小学六年级数学培优专题训练.doc

第1讲 数的认识
一、夯实基础
1．数的意义
（4）百分数
百分数后面不带计量单位。
二、典型例题
数的认识课堂过关卷
一、细心填空
1．用3个0和3个6组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是（ ）；读两个零的六位数是（ ）；一个零也不读的最小六位数是（ ）。
2．一个三位小数，四舍五入后得4.80，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。
3．若被减数、减数与差这三个数的和为36，那么被减数为（ ）。
4．把0.35，，，34%，从大到小排序（ ）。
5．某班男生人数是女生的，女生人数占全班人数的（ ）％
6．甲数比乙数多25%，则乙数比甲数少（ ）%。
7．一个分数的分子比分母少20，约分后是，这个分数是（ ）。
8．写出三个比小，而比大的最简分数是（ ）、（ ）、（ ）。
9．中有（ ）个。
10．有一个最简真分数，分子和分母的积是36，这个分数最大是（ ）。
11．A+B=60，A÷B=，A=（ ），B=（ ）。
12．( )＋( )=(填两个分母小于12的分数) ＋= (填两个不同的整数)。
13．一个最简分数，若分子加上1，可以约简为，若分子减去一，可化简成，这个分数是（ ）。
14．修一段600米长的路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修（ ）天完成它的。
15．一种商品，先提价20%，又降价20%后售价为96元，原价为（ ）元。
16．甲、乙两个数的差是35.4，甲、乙两个数的比是5：2，这两个数的和是（ ）。
17．有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为4%，乙种盐水含盐量为5%，丙种盐水含盐量为6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水60千克。如果这项工作由你来做，你打算用（ ）种盐水，取（ ）千克，加水（ ）千克。
18．[x]表示取数x的整数部分，比如[13.58]=13。若x=8.34，则[x]＋[2x]＋[3x]=（ ）。
二、选择
1． 最大的小数单位与最小的质数相差（    ）。
　 A． 1.1       B． 1.9       C． 0.9       D． 0.1
2．3.999保留两位小数是（    ）。
A． 3.99      B． 4.0       C．4.00      D．3.90
3．下列四个数中，最大的是（ ）。
A．101%　　　 B．0. 　　　C．　　　　D．1
4.平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么3小时中有 人乘坐游览车。
A．少于100 B．100与150之间 C．150与200之间 D．200与250之间
5.小明所在班级的数学平均成绩是98分，小强所在班级的数学平均成绩是96分，小明考试得分比小强的得分（ ）。
A．高 B．低 C．一样高 D．无法确定
6．一次数学考试，5名同学的分数从小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他们的平均分可能是（ ）。
A．75 B．84 C．86 D．93
7．的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（　　）
A．加上20 B．加上6 C．扩大2倍 D．增加3倍
8．书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%，一套亏本10%，书店是( )
A．亏本 B．赚钱 C．不亏也不赚
9．把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（ ）。
A．1：99 B．1：100 C．1：101 D．100：101
10．甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓，这时甲仓中的煤的数量比乙仓少（ ）。
A.50% B.40% C.25%
三、星级挑战
★1．财会室会计结账时，发现财面多出32.13元钱，后来发现是把一笔钱的小数点点错了一位，原来这笔钱是多少元？

★★2．暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7月13日他们都去了敬老院，并约好明明每两天去一次，亮亮每3天去一次。
（1）7月份，他们最后一次同去敬老院的日子是（ ）。
（2）从7月13日到8月31日，他们一起去敬老院的情况有（ ）次。
第2讲 数的整除
一、夯实基础
整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
能被2整除的数叫偶数。也就是个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1，3，5，7，9的数是奇数。
一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有1的两个数或几个数，叫做互质数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最小公倍数。
二、典型例题

例3．同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成10行、15行、18行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？
分析：题目要求的是“最少”为多少人，可知操场上的同学数量正好是10、15、18、和24的最小公倍数。
解：

10、15、18和24的最小公倍数是:2×3×5×1×1×3×4=360
答：操场上的同学最少是360人。
数的整除课堂过关卷
一、填空
1．在l至20的自然数中，（ ）既是偶数又是质数；（ ）既是奇数又是合数。
2．一个数，如果用2、3、5去除，正好都能整除，这个数最小是（ ），用一个数去除30、40、60正好都能整除，这个数最大是（ ）。
3．8（ ）5（ ）同时是2， 3 ，5的倍数，则这个四位数为（ 　 　 ）。
4．一个五位数7□35△，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么□代表的数字是（ ），△代表的数字是( )。
5．从0、5、8、7中选择三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的最大三位数，这个三位数是（ 　　 ），把它分解质因数是：（ 　 　 ）。
6．把84分解质因数：84=（ 　 　 ）。72和54的最大公约数是（ 　 ）。
7．12的约数有（ 　 　 ），从中选出4个数组成一个比例是（ 　 　 ）。
8．公因数只有（ 　 ）的两个数，叫做互质数，自然数a和（ ）一定是互质数。
9．a、b都是非零自然数，且a÷b=c，c是自然数，（ 　　 ）是（ 　　 ）的因数，a、b的最大公因数是（ 　　 ），最小公倍数是（ 　　 ）。
10．A、B分解质因数后分别是：A=2×3×7，B=2×5×7。A、B最大公因数是（ ），
最小公倍数是（ ）。
11．A=2×2×3，B=2×C×5， 已知A、B两数的最大公约数是6，那么C是（ 　　 ），A、B的最小公倍数是（ 　　 ）。
12．在括号里填上合适的质数：（ ）＋（ ）=21=（ ）×（ ）。
13．两个质数的和是2001，这两个质数和积是（ 　　 ）。
14．45与某数的最大公因数是15，最小公倍数是180，某数是（ 　　 ）。
15．已知两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（ 　　 ）和（　　　　）。
二、解决问题
1．有两根绳子，第一根长18米，第二根长24米，要把它们剪成同样长短的跳绳，而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？

2．一块长方形木板长20分米，宽16分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的面积是多少平方分米？

3．汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆。三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？

三、星级挑战
★1．有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？

★★2．有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如果5个5个的数，最后余4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？

第3讲 简便运算（1）
一、夯实基础
所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。
简便运算中常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。
让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：
乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b
乘法分配律：a×（b＋c）=a×b＋a×c a×（b－c）=a×b－a×c
二、典型例题
例1. （1）9999×7778＋3333×6666 （2）765×64×0.5×2.5×0.125
分析（一）：通过观察发现这道题中9999是3333的3倍，因此我们可以把3333和6666分解后重组，即3333×3×2222=9999×2222 这样再利用乘法分配律进行简算。
解（一）: 原式=9999×7778＋3333×3×2222
=9999×7778＋9999×2222
=（7778＋2222）×9999
=99990000
分析（二）：我们知道0.5×2，2.5×4，0.125×8均可得到整数或整十数，从而使问题得以简化，故可将64分解成2×4×8，再运用乘法交换律、结合律等进行计算。
解（二）： 原式=765×（2×4×8）×0.5×2.5×0.125
=765×（2×0.5）×（4×2.5）×（8×0.125）
=765×1×10×1
=7650
例2．399.6×9－1998×0.8
分析：这道题我们仔细观察两个积的因数之间的关系，可以发现减数的因数1998是被减数因数399.6的5倍，因此我们根据积不变的规律将399.6×9改写成（399.6×5）×（9÷5），即1998×1.8，这样再根据乘法分配律进行简算。
解: 原式=（399.6×5）×（9÷5）－1998×0.8
=1998×1.8－1998×0.8
=1998×（1.8－0.8）
=1998×1
=1998
例3．654321×123456－654322×123455
分析：这道题通过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少1和多1，即654321比654322少1，123456比123455多1，我们可以将被减数改写成（654321）×（123455＋1），把减数改写成（654321＋1）×123455，再利用乘法分配律进行简算。
解： 原式=654321×（123455＋1）－（654321＋1）×123455
=654321×123455＋654321—654321×123455－123455
=654321－123455
=530866
三、熟能生巧
1．（1） 888×667＋444×666 （2）9999×1222－3333×666

2．（1） 400.6×7－2003×0.4 （2）239×7.2＋956×8.2

3．（1） 1989×1999－1988×2000 （2）8642×2468－8644×2466

四、拓展演练
1．1234×4326＋2468×2837

2． 275×12＋1650×23－3300×7.5

3． 7654321×1234567－7654322×1234566

六、星级挑战
★1．31÷5＋32÷5＋33÷5＋34÷5

★★★2．3333×4＋5555×5＋7777×7

★★★3．99＋99×99＋99×99×99

★★★4. 48.67×67＋3.2×486.7＋973.4×0.05

第4讲 简便运算（2）
一、夯实基础
在进行分数的运算时，可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩小若干倍，从而简化计算过程；还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。
让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：
乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b
乘法分配律：a×（b＋c）=a×b＋a×c a×（b－c）=a×b－a×c
拆分：=－ =（－）

三、熟能生巧
2．（1） （2）（＋1＋）÷（＋＋）

四、拓展演练
1．（1）123÷41 （2）×2.84÷3÷（1×1.42）×1

2． （1） （2）（96）÷（32）
3． ＋＋＋……＋＋

★★★3． ＋＋＋……＋

★★★4． 1－＋－＋－
第5讲 简便运算（3）
一、 夯实基础
所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。
简便运算中常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。
让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：
等差数列的一些公式：
项数=（末项－首项）÷公差＋1
某项=首项＋公差×（项数－1）
等差数列的求和公式：（首项＋末项）×项数÷2
二、典型例题
例1． 2＋4＋6＋8……＋198＋200
分析：这是一个公差为2的等差数列，数列的首项是2，末项是200。这个数列的项数=（末项－首项）÷公差＋1=（200－2）÷2＋1=100项，如何求和呢？我们先用求平均数的方法：首、末两项的平均数=（2＋200）÷2=101；第二项和倒数第二项的平均数也是（4＋98）÷2=101……依次求平均数，共算了100次，把这100个平均数加起来就是数列的和。即和=（首项＋末项）÷2×项数。
解: 原式=（2＋200）÷2×100=10100
例2． 0.9＋9.9＋99.9＋999.9＋9999.9＋99999.9
分析：通过观察我们可以发现题目中的6个加数都分别接近1、10、100、1000、10000、100000这6个整数，都分别少0.1，因此我们可以把这6个加数分别看成1、10、100、1000、10000、100000的整数，再从总和中减去6个0.1，使计算简便。
解: 原式=1＋10＋100＋1000＋10000＋100000－0.1×6
=111111－0.6=1111110.4
三、熟能生巧
1． 1＋3＋5＋7＋……＋65＋67

2． 9＋99＋999＋9999＋99999

3．1120×122112211221－1221×112011201120

四、拓展演练
1．（1）0.11＋0.13＋0.15＋……＋0.97＋0.99
（2）8.9×0.2＋8.8×0.2＋8.7×0.2＋……＋8.1×0.2

2．（1）98＋998＋9998＋99998＋999998
（2）3.9＋0.39＋0.039＋0.0039＋0.00039

3．（1）1234×432143214321－4321×123412341234
（2）2002×60066006－3003×40044004

六、星级挑战
★1． （1）438.9×5 （2）47.26÷5 （3）574.62×25 （4）14.758÷0.25

★★2. （44332－443.32）÷（88664－886.64）

★★3． 1.8＋2.8＋3.8＋……＋50.8

★★★4． 2002－1999＋1996－1993＋1990－1987＋……＋16－13＋10－7＋4

第6讲 简易方程
一、夯实基础
含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程解应用题的基础，解方程通常采用以下策略：
①对方程进行观察，能够先计算的部分先进行计算或合并，使其化简。
②把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系进行化简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。
③将方程的两边同时加上（或减去）一个适当的数，同时乘上（或除以）一个适当的数，使方程简化，从而求方程的解。
④重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。
二、典型例题
例1．解方程4（x－2）＋15=7x－20
分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的基本性质合并求解。
4（x－2）＋15=7x－20
解： 4x－8＋15=7x－20
3x=27
x=9
经检验x=9是原方程的解。
例2．解方程x÷2=（3x－10）÷5
分析：根据等式的基本性质，将方程两边同乘2和5的最小公倍数，使方程转化为x×5=（3x－10）×2再求解。
x÷2=（3x－10）÷5
解： x÷2×10=（3x－10）÷5×10
x×5=（3x－10）×2
5x=6x－20
x－20=0
x=20
经检验x=20是原方程的解。
例3．解方程360÷x－360÷1.5x=6
分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘3x使方程转化后再求解。
360÷x－360÷1.5x=6
解： 1080－720=18x
18x=360
x=20
经检验x=20是原方程的解。
三、熟能生巧
1．①12－2（x－1）=4 ②5x＋19=3（x＋4）＋15

2．①（2x＋4）÷18=28 ②（5.3x－5）÷7=x－8

3．①7（x－3）=3（x＋5）＋4 ②x＋x÷3＋2x－30=180

四、拓展演练
1．①（x+10）＝6 ②8－4.5x＝3

2．①x＋—x＝ ②x＋7.4=x＋9.2

3．① ：18%＝ ②＝

五、举一反三

六、星级挑战
★1．解方程： 13x－4（2x＋5）=17（x－2）－4（2x－1）

★2．解方程： 17（2－3x）－5（12－x）=8（1－7x）

★3．解方程：－=2

★★4. 解方程：（x－5）=3－（x－5）

第7讲 定义新运算
一、夯实基础
同学们，我们都知道四则运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也无外乎“＋”、“－”、“×”、“÷”。而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目，这种题目中又出现了新的运算符号，如：⊙、※、◎……并赋予它们一种新的运算方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来学习定义新运算。
二、典型例题
例1． （1）a◎b=a＋b，求95的值。（2）定义新运算“⊙ ”，m⊙n=m÷n×2.5。
求： ① 60.4⊙0.4的值是多少？ ② 351⊙0.3的值是多少？
分析（1）：本题中的新运算符号“◎”表示的是求“◎”前后两个数的和，也就是求9与5的和是多少。
解（1） ： 9◎5=9＋5=14
分析（2）：本题中新运算“⊙”的含义是求“⊙”前后两个数的商的2.5倍是多少。
解（2）：① 60.4⊙0.4=60.4÷0.4×2.5=151×2.5=377.5
② 351⊙0.3=351÷0.3×2.5=1170×2.5=2925
例2． 对于任意两个自然数，定义一种新运算“*”，a*b=（a－b）÷2，求34*（52*48）值。
分析：新运算“*”的含义表示：求“*”前后两数差的一半。本题在计算时，要注意运算顺序，先计算括号内的“52*48”，再用34与“52*48”的结果在进行一次这样的运算。
解：52*48=（52－48）÷2=4÷2=2
因此34*（52*48）=34*2=（34－2）÷2=32÷2=16。
例3．定义两种新运算“◇”和“*”，对于任意两个 数x、y，规定x◇y=x＋5y，x*y=（x－y）×2 ，求5◇6＋3.5*2.5的值。
分析：本题包含两种新运算，第一种新运算“◇”表示求“◇”前面的数与后面数的5倍的和是多少；第二种运算“*”表示“*”前面的数减去“*”后面数的差的2倍是多少。所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和。
解：5◇6=5＋5×6=35
3.5*2.5=（3.5－2.5）×2=2
5◇6＋3.5*2.5=35＋2=37
三、熟能生巧
1．（1） a★b=a－b，求45.2★38.9的值。
（2）x、y是两个自然数，规定x⊙y=（x+y）×10，求3⊙8的值。

2．定义一种新运算“◎”，规定A◎B=2×（A＋B），求0.6◎（5.4◎5）的值。

3．定义两种新运算“☆”和 “●”，已知a☆b=a÷2＋4.1×b，a●b=8＋3（a－b），求6☆1＋4●2的值。

四、拓展演练
1． （1）定义一种新运算“※”，规定A※B=4A＋3B－5，求（1）6※9 （2）9※6。
（2）定义一种新运算“◆”，规定a◆b=（3x＋y）＋2＋x，
求：①10◆15 ②15◆10

2．（1）定义新运算“♂”，规定m♂n=（m－n）÷2，那么8 ♂（12♂2）与12♂（8♂2）是否相等？如果不相等，哪个大？
（2）定义一种新运算“”，已知ab=5a＋10b，求37＋58的值。

3．定义两种运算“”和“⊙”，对于任意两个整数a，b，ab=a＋b－1，
a⊙b=a×b－1。计算4⊙[（68）（35）]。

五、举一反三

六、星级挑战
★1．定义新运算“※”，若2※3=2＋3＋4，5※4=5＋6＋7＋8。
求2※（3※2）的值。

★★2. 设a、b表示两个数如果a≥b，规定：a◎b=3×a－2×b；如果a＜b，规定：
a◎b=（a＋b）×3。求： ①9◎6 ② 8◎8 ③2◎7

★★3．设a、b表示两个数，a⊙b=a×b－a+b，已知a⊙7=37，求a的值。

★★★4．设a、b表示两个整数，规定：a ◎b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋…＋（a＋b－1），求1◎100的值。

第8讲 巧求面积（1）
一、夯实基础
小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：
正方形
边长×边长
S=a2
长方形
长×宽
S=ab
平行四边形
底×高
S=ah
三角形
底×高÷2
S=ah÷2
梯形
（上底+下底）×高÷2
S=(a+b)h÷2
在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些基本的几何解题思想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。
二、典型例题
例1．两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
解：直角梯形OEFC的上底为：10－3=7（厘米），
直角梯形OEFC的面积为（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。
答：阴影部分的面积是17平方厘米。
例2．如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
分析：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米。
解：三角形EFG的面积为：10×8÷2=40（平方厘米）。
平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）。
答：平行四边形的面积为50平方厘米。
例3．如图,在三角形ABC中， BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
分析:由“ E、F分别为AB和AC的中点”可知，AF=CF，AE=BE，所以三角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面积相等；三角形AEF和三角形BEF面积也相等，故有S三角形EBF=S三角形ABF ，S三角形ABF=S三角形ABC
解：S三角形ABC=8×6÷2=24（平方厘米）
S三角形ABF=S三角形ABC=×24=12（平方厘米）
S三角形EBF=S三角形ABF=×12=6（平方厘米）
答：三角形EBF的面积是6平方厘米。
三、熟能生巧
1．如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

2．如图，正方形边长是10厘米，长方形的长为8厘米，宽为5厘米。阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？

3．如图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

四、拓展演练
1．如图，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49，那么图中阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米）

2． 如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？

3．如图，长方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积。

五、星级挑战
★1．如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？

★★2．有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？

第9讲 组合图形面积（2）
一、夯实基础
不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。
计算圆的周长与面积的主要公式有：
（1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即：C=πd=2πr
(2)中心角为n°的弧的长度=n×π×(半径)÷180，即：l=
（3）圆的面积=π×(半径) 2，即：S=πr2
(4)中心角为n°的扇形的面积==n×π×(半径) 2÷360，即：S== l=lr
二、典型例题
例1．如下图（1），在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。

分析（一）：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
分析（二）：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。阴影部分的面积是正方形面积的一半。
分析（三）：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。阴影部分的面积是正方形的一半。
解：4×4÷2=16（平方厘米）
例2．如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
分析：阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。
解：S阴影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCD
A
B
D

C
=×AB2×2－AB2
=×42×2－42
≈16×=9.12（平方厘米）。
例3．如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
分析： 阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（Ⅰ）的面积之差。而图中（Ⅰ）的面积等于边长为6的正方形面积减去的以6为半径的圆的面积。
解：S阴影=S三角形ACD－（S正方形BCDE－S扇形EBD）
=
=40.26（平方厘米）。
三、熟能生巧
1．如下图，圆的直径为8cm，求阴影部分的面积。

2．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积。

3．如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。

四、拓展演练
1．如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？

2．如下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。

3．如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1，和为24厘米。图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？

五、星级挑战
★1．如下图，将直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3.14）。

★★2．求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）

第10讲 长方体的表面积和体积
一、夯实基础
长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。
长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2
正方体的表面积=棱长×棱长×6
物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。
长方体体积=长×宽×高
正方体体积=棱长×棱长×棱长
二、典型例题
例1．一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。                     
分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可知做成的长方体铁盒的长是24－3×2=18（厘米），高就是剪下的小正方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是486厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原来长方形铁皮的宽，再加上3×2=6（厘米）才是原铁皮的宽。
解：长方体铁盒的长：24－3×2=18（厘米）
长方体铁盒的宽：486÷3÷18=9（厘米）
长方形铁皮的宽：9＋3×2=15（厘米）
长方形铁皮的面积：24×15=360（平方厘米）
答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。
例2．如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。
分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm，剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍。
    解：长＋宽＝（515－5）÷2＝255（cm）
长＋高＝（445－5）÷2＝220（cm）
    宽＋高＝（235－5）÷2＝115（cm）
    长＋宽＋高＝（255＋220＋115）÷2＝295（cm）
    长：295－115＝180（cm）
    宽：2