，，所以．
在C1和C2的方程中分别令，可得，，，
于是．若，则，化简得． 由，
可解得．故当直线与轴重合时，若，则．
解法二：
如图1，若直线与轴重合，则，；
，．所以．
若，则，化简得． 由，可解得．
故当直线与轴重合时，若，则．
（2）解法一：
如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得． 根据对称性，
不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，，
则因为，，所以．
又，，所以，即．
由对称性可知，所以，，
于是．① 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，．
根据对称性可知，，于是． ②
从而由①和②式可得．③令，则由，可得，于是由③可解
得．因为，所以． 于是③式关于有解，当且仅当，
等价于． 由，可解得，即，由，解得，
所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标
轴不重合的直线l使得．
解法二：
如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得． 根据对称性，不妨设直线：，
点，到直线的距离分别为，，则因为，，所以． 又，，所以．
因为，所以．由点，分别在C1，
C2上，可得，，两式相减可得，
依题意，所以． 所以由上式解得．
因为，所以由，可解得．从而，解得，
所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；
当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得．
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