趣味数学题.doc
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1、1、如图所示, EFC为等边三角形, E、F在正方形ABCD的边上. 试证明, 绿色部分面积等于红色面积与蓝色面积之和.【分析】:BCF的面积=CDE的面积,且AE=AF,设BC=1,AF=x,则,左边就是AEF的面积,右边就是BCF的面积+CDE的面积2、三只外观完全一样的盒子, 一只装有两枚金币, 一只装有两枚银币, 一只装有一金币一银币. 现随机打开一盒, 再闭眼随机摸出一枚钱币, 结果为金. 问打开的是装了两枚金币的那只盒子的概率是多少?3、将整数 1至 8填入如图所示的八个方格中, 令差为 1的两个数不相邻 (“不相邻”指所在方格既无公共边, 亦无公共点), 有几种排法? 4、边长为
2、 1的正方形 ABCD内, 动点 P从 AB上一点 E出发, 沿直线向 BC上一点 F运动, 每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角. 问在何种条件下, P才能返回出发点 E? 5、观察 (1)的正整数幂: (1)2= (1)3=是否 (1)的所有正整数幂都可以表示为两个相邻正整数的平方根之差? 6、看看下面的两幅图. 右边多出的两个红格子是怎么冒出来的呢? 7、中世纪的欧洲, 两名少女被指控“勾结恶魔”. 她们将被关入不同的密室内, 每分钟抛出一枚硬币, 并猜测另一人所抛的硬币何面朝上. 60次猜测中, 只要有一次两人皆猜对, 便会作为“勾结恶魔”的铁证, 将她们送上火刑架.所幸,
3、 少女们冰雪聪明, 很快就想出了逃出生天的方法. 你能想到她们采用的策略吗? 8、(i) 甲的表快了 10分钟但他以为表慢了 5分钟;(ii) 乙的表慢了 5分钟但他以为快了 10分钟;(iii) 丙的表快了 5分钟但他以为快了 3分钟;(iv) 丁的表慢了 10分钟但他以为慢了 5分钟.用他们的表, 每一人都相信恰好能赶上下午 6时的火车. 谁误了火车? 9、一正多边形内接于一单位圆. 连结多边形各端点, 形成的所有不等长的弦如下图黑线所示. 请问, 所有这些弦的平方和 S, 与多边形的边数 N存在何种关系? 10、科学计算器的除法键坏了! 我该怎样用 sin,cos,tan,sin1,co
4、s1,tan1来计算 呢? 11、黑板上有 2005个数, 分别是 1,1/2,1/3,1/4,1/2005. 每次操作允许从黑板上擦去任意 a,b两数, 写上新数 ab+a+b, 经过 2004次操作后, 剩下一个数, 求这个数. 12、某国所有的道路都是单行道, 每两座城市之间有且仅有一条道路相连. 问该国是否存在这么一座城市, 从国内任意其他城市出发, 最多只经过另外一座城市中转即可抵达它? 13、(1) 2012可否写成两个整数的平方差?(2) 本世纪的所有年份数字, 是否都可以写成两个整数的平方差? 14、已知正方形 ABCD, 只用一根直尺, 能否作出面积为 ABCD两倍的正方形?
5、注: 直尺只能用来作连结两点的直线, 尺上面没有刻度, 也不能做标记. 15、五名科学家合作一项机密研究, 研究材料被锁在保险箱里. 当且仅当超过一半成员在场时, 保险箱才能被打开. 为此, 保险箱被上了多把不同的锁, 其钥匙被分配给每名科学家. (同一把锁可以有多把钥匙, 一把钥匙只能开一把锁) 问至少需要几把锁? 每人至少要分几把钥匙? 16、甲、乙、丙、丁和戊玩一种游戏, 其中每个人充当狼或羊. 狼说的总是假的而羊说的总是真的.甲说乙是羊;丙说丁是狼;戊说甲不是狼;乙说丙不是羊;丁说戊和甲是不同的动物.请问有几只狼? 17、很多整数都能用由三个 2组成的算式表达, 譬如:4=,231=,
6、 26=(2+2)!+2问最小的不能用三个 2表达的正整数是什么?注: 为明确起见, 本题可用的运算仅限加、减、乘、除、乘方、开根、阶乘、对数、排列数和组合数. 18、一列长 200m的火车沿长直轨道匀速前进. 车厢里, 一只闲的发慌的蜜蜂自车尾起飞, 飞向车头, 抵达后立即飞回车尾 (车内视角全程匀速). 当蜜蜂回到车尾时, 火车恰好行驶了等同于自身长度的距离. 以地面为参照物, 这只蜜蜂总共的飞行路程是多少? 19、“若 x, y均为无理数, 则 xy一定为无理数”是真命题吗? 请作出证明. 20、某相亲节目, 男嘉宾要从n名女嘉宾中挑选一位. 女嘉宾们依次登场, 每次面见一人. 若决定不
7、予选择, 之后便不可再反悔. 一旦选定, 无论还剩几人未登场, 均终止选择程序. 当n=5时, 问采取何种策略, 才能使选到最靓女嘉宾的可能性达到最大?21、一列长 200m的火车沿长直轨道匀速前进. 火车外面, 一只闲的发慌的蜜蜂自车尾起飞, 飞向车头, 抵达后立即飞回车尾 (全程匀速). 当蜜蜂回到车尾时, 火车恰好行驶了等同于自身长度的距离. 问这只蜜蜂总共的飞行路程是多少? 22、数学老师和班主任打赌, 班上的 50名同学中, 至少有两个同学生日相同. 输家要请对方吃大餐, 班主任信心满满准备痛宰对方一顿, 毕竟一年 365天, 自己赢面居多. 事实真的像他所想的那样吗?下结论之前,
8、不妨先点击下面的图片, 做个小游戏, 亲手来试试概率大概是多少. 23、一次考试有200名学生参加, 分数是1到100的自然数. 这200人的总成绩是 10101分. 问: 至少有几名同学会得到同一个分数? 24、话说月老是个马大哈, 闭着眼睛将红绳乱拴一气, 到头来不知多少痴男怨女被错配鸳鸯, 有情无缘. 只不知道他老人家糊涂到什么程度, 哪怕只拴对了一对儿也好嘛. 问: 五对注定姻缘的男女, 连一对儿都拴不对的可能性有多大? 25、美国总统选举的年份为 4的倍数, 日期为 11月首个星期一的的翌日. 而墨尔本杯则于每年 11月第一个星期二进行. 已知 1983年墨尔本杯于 11月 1日进行
9、, 问上世纪 (即 1901年至 2000年) 有几次这两事件的日期一致? A. 4 B. 7 C. 25 D. 22 E. 21 26、甲乙丙三人决斗, 每人每次开一枪, 轮流射到只剩一人活着为止. 甲百发百中, 乙命中率为 23, 丙为 13. 为公平起见, 由丙先开枪, 然后是乙 (如果活着), 再甲. 如有人活着再循环. 问: 丙应该先打谁? 如果都采用最佳策略, 各人的存活率是多少? 27、一个 77的棋盘的 2个方格填黄色, 其余的方格填绿色. 如果一种填色法可从另一种填色法经过在棋盘的平面中的旋转而得到, 那么这两种填色法视作同一种. 有多少种不同的填色法? 28、一位店主收到以
10、下的账单: 22盒磁带: 29.3元其中首尾两个数字弄脏了无法辨认. 店主知道, 每一磁带价格在 25元以上. 问每盒磁带的单价 (以元计) 是在以下哪两者之间? A. 25和 28 B.28和 32 C. 32和 35 D.35和 40 29、如图所示的白色正八角星, 被 8个边长为 1的小正方形 (深灰色部分) 和 8个“风筝形”(浅灰色部分) 包围, 求每个“风筝形”的面积. 30、300名学生排成一列依次报数, 令报数为 2的倍数的同学转向身后, 然后令报数为 3的倍数的同学转向身后, 再令报数为 5的倍数的同学转向身后. 问最后正面朝前的学生共多少名? 31、如图所示的“迷宫”, 要
11、从入口走到出口, 一共有几种走法?(规则: 只准水平或竖直移动, 已经走过的方格不能重新经过) A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 E. 6 32、另类的时钟问题: 一只劣质钟, 分针和时针长短一样. 问在正午到凌晨的十二小时之内, 有多少个时间无法通过这只钟来判断? (即, 两个不同的时间, 对应指针形状完全一致, 则这两个时间均无法辨识.) 33、时钟的时分秒三针,每天重合多少次? (注: 三根指针均非作连续性旋转, 即只能转动到有刻度的位置) A. 2 B. 12 C. 22 D. 23 E.24 34、使用只包含数字 4的算式 (譬如 44+44), 你能计算出 2012吗?
12、 规则: 你可以使用加、减、乘、除、乘方、开根和阶乘运算. 你可以使用任何由 4组成的数, 譬如 44.44. 你可以使用括号.35、你那唠叨的老妈一直教育你珍爱生命, 远离赌博, 但现在已经太迟了! 你一辈子的宿敌已经找上了你, 打算和你进行一场人生的豪赌.赌具: 做工精良的左轮手枪一支, 弹容量六发, 不过现在里面只装了一枚子弹, 并且只有上帝知道这枚子弹装在哪个弹仓里.规则: 把枪管对准赌友的脑门, 扣下扳机。若目标幸运地或者说不幸地逃得一条性命, 则换他开枪. 备注: 每次开枪前, 都要重新转动弹仓. 即是说, 每回扣动扳机, 对手升天的几率均为六分之一.你的宿敌自信满满, 大方地让你
13、来决定谁先打响第一枪. 但他的数学似乎有点糟糕.这家伙并未意识到, 先手抑或后手, 存活的几率并非相等. 请问, 你该做出怎样的选择呢? 36、【男孩的概率】已知一对夫妇生了两个孩子, 并且其中有一个男孩. 那么, 两个孩子都是男孩的概率是多少? 37、【女儿的年龄】话说有一位父亲和他的朋友有如下对话:父亲说:“我有三个女儿, 三个女儿的年龄相乘等于72, 算算我的三个女儿的年龄多大?”“嗨, 你给出的条件不足, 根本算不出来!”朋友说. “噢, 我忘了, 我的三个女儿的年龄之和同我家的门牌号码一样.”这位父亲往身后的门牌指了指. “嗯, 让我算一算.”朋友说:“还不对, 你给的条件仍不足.”
14、“那你还想要知道什么条件?”父亲问. “前两个孩子同年吗?”朋友问. “不是.”父亲回答. “哈, 这下我知道了.”朋友高兴地说. 那么, 他的三个女儿年龄各为多少呢?(注:此题中的年龄均为整数) 38、【连续整数之和】什么样的数字, 可以被写成 n (n2) 个连续正整数的和?(譬如 3=1+2, 9=2+3+4). 39、【神奇的数学归纳法】太神奇啦!通过数学归纳法竟然能证明,随便取n个数,它们一定都相等.看看下面的证明, 是不是有一种世界观被颠覆的感觉呢? 别急着晕, 来挑挑错吧.“随便取 n个数, 它们都相等”, 在 n=1时, 显然成立.假设其对于 n=k成立.当 n=k+1时, 任
15、意取出其中一个数 a, 则剩下的 k个数都是相等的.把 a放回, 任意取出另外一个数 b, 则剩下的 k个数也都是相等的.那么, 必然可以在除 a,b外的数里找到一个数 c, 它即等于 a, 也等于 b.因此 a=b.故这 k+1个数均相等.由数学归纳法, 该结论对任意正整数 n均成立. 40、x3+3xy+y3=1在平面直角坐标系上的图像是什么样子的? 41、【选猫】小王同学在期末考试里遇到了这么一道填空题:甲家母猫生了八只小猫, 五公三母. 甲要从中选两只性别相同的送给朋友乙. 他打算先随机挑一只, 看看是公是母, 接着从剩下的与其同性别的小猫中再随机挑一只, 凑齐一对. 问乙收到两只母猫
16、的概率是多少?“故弄玄虚!只要第一只选了母猫, 第二只肯定也是母的, 答案不就是 38嘛!”冰雪聪明的小王如是想道.早早做完卷子, 小王闲着无聊, 开始一遍遍复查试卷. 看到“选猫题”的时候, 她突发奇想, 把所有的可能性列了出来.“设母猫为A、B、C, 公猫为D、E、F、G、H. 所有可能的有序组合就是AB、AC、BA、BC、CA、CB、DE、DF、DG、DH、ED、EF、EG、EH、FD、FE、FG、FH、GD、GE、GF、GH、HD、HE、HF、HG, 一共 26种. 其中两只母猫的情况有 AB、AC、BA、BC、CA、CB 一6种, 那么概率就应该是626啊?”小王一下子晕乎了. 如果
17、多点时间, 她没准能理清头绪, 搞懂为啥算出了两个不一样的结果. 可现在距离考试结束只剩下十秒钟!收卷老师的步伐越来越近,小王到底该作何抉择呢? 是保留原答案 38, 还是换上 313?倒计时开始, 10, 9, 8 42、小明外出旅游, 把手机搞丢了! 经济上的损失还在其次, 通信录没了才叫麻烦. 朋友, 同事, 客户, 一想到这些丢失的资料, 小明就头大如斗而更加令人抓狂的是, 依赖手机的他, 连自家的电话都记不得了!得赶快想起号码才行, 小明寻思道. 他依稀有印象, 自己曾经和老婆开玩笑, 家里的电话号码两次升位后正好是原来的八十一倍, 九九八十一, 大吉大利云云. 他又上网查了查, 得
18、知自家所在城市的号码原先为六位, 第一次升位是在首位和第二位之间加上 $8$, 第二次升位是在首位前加上 $2$.凭着这些信息, 小明成功算出了家里的电话, 给家人报了平安.“回去后看望一下数学老师吧.”挂下听筒后, 小明这样想道.聪明的你, 能不能算出小明家现在的电话号码呢? 43、【这是一道经典的“找零钱”问题. 题中的顾客, 有时买的是酒, 有时买的是房, 有时买的是棉花糖如今时值端午, 便让他们来买买粽子好了.】三人结伴去买粽子, 共花掉 30块钱. 不过端午节粽子减价, 店老板给了伙计 5元, 叫他退回给顾客. 伙计一时贪心, 私吞了 2块, 只把剩下的 3元钱还了去.现在问题来了:
19、 三个顾客平均下来每人花了 9元, 加起来就是 27元; 再算上伙计私吞的 2元, 总共 29元. 可三人一开始明明交了 30块钱! 这少掉的一元钱飞到哪里去了呢? 44、【抛物线与尺规作图】如图, 已知 xOy坐标系、二次函数的图像, 以及图像上的一点 P. 怎样用直尺和圆规, 作出该抛物线过 P点的切线呢?尺规作图规则:1、直尺必须没有刻度, 无限长, 且只能使用直尺的固定一侧. 只可以用它来将两个点连在一起, 不可以在上画刻度;2、圆规可以开至无限宽, 但上面亦不能有刻度. 它只可以拉开成之前构造过的长度. 45、【智分扑克牌】你的眼睛被蒙住, 手里抓着一叠共 52张扑克牌, 其中有且仅
20、有 23张正面朝上. 牌被洗过, 你完全不知道正面向上的牌会处在什么位置.在目不视物的情况下, 怎样把这 52张扑克牌整理成两叠, 令每叠中正面朝上的牌的张数都相等?注: 两叠牌的数目可以不一样. 你可以翻转任意张牌, 令原先正面向上的牌变成背面向上, 或相反. 当然, 由于蒙着眼, 你无法判断你的改动造成了何种结果.46、【公交车与概率】小高童鞋找了两个女朋友小白和小梅, 分别住在 A 城区和 B 城区让我们先来谴责一下这种脚踩两条船、且占用宝贵资源的不道德行为, 然后继续看题他住处附近的车站里, 有两条公交车线路分别开往 A、B; 两者的发车频率相等, 均为五分钟一班.每一天, 小高都让运
21、气来决定自己去看望哪位女友. 他会在随机时间抵达车站, 如果 A 公车先到站, 就顺势乘车去 A 城区找小白, 反之则去小梅家玩.时间一长, 小高发现自己去小白家的次数, 竟然约有去小梅家次数的四倍之多. 这是老天爷看不过眼, 给出的暗示? 抑或, 另有玄机呢? 47、【三角数与完全平方数】如果一个数是 1到 n这 n个自然数的和, 则称其为三角数. 如下图所示, T1=1, T2=1+2=3, T3=1+2+3=6 我们注意到, T8=1+2+3+4+5+6+7+8=62, 是一个完全平方数. 这属于个例吗? 如果不是, 既为三角数、亦为完全平方数的数字总共有多少个?48、【蚂蚁爬行】一只蚂
22、蚁在一个立方体的棱上随机地爬行, 当它到达一个顶点时, 以相同的概率选择3个相邻顶点中的一个, 作为下一步的目的地, 然后沿着棱爬过去. 请问这只蚂蚁从立方体对角线的一个顶点爬到另一顶点的期望步数是多少? 49、【真话与假话】山上两条路, 只有一条通往山顶. 路口有甲乙两人, 甲只说真话, 乙只说假话. 在不知道谁是甲、谁是乙的情况下, 只许提问一次, 要怎样问, 才能得知正确的上山路呢?比较流行的一个答案, 是问: “另一个人会告诉我走哪条路?”无论被提问者是谁, 其给出的路就是歧途.现在, 让我们把题目稍作改动: 甲乙两人喝多了水, 有一位去解决生理问题了. 因此, 当登山客来到路口时,
23、只见到一人; 当然, 他可不知道该人是甲是乙. 同样只许提问一次, 这回该怎样问, 才能确保得知通往山顶的路呢? 50、【骨牌与棋盘】童鞋们见过多米诺骨牌吗? 它的形状如下图, 是两个相连的正方形.现有一国际象棋棋盘和 32张多米诺骨牌. 每张骨牌的大小刚好能覆盖棋盘上相邻的两个方格, 于是 32张骨牌就可以覆盖整个棋盘上的 64个方格. 假设我们切掉棋盘对角处的两个方格(如下图), 并去掉一张骨牌. 这时, 能不能把 31张骨牌放在棋盘上, 将余下的 62个方格都盖住呢?如果可以, 说说看怎么做. 如果不可以, 证明为什么不行. 51、【杠杆原理】如图所示, 现有一组相互嵌套的天平挂在天花板
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