趣味数学题.doc

1、如图所示, △EFC为等边三角形, E、F在正方形ABCD的边上. 试证明, 绿色部分面积等于红色面积与蓝色面积之和.

【分析】：∆BCF的面积=∆CDE的面积，且AE=AF,设BC=1,AF=x，则，，左边就是∆AEF的面积，右边就是∆BCF的面积+∆CDE的面积
2、三只外观完全一样的盒子, 一只装有两枚金币, 一只装有两枚银币, 一只装有一金币一银币. 现随机打开一盒, 再闭眼随机摸出一枚钱币, 结果为金. 问打开的是装了两枚金币的那只盒子的概率是多少?

3、将整数 1至 8填入如图所示的八个方格中, 令差为 1的两个数不相邻 (“不相邻”指所在方格既无公共边, 亦无公共点), 有几种排法?

4、边长为 1的正方形 ABCD内, 动点 P从 AB上一点 E出发, 沿直线向 BC上一点 F运动， 每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角. 问在何种条件下, P才能返回出发点 E?

5、观察 (−1)的正整数幂:
(−1)2=−
(−1)3=
是否 (−1)的所有正整数幂都可以表示为两个相邻正整数的平方根之差？

6、看看下面的两幅图. 右边多出的两个红格子是怎么冒出来的呢?

7、中世纪的欧洲, 两名少女被指控“勾结恶魔”. 她们将被关入不同的密室内, 每分钟抛出一枚硬币, 并猜测另一人所抛的硬币何面朝上. 60次猜测中, 只要有一次两人皆猜对, 便会作为“勾结恶魔”的铁证, 将她们送上火刑架.所幸, 少女们冰雪聪明, 很快就想出了逃出生天的方法. 你能想到她们采用的策略吗?

8、(i) 甲的表快了 10分钟但他以为表慢了 5分钟;
(ii) 乙的表慢了 5分钟但他以为快了 10分钟;
(iii) 丙的表快了 5分钟但他以为快了 3分钟;
(iv) 丁的表慢了 10分钟但他以为慢了 5分钟.
用他们的表, 每一人都相信恰好能赶上下午 6时的火车. 谁误了火车?

9、一正多边形内接于一单位圆. 连结多边形各端点, 形成的所有不等长的弦如下图黑线所示. 请问, 所有这些弦的平方和 S, 与多边形的边数 N存在何种关系?

10、科学计算器的除法键坏了！ 我该怎样用 sin,cos,tan,sin−1,cos−1,tan−1来计算 呢?

11、黑板上有 2005个数, 分别是 1,1/2,1/3,1/4,…,1/2005. 每次操作允许从黑板上擦去任意 a,b两数, 写上新数 ab+a+b, 经过 2004次操作后, 剩下一个数, 求这个数.

12、某国所有的道路都是单行道, 每两座城市之间有且仅有一条道路相连. 问该国是否存在这么一座城市, 从国内任意其他城市出发, 最多只经过另外一座城市中转即可抵达它？

13、(1) 2012可否写成两个整数的平方差?
(2) 本世纪的所有年份数字, 是否都可以写成两个整数的平方差?

14、已知正方形 ABCD, 只用一根直尺, 能否作出面积为 ABCD两倍的正方形?
注: 直尺只能用来作连结两点的直线, 尺上面没有刻度, 也不能做标记.

15、五名科学家合作一项机密研究, 研究材料被锁在保险箱里. 当且仅当超过一半成员在场时, 保险箱才能被打开. 为此, 保险箱被上了多把不同的锁, 其钥匙被分配给每名科学家. (同一把锁可以有多把钥匙, 一把钥匙只能开一把锁)
问至少需要几把锁? 每人至少要分几把钥匙?

16、甲、乙、丙、丁和戊玩一种游戏, 其中每个人充当狼或羊. 狼说的总是假的而羊说的总是真的.
甲说乙是羊;
丙说丁是狼;
戊说甲不是狼;
乙说丙不是羊;
丁说戊和甲是不同的动物.
请问有几只狼?

17、很多整数都能用由三个 2组成的算式表达, 譬如:
4=,231=, 26=(2+2)!+2
问最小的不能用三个 2表达的正整数是什么?
注: 为明确起见, 本题可用的运算仅限加、减、乘、除、乘方、开根、阶乘、对数、排列数和组合数.

18、一列长 200m的火车沿长直轨道匀速前进. 车厢里, 一只闲的发慌的蜜蜂自车尾起飞, 飞向车头, 抵达后立即飞回车尾 (车内视角全程匀速). 当蜜蜂回到车尾时, 火车恰好行驶了等同于自身长度的距离. 以地面为参照物, 这只蜜蜂总共的飞行路程是多少？

19、“若 x, y均为无理数, 则 xy一定为无理数”是真命题吗? 请作出证明.

20、某相亲节目, 男嘉宾要从n名女嘉宾中挑选一位. 女嘉宾们依次登场, 每次面见一人. 若决定不予选择, 之后便不可再反悔. 一旦选定, 无论还剩几人未登场, 均终止选择程序. 当n=5时, 问采取何种策略, 才能使选到最靓女嘉宾的可能性达到最大?

21、一列长 200m的火车沿长直轨道匀速前进. 火车外面, 一只闲的发慌的蜜蜂自车尾起飞, 飞向车头, 抵达后立即飞回车尾 (全程匀速). 当蜜蜂回到车尾时, 火车恰好行驶了等同于自身长度的距离. 问这只蜜蜂总共的飞行路程是多少？

22、数学老师和班主任打赌, 班上的 50名同学中, 至少有两个同学生日相同. 输家要请对方吃大餐, 班主任信心满满准备痛宰对方一顿, 毕竟一年 365天, 自己赢面居多. 事实真的像他所想的那样吗？
下结论之前, 不妨先点击下面的图片, 做个小游戏, 亲手来试试概率大概是多少.

23、一次考试有200名学生参加, 分数是1到100的自然数. 这200人的总成绩是 10101分. 问: 至少有几名同学会得到同一个分数?

24、话说月老是个马大哈, 闭着眼睛将红绳乱拴一气, 到头来不知多少痴男怨女被错配鸳鸯, 有情无缘. 只不知道他老人家糊涂到什么程度, 哪怕只拴对了一对儿也好嘛. 问: 五对注定姻缘的男女, 连一对儿都拴不对的可能性有多大?

25、美国总统选举的年份为 4的倍数, 日期为 11月首个星期一的的翌日. 而墨尔本杯则于每年 11月第一个星期二进行. 已知 1983年墨尔本杯于 11月 1日进行, 问上世纪 (即 1901年至 2000年) 有几次这两事件的日期一致?

A. 4 B. 7 C. 25 D. 22 E. 21
26、甲乙丙三人决斗, 每人每次开一枪, 轮流射到只剩一人活着为止. 甲百发百中, 乙命中率为 23, 丙为 13. 为公平起见, 由丙先开枪, 然后是乙 (如果活着), 再甲. 如有人活着再循环. 问: 丙应该先打谁? 如果都采用最佳策略, 各人的存活率是多少?

27、一个 7×7的棋盘的 2个方格填黄色, 其余的方格填绿色. 如果一种填色法可从另一种填色法经过在棋盘的平面中的旋转而得到, 那么这两种填色法视作同一种. 有多少种不同的填色法?

28、一位店主收到以下的账单:
22盒磁带: ■29.3■元
其中首尾两个数字弄脏了无法辨认. 店主知道, 每一磁带价格在 25元以上. 问每盒磁带的单价 (以元计) 是在以下哪两者之间?

A. 25和 28 B.28和 32 C. 32和 35 D.35和 40
29、如图所示的白色正八角星, 被 8个边长为 1的小正方形 (深灰色部分) 和 8个“风筝形”(浅灰色部分) 包围, 求每个“风筝形”的面积.

30、300名学生排成一列依次报数, 令报数为 2的倍数的同学转向身后, 然后令报数为 3的倍数的同学转向身后, 再令报数为 5的倍数的同学转向身后. 问最后正面朝前的学生共多少名?

31、如图所示的“迷宫”, 要从入口走到出口, 一共有几种走法?
(规则: 只准水平或竖直移动, 已经走过的方格不能重新经过)

A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 E. 6
32、另类的时钟问题: 一只劣质钟, 分针和时针长短一样. 问在正午到凌晨的十二小时之内, 有多少个时间无法通过这只钟来判断? (即, 两个不同的时间, 对应指针形状完全一致, 则这两个时间均无法辨识.)

33、时钟的时分秒三针，每天重合多少次? (注: 三根指针均非作连续性旋转, 即只能转动到有刻度的位置)

A. 2 B. 12 C. 22 D. 23 E.24
34、使用只包含数字 4的算式 (譬如 44+44), 你能计算出 2012吗?
规则:
　① 你可以使用加、减、乘、除、乘方、开根和阶乘运算.
　② 你可以使用任何由 4组成的数, 譬如 44.44.
　③ 你可以使用括号.

35、你那唠叨的老妈一直教育你珍爱生命, 远离赌博, 但现在已经太迟了! 你一辈子的宿敌已经找上了你, 打算和你进行一场人生的豪赌.
　赌具: 做工精良的左轮手枪一支, 弹容量六发, 不过现在里面只装了一枚子弹, 并且只有上帝知道这枚子弹装在哪个弹仓里.
　规则: 把枪管对准赌友的脑门, 扣下扳机。若目标幸运地——或者说不幸地——逃得一条性命, 则换他开枪.
　备注: 每次开枪前, 都要重新转动弹仓. 即是说, 每回扣动扳机, 对手升天的几率均为六分之一.
你的宿敌自信满满, 大方地让你来决定谁先打响第一枪. 但他的数学似乎有点糟糕...这家伙并未意识到, 先手抑或后手, 存活的几率并非相等. 请问, 你该做出怎样的选择呢?

36、【男孩的概率】已知一对夫妇生了两个孩子, 并且其中有一个男孩. 那么, 两个孩子都是男孩的概率是多少?

37、【女儿的年龄】话说有一位父亲和他的朋友有如下对话:
父亲说:“我有三个女儿, 三个女儿的年龄相乘等于72, 算算我的三个女儿的年龄多大?”
“嗨, 你给出的条件不足, 根本算不出来!”朋友说.
“噢, 我忘了, 我的三个女儿的年龄之和同我家的门牌号码一样.”这位父亲往身后的门牌指了指.
“嗯, 让我算一算.”朋友说：“还不对, 你给的条件仍不足.”
“那你还想要知道什么条件?”父亲问.
“前两个孩子同年吗?”朋友问.
“不是.”父亲回答.
“哈, 这下我知道了.”朋友高兴地说.
那么, 他的三个女儿年龄各为多少呢?
(注:　此题中的年龄均为整数)

38、【连续整数之和】什么样的数字, 可以被写成 n (n≥2) 个连续正整数的和?
(譬如 3=1+2, 9=2+3+4).

39、【神奇的数学归纳法】太神奇啦!通过数学归纳法竟然能证明,随便取n个数,它们一定都相等.看看下面的证明, 是不是有一种世界观被颠覆的感觉呢? 别急着晕, 来挑挑错吧.
　　“随便取 n个数, 它们都相等”, 在 n=1时, 显然成立.
　　假设其对于 n=k成立.
　　当 n=k+1时, 任意取出其中一个数 a, 则剩下的 k个数都是相等的.
　　把 a放回, 任意取出另外一个数 b, 则剩下的 k个数也都是相等的.
　　那么, 必然可以在除 a,b外的数里找到一个数 c,
　　它即等于 a, 也等于 b.
　　因此 a=b.
　　故这 k+1个数均相等.
　　由数学归纳法, 该结论对任意正整数 n均成立.

40、x3+3xy+y3=1在平面直角坐标系上的图像是什么样子的?

41、【选猫】小王同学在期末考试里遇到了这么一道填空题:
　甲家母猫生了八只小猫, 五公三母. 甲要从中选两只性别相同的送给朋友乙. 他打算先随机挑一只, 看看是公是母, 接着从剩下的与其同性别的小猫中再随机挑一只, 凑齐一对. 问乙收到两只母猫的概率是多少?
　“故弄玄虚!只要第一只选了母猫, 第二只肯定也是母的, 答案不就是 38嘛!”冰雪聪明的小王如是想道.
　早早做完卷子, 小王闲着无聊, 开始一遍遍复查试卷. 看到“选猫题”的时候, 她突发奇想, 把所有的可能性列了出来.
　“设母猫为A、B、C, 公猫为D、E、F、G、H. 所有可能的有序组合就是AB、AC、BA、BC、CA、CB、DE、DF、DG、DH、ED、EF、EG、EH、FD、FE、FG、FH、GD、GE、GF、GH、HD、HE、HF、HG, 一共 26种. 其中两只母猫的情况有 AB、AC、BA、BC、CA、CB 一6种, 那么概率就应该是626……啊？？？”
小王一下子晕乎了. 如果多点时间, 她没准能理清头绪, 搞懂为啥算出了两个不一样的结果. 可现在距离考试结束只剩下十秒钟!
　收卷老师的步伐越来越近，小王到底该作何抉择呢? 是保留原答案 38, 还是换上 313?
　倒计时开始, 10, 9, 8 ……

42、小明外出旅游, 把手机搞丢了!
　经济上的损失还在其次, 通信录没了才叫麻烦. 朋友, 同事, 客户, 一想到这些丢失的资料, 小明就头大如斗……而更加令人抓狂的是, 依赖手机的他, 连自家的电话都记不得了！
　得赶快想起号码才行, 小明寻思道. 他依稀有印象, 自己曾经和老婆开玩笑, 家里的电话号码两次升位后正好是原来的八十一倍, 九九八十一, 大吉大利云云. 他又上网查了查, 得知自家所在城市的号码原先为六位, 第一次升位是在首位和第二位之间加上 $8$, 第二次升位是在首位前加上 $2$.
　凭着这些信息, 小明成功算出了家里的电话, 给家人报了平安.
　“回去后看望一下数学老师吧.”挂下听筒后, 小明这样想道.
　聪明的你, 能不能算出小明家现在的电话号码呢?

43、【这是一道经典的“找零钱”问题. 题中的顾客, 有时买的是酒, 有时买的是房, 有时买的是棉花糖……如今时值端午, 便让他们来买买粽子好了.】
　三人结伴去买粽子, 共花掉 30块钱. 不过端午节粽子减价, 店老板给了伙计 5元, 叫他退回给顾客. 伙计一时贪心, 私吞了 2块, 只把剩下的 3元钱还了去.
　现在问题来了: 三个顾客平均下来每人花了 9元, 加起来就是 27元; 再算上伙计私吞的 2元, 总共 29元. 可三人一开始明明交了 30块钱! 这少掉的一元钱飞到哪里去了呢?

44、【抛物线与尺规作图】如图, 已知 xOy坐标系、二次函数的图像, 以及图像上的一点 P. 怎样用直尺和圆规, 作出该抛物线过 P点的切线呢?
尺规作图规则:
1、直尺必须没有刻度, 无限长, 且只能使用直尺的固定一侧. 只可以用它来将两个点连在一起, 不可以在上画刻度;
2、圆规可以开至无限宽, 但上面亦不能有刻度. 它只可以拉开成之前构造过的长度.

45、【智分扑克牌】
你的眼睛被蒙住, 手里抓着一叠共 52张扑克牌, 其中有且仅有 23张正面朝上. 牌被洗过, 你完全不知道正面向上的牌会处在什么位置.
在目不视物的情况下, 怎样把这 52张扑克牌整理成两叠, 令每叠中正面朝上的牌的张数都相等?
注:
① 两叠牌的数目可以不一样.
② 你可以翻转任意张牌, 令原先正面向上的牌变成背面向上, 或相反. 当然, 由于蒙着眼, 你无法判断你的改动造成了何种结果.

46、【公交车与概率】小高童鞋找了两个女朋友小白和小梅, 分别住在 A 城区和 B 城区——让我们先来谴责一下这种脚踩两条船、且占用宝贵资源的不道德行为, 然后继续看题——他住处附近的车站里, 有两条公交车线路分别开往 A、B; 两者的发车频率相等, 均为五分钟一班.
　每一天, 小高都让运气来决定自己去看望哪位女友. 他会在随机时间抵达车站, 如果 A 公车先到站, 就顺势乘车去 A 城区找小白, 反之则去小梅家玩.
　时间一长, 小高发现自己去小白家的次数, 竟然约有去小梅家次数的四倍之多. 这是老天爷看不过眼, 给出的暗示? 抑或, 另有玄机呢?

47、【三角数与完全平方数】如果一个数是 1到 n这 n个自然数的和, 则称其为三角数.
如下图所示, T1=1, T2=1+2=3, T3=1+2+3=6

我们注意到, T8=1+2+3+4+5+6+7+8=62, 是一个完全平方数.
这属于个例吗? 如果不是, 既为三角数、亦为完全平方数的数字总共有多少个?

48、【蚂蚁爬行】一只蚂蚁在一个立方体的棱上随机地爬行, 当它到达一个顶点时, 以相同的概率选择3个相邻顶点中的一个, 作为下一步的目的地, 然后沿着棱爬过去. 请问这只蚂蚁从立方体对角线的一个顶点爬到另一顶点的期望步数是多少？

49、【真话与假话】山上两条路, 只有一条通往山顶. 路口有甲乙两人, 甲只说真话, 乙只说假话. 在不知道谁是甲、谁是乙的情况下, 只许提问一次, 要怎样问, 才能得知正确的上山路呢?
　比较流行的一个答案, 是问: “另一个人会告诉我走哪条路?”无论被提问者是谁, 其给出的路就是歧途.
　现在, 让我们把题目稍作改动: 甲乙两人喝多了水, 有一位去解决生理问题了. 因此, 当登山客来到路口时, 只见到一人; 当然, 他可不知道该人是甲是乙. 同样只许提问一次, 这回该怎样问, 才能确保得知通往山顶的路呢? 　

50、【骨牌与棋盘】童鞋们见过多米诺骨牌吗? 它的形状如下图, 是两个相连的正方形.

现有一国际象棋棋盘和 32张多米诺骨牌. 每张骨牌的大小刚好能覆盖棋盘上相邻的两个方格, 于是 32张骨牌就可以覆盖整个棋盘上的 64个方格. 假设我们切掉棋盘对角处的两个方格(如下图), 并去掉一张骨牌. 这时, 能不能把 31张骨牌放在棋盘上, 将余下的 62个方格都盖住呢？如果可以, 说说看怎么做. 如果不可以, 证明为什么不行.

51、【杠杆原理】如图所示, 现有一组相互嵌套的天平挂在天花板上, 其下方的不同位置分散有7个挂钩. 若欲将下面7个质量不等的砝码挂在天平上使其平衡, 该怎样分配这些砝码呢?
(已知: 每条秤杆上的刻度等长, 并且天平和挂钩的重量忽略不计.)

52、【填数游戏】将正整数 1,2,3,…,16放入连成一串的 16个盒子里. 要求一个盒子里只能放一个数, 每个数仅仅出现一次, 并且任意相邻两数之和都是一个完全平方数. 你能找出所有放置方法吗?

53.【玩具残疾兵】某熊孩子有 100位饱经摧残的玩具士兵, 其中有 85人没了左腿, 80人丢了右腿, 75人失去了左手臂, 70人失去了右手臂. 请问最少有多少玩具兵的四肢同时失去？

54.【两只蚂蚁】如图, 一直径为 5 cm的圆柱形杯子上有两只蚂蚁, 它们位于杯子相对的两边, 低于杯沿 5 cm. 若它们都在杯子的外侧, 则其中一只欲与另一原地等待的同类相会, 最短要爬多少距离？ 如果一只蚂蚁在杯子内侧, 另外一只在杯子外侧, 最短距离又是多少呢？

55.【贴错的标签】三只箱子, 一只装有两只黑球, 一只装有两只白球, 第三只则装有一黑球和一白球. 箱上贴有标签：黑黑、白白、黑白. 现在有人动了标签, 每只箱子上的标签都错了. 若每次只能从任意一箱内取出一只球, 不能往里面看, 欲通过这个过程来确定出所有三只箱子里的球颜色, 最少要取多少次才能办到?

56.【桌面与纸片】一张桌子被 15张不规则的纸完全覆盖, 不同形状的纸可以重叠也可以超出桌面. 试证明可以移除某 5张纸, 使得剩下的 10张纸无需移位, 即可覆盖桌面不小于 2/3的面积.

57.【夫妻过河】三对夫妻要渡一条河, 只有一条人力船可用, 且每次只能载两人. 三个老公都是妻管严, 他们不敢和除各自老婆外的女士呆在一起, 无论身边有几男几女——除非自家老婆就在一旁监督. 请问, 这些人能够全员抵达河对岸吗？

58.【曲线弯弯绕】下图中奇形怪状的紫色曲线, 实际上是平面内一个扭曲的圈, 且其自身不存在交点. 它的一部分被一块蓝色的方块遮住了. 一旦方块被移走, 有没有可能在图中画出一条连接两橙点的曲线, 令其不与紫色线相交?

59.【拼图板的位置】将六块拼图板组合成如图所示的形状, 允许翻过面来放置. 若其中的绿色单位正方形板处在标有字母的某个位置上, 则此字母为________。

60.【看数位，算页码】《Tropic of Calculus》是一本大卖过的书. 它的页码从 1开始标注, 为表示所有页码, 一共使用了 2893个数位. 请问这部书一共有多少页？
　(一个页码是几位数, 它就使用了多少个数位. 举例来说, 页码 1024使用的数位为四)

61.【多人分蛋糕】众所周知, 有个很简单的方法, 可以让两个人公平公正、皆大欢喜地瓜分一块蛋糕: 一人切, 另一人挑.
　　那么, 是否存在通用的方法, 让 n人分蛋糕时, 每人都认为自己得到了至少 1n而心满意足呢?

62.【还原竖式】如图所示的竖式除法, 已知商数的百位为 8, 其余数字均由 X代替. 我们能否找到唯一的数据, 使得图中的结构成立呢?

63.【四点六线】如图, 在平面上选择四个点, 两两相连, 得到六条线段. 若四点恰为正方形的四个端点, 则这六条线段只含有两种不同的长度. 请问, 是否还存在其他的四点排布方式, 令形成的六条线段仅具两种长度呢?

64.【墙壁上的瓷砖】下图为墨尔本联邦广场 (Federation Square) 的一面墙, 其表面贴着同一种瓷砖. 瓷砖形为直角三角, 短边长 60 cm, 长边为 120 cm. 请问一共需要多少块这样的瓷砖, 来铺满整面墙壁?

65.【酒水交融】两只杯子, 一只装有一升水, 另一只装有一升酒. 把一毫升水倒进盛酒的杯子, 让水与酒混合均匀. 然后把一毫升混合液倒回盛水的杯子. 现在, 是原先盛酒的杯子里的水多, 还是原先盛水的杯子里的酒多呢?
　　(实际上, 水酒混合液与混合前两种液体的体积之和是不一样的. 不过本题忽略这一微小差异.)

66.【复杂的根式】你能够计算出下面这个按规律无限嵌套的根式吗？

67.【“球形环”的体积】在一个实心球体上钻了个直通中心的 6 厘米长的圆柱型孔洞. 剩余的环形部分的体积是多少?

68.【三块披萨】你有三块匹萨, 直径分别是 15 cm, 20 cm, 25 cm. 如果要求你把这三块匹萨平均地分给 4位顾客, 你会如何分呢？倘若要求三块匹萨被切分的块数尽可能地小, 你又应该怎么去分呢？

69.【数字与手势】请问下图第四个手势表示的数是多少？

70.【“神奇”的六位数】一个三位数连写两遍之后, 变成一个六位数 (如 394变成 394394). 这个六位数可以被 7整除 ( 394394÷7=56342); 得到的商又能被 11整除 ( 56342÷11=5122). 最后用 13去除该数, 所得之结果赫然是刚开始的那个三位数 (5122÷13=394).
看上去似乎很神奇, 你能说出其中蕴含的奥秘吗?

71.【多重正方形】下图中, 紫色的正方形面积为 1, 请问最外面黄色的正方形的面积是多少？

72.【智寻圆心】如图, 地板上被画了一个小圆, 你很想找到它的圆心, 但是手上的工具只有一本书和一支铅笔. 你打算如何找出圆心的位置呢？

73.【数数三角形】请问下面的图形中一共有多少个三角形？

74.【移形换影】六枚硬币放置在一个平面上(如图所示), 试以最少的挪动次数把图形结构变成下右所示的样子. (注: 每一次挪动都要求把一枚硬币换到一个与另外两枚硬币相接触的位置. 滑动时不能碰其他硬币. 所有硬币须始终贴住台面)

75.【酒水交融 ver 2.0】一只烧杯盛有一升水, 另一只盛有一升酒. 两烧杯来回对倒 n毫升液体任意次, 每次对倒后搅拌均匀. 能否在若干次操作后, 令两烧杯内混合溶液的含酒量相等?
　注: 本题忽略液体相融后体积的变化, 且假设液体是无限可分的.

76.【杯中硬币】有十枚硬币和三只杯子, 需要将硬币都放进杯子里, 且要求每只杯子内的硬币数目为奇数, 请问应该如何摆放？

77.【扑克游戏】有两副扑克牌, 每副牌的排列顺序是: 第1张是大王, 第2张是小王, 然后是黑桃、红桃、方块、梅花4种花色排列, 每种花色的牌又按 A,2,3,⋯,J,Q,K的顺序排列. 某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起, 然后从上到下把第1张丢掉, 把第2张放在最底层, 再把第3张丢掉, 把第4张放在最底层……如此下去, 直至最后只剩下1张牌, 则所剩的这张牌是___.

78.【还原竖式 ver 2.0】在下图的减法竖式中, K, A, N, G, R和 O各代表一个不同的数字. 请问,“KAN”代表的三位数最大可能是多少?

79.【系鞋带】一只鞋有六个鞋扣眼. 系鞋带时, 要将这六个点用一条鞋带串起来, 每个眼只准经过一次; 且为了把鞋系牢, 每条线段都要连结左侧和右侧, 如下图所示. 请问有多少种系鞋带的方式？不考虑绳结, 哪一种方式用的鞋带最短？

80.【网格中的正方形】在下图的正方形网格中, 任选四个格点作为顶点, 共能构成几个正方形？若选择三个格点, 又可构成多少个等边三角形呢？

81.【领带打赌】你和你的朋友在争论谁的领带更值钱. 两人都无法说服对方, 最终决定去卖这两条领带的商店看价格来解决争议; 胜者(戴价钱贵的领带的人)要把他的领带送给输家作为安慰.
　你的推理思路是:“在这场争论里我输赢的概率相等. 如果我赢了, 那么我失去的是现在戴的这条领带的价钱. 但如果我输了, 肯定能得到一条更昂贵的领带. 所以,这场赌博显然对我有利.”
　当然, 你朋友也完全可以按照这个思路来推理. 可一次打赌怎么可能对双方都有利呢? 到底是哪里出了问题?

82.【最短上班路线】某城市由 7×7个街区构成, 小王的家和就职公司刚好在两个相对的角落. 请问, 若小王去上班时只可沿着图中灰色街道前行, 则最短路线一共有几条？

83.【看图形，找规律】下图给出了一串按某种规律排布的符号. 请问, 接下来的一个符号会是什么呢？

84.【曲线穿网格】是否存在一条连续的线, 穿过如图所示的封闭网格里的 16条线段, 且线从每条线段上只经过一次?
　注意, 图中所示的曲线并未解决这个问题, 因为有一条线段没有被穿过. 另外, 诸如沿着某条线段画, 或从一条线段的顶点穿过, 或把纸折叠起来等等“花招”, 都是不允许的.

85.【脑门上的纸条】某逻辑学的教授有三名聪明异常的学生. 一天, 教授给他们出了一道题: 他在每个人的脑门上都贴了一张纸条, 并告诉他们, 每张纸条上都写了一个正整数, 且某两数的和等于第三个. 很显然, 学生们均能看见另两个数, 而看不见自己脑门上的数.
　教授问第一个学生, 你能猜出自己的数吗? 回答: 不能; 问第二个, 不能; 第三个, 不能; 回头再问第一个, 不能; 第二个, 不能; 问第三个, 答曰:“能, 是 144!”教授很满意的笑了.
　请问, 你能猜出另外两个人的数吗?

86.【排火柴】如图, 可以使用长度为 1个单位的火柴排成一个十字架, 其面积是 5. 请问, 有没有可能, 用这些火柴排列出面积为 8,4和 π的形状？

87.【面积知多少】下图中正方形的面积为 1, 请问第一个图形中粉红色区域的面积是多少？第二个图形中黄色的区域面积又是多少？

88.【Vampire Hunter】很久很久以前, 有一个吸血鬼, 他的城堡下有四个排成一列的墓室. 为了躲避在附近出没的吸血鬼猎手, 吸血鬼每晚都在不同的墓室入睡; 不过, 由于一个古老的诅咒, 他必须选择与前一夜所睡墓室相邻的墓室安寝.
　猎人清楚地知道这个弱点, 但城堡内机关重重, 她每夜仅能挑选一个墓室作为目标, 再无余力. 请问, 有没有一种策略, 能确保猎人最终逮到吸血鬼, 而非晚晚扑空?
　补充问题: 假如排成一列的墓室数量变成 n个, 你还能找到必胜的策略吗?

89.【红蓝正方体】一个立方体有三面被涂成红色, 另三面被涂成蓝色. 接下来, 它被切成 27块一模一样的小立方体. 在这些小立方体中, 有几个同时包含红色面和蓝色面?

80.【糖果装袋】往二十个袋子里装糖果, 若要求每两只袋子内的糖果个数各不相同, 则至少需要多少枚糖果?

90.【巧算阴影】如图, 一平行四边形内含两个正六边形. 正六边形有边互相重合, 且各自另有两边与平行四边形相贴. 请问图中阴影部分面积占平行四边形总面积的多少?

91.【九角迷思】阿发想要在平面上作一系列直线, 令这些直线形成的角涵盖 10∘, 20∘, 30∘, 40∘, 50∘, 60∘, 70∘, 80∘, 90∘这全部九种角度. 请问, 他最少需要画几条直线?

92.【环球飞行】一群飞机驻扎在一座小岛上. 每架飞机的油箱可装载供其环球飞行半周的油料. 油料可以靠飞行中一架飞机给另一架飞机输油的方式来传递. 只有该岛上可获得油料. 本题假设无论在地面还是在空中, 加油都不占时间.
要保证让一架飞机环球飞行一周, 至少需要出动多少架飞机? 假设飞机速度始终不变, 耗油率相同, 且所有飞机须全部安全返回岛上基地.

93.【去字母，排顺序】“DISCOVER”这个词中, 最少要去掉多少字母, 才能令剩下的所有字母按字母表顺序排列?

94.【四骰相连】如图, 四个一模一样的骰子排成一行. 请问, 六个相互接触的骰面的点数之和是多少?

95.【说谎的机器人】某机器人被设定为每周四、五说真话, 每周二说谎话, 其余时间随机说实话或者谎话. 连续七天, 每天问它“你的名字是什么”, 在前六天得到了这样的答案:
John, Bob, John, Bob, Pit, Bob.
　请问, 机器人在第七天会怎么回答?

96.【几时接到人？】李先生家住郊区, 每日坐城郊火车下班. 他的老婆总能掐着时间, 正好在火车五点整抵站时接到人, 并和他一起由车站驾车回家.
　有一天, 李先生搭乘了早一班的火车, 四点就到了车站. 见风和日丽, 天色尚早, 他干脆沿着老婆平常开车接人的路线, 一步步朝家溜达而去. 过了若干时间, 李先生与老婆中途相遇, 便上车随其归家. 到家时一瞅挂钟, 发现比平时早了整整十分钟.
　假设李夫人开车速度保持不变, 且这一天也照常按时出门去接五点钟的火车. 你能算出李先生走了多长时间才与太太相遇吗?

97.【阁楼的灯泡】新房子门口三个开关, 两个是摆设, 只有一个控制着阁楼上的电灯泡. 你想要搞清楚到底哪个开关有用, 可又懒得爬上爬下. 若三个开关起初均为“OFF”, 有没有办法只上阁楼查看一次, 即分清起效的开关呢?
　提示: 想一想, 电灯泡通了电, 除了发亮, 还会有什么变化.

98.【17与23】有多少个 2012位数, 其任意两个相邻数位依序构成的两位数均能被 17或 23整除?

99.【袋鼠蹦蹦跳】袋鼠阿呆只会两种前进方式: 向前小跳一米, 或者向前大跳三米. 已知 A, B两点相距十米, 如果许进不许退, 阿呆有几种方法可以沿着线段 AB从 B跳到 A?

100.【球体与金字塔】我们将由 n层球体垒成的“四面体”定义为 n阶金字塔. 3阶金字塔各层的构成如下图所示, 每一层所含球体数目均为三角数; 更高阶的依此类推. 若将一个 8阶金字塔暴露在最外层 (包括底面) 的球体全部拿去, 则剩余球体形成的小金字塔为几阶?

101.【魔术八面体】下图是一个八面体的展开图. 将 2,4,6,7,8按某种顺序分别填入 F,G,H,J,K, 使得该八面体任意一端点的四个相接面上的数字之和均相等. 请问, G+J等于几?

102.【倒置相乘】将所有大于等于 1小于等于 99的整数相乘, 得到 N; 若将这些整数先倒置再相乘, 则得到 M. 请问 NM等于多少?
　注: 所谓倒置, 就是将数位倒过来. 例如 8的倒置是 8, 17的倒置是 71, 20的倒置是 2.

103.【越狱】100个各自上锁的牢房里关着 100个囚犯. 晚上会有 100名典狱官视察牢房: 第 1位典狱官视察所有牢房; 第 2位典狱官视察第 2,4,6,⋯ (每第 2) 个牢房; 第 3位典狱官视察第 3,6,9,⋯ (每第 3) 个牢房; 第 4位典狱官视察第 4,8,12,⋯ (每第 4) 个牢房; 以此类推, 直到第 100个官员视察第 100个牢房.
　在视察过程中, 每个典狱官遵循以下规则: 如果房门已锁就打开, 如果房门未锁就上锁. 当所有的典狱官都完成他们的视察任务后, 若牢房没上锁, 囚犯就会逃跑.
　请问到了早上之后, 有多少个囚犯成功越狱? 为什么?

104.【等边切三刀】将正三角形切去三个角, 得到下图. 切掉的部分, 恰好是三个边长之比为 1:2:3的小正三角形. 若下图周长为原正三角形的 5/7, 则它与原正三角形的面积比是多少?

105.【数数三角形 ver 2.0】下图中有几个三角形？如果一个个挨着数, 对脑细胞未免太过残忍. 来想个简单一点的方法吧.

106.【上下坡】阿海用了 6个小时从甲镇开车到乙镇, 然后花了 4小时返回; 途中车的下坡速度均为 120千米/小时, 上坡速度均为 60千米/小时, 水平速度则为 80千米/小时. 只凭这些条件, 你能算出这两个小镇之间的距离吗？

107.【多出的方格】左右两图看上去都是由同样的组件构成的. 左图面积为 64, 右图面积为 65 , 多出的一块格子是从哪里来的呢?

108.【采购肉骨头】汪星人前往超市购买肉骨头. 货架上共有“6 根装”,“9 根装”,“20 根装”三种类型; 很明显, 无论怎么选择，都不可能恰好凑齐 25 根肉骨头. 请问, 若三种套装皆无限供应, 则汪星人无法恰好购得的肉骨头根数 N最大为多少?

109.【集体购物】36名女生结伴购物, 21人买了长裙, 24人买了短裙, 24人买了超短裙; 14人买了长裙和短裙, 15人买了短裙和超短裙, 13人买了长裙和超短裙; 只有一位羞涩的小姑娘一条裙子都没买. 请问, 共有几名女生购买了全部三种裙子?

110.【骑士的难题】如图所示, 公主被困湖心岛, 骑士前往营救. 旱鸭子骑士准备了两条长十九米的木板, 到了地头却发现, 岛岸距湖岸足有二十米. 缺少用以固定木板的钉子等器具, 他该怎样搭桥, 才能顺利抵岛呢?

111.【截取三角形】从长方形 ABCD中截出三个三角形, 如图中橙色部分所示. 若这三个橙色三角形的面积均相等, 则 P, Q应处于什么位置?

112.【数字因缘】阿娟芳龄 21, 娟母年龄 39. 阿娟将母亲年龄的两个数位相加 (即 3+9=12), 再将所得答案的两位数相加 (即 1+2=3), 直到仅存一位数为止. 接着, 她对自己的年龄进行相同运算, 又得到了一样的数字 (即 2+1=3).
　巧合吗? 阿娟惊奇地发现, 往后的每一年, 只要将她与母亲的年龄进行上述操作, 最后的结果都是一样的.
　阿娟托着下巴陷入了遐思. 这到底是母女间冥冥的因缘羁绊, 抑或, 另有玄机呢？

113.【翻转卡片】桌上摆着四张卡片, 向上的面分别为 F, 3, D, 7. 已知每张卡均一面为数字、另一面为字母; 你的朋友声称,“如果卡片的一面是 D,