四川省2017中考数学专题突破复习题型专项七三角形的简单证明与计算.doc

题型专项(七)　三角形的简单证明与计算
类型1　与全等三角形有关的证明与计算
1．(2014·南充)如图，AD，BC相交于O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB.求证：AB＝CD.

证明：∵∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD.
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(SAS)．
∴AB＝CD.

2．(2016·昆明)如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.求证：AE＝CE.

证明：∵FC∥AB，
∴∠EAD＝∠ECF，
∠ADE＝∠CFE.
在△ADE和△CFE中，

∴△ADE≌△CFE(AAS)．
∴AE＝CE.

3．(2016·乐山)如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.求证：CE＝DF.

证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°
又∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝CF.
∴△CEB≌△DFC.
∴CE＝DF.

4．(2016·河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．

解：(1)证明：∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.
又AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF.
(2)AB∥DE，AC∥DF.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
∴AB∥DE，AC∥DF.

5．在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.
(1)求证：△ABF≌△ACE；
(2)求证：PB＝PC.

证明：(1)在△ABF和△ACE中，
∴△ABF≌△ACE(SAS)．
(2)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵△ABF≌△ACE，
∴∠ABF＝∠ACE.
∴∠PBC＝∠PCB.
∴PB＝PC.

6．(2014·内江)如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.
(1)求证：△ABM≌△BCN；
(2)求∠APN的度数．

解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C.
∵在△ABM和△BCN中，

∴△ABM≌△BCN(SAS)．
(2)∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN.
∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，
∴∠APN＝∠CBN＋∠ABP＝∠ABC＝＝108°.

类型2　与相似三角形有关的证明与计算
7．(2016·德阳中江课改监控检测)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4.求线段CD的长．

解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB.
∴＝.
∵AB＝6，AD＝4，
∴AC＝＝＝9.
则CD＝AC－AD＝9－4＝5.

8．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB的大小．

解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
∵＝.
∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD，
∴∠A＝∠BCD.
在△ACD中，∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠BCD＋∠ACD＝90°，
即∠ACB＝90°.

9．(2016·乐山模拟)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是边BC上的任意一点(P与B，C不重合)，作PE⊥AP，交CD于点E.
(1)判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由；
(2)连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．

解：(1)△ABP与△PCE相似，理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠C＝90°.
∴∠BAP＋∠BPA＝90°.
∵PE⊥AP，
∴∠CPE＋∠BPA＝90°.
∴∠BAP＝∠CPE.
∴Rt△ABP∽Rt△PCE.
(2)由(1)得△ABP∽△PCE.
∴＝，即＝.
∵PE∥BD，
∴＝，即＝.
∴＝.
∵AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，
∴BP＝＝.

10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝∠C＝60°，P为BC边上一点(不与B，C重合)，过点P作∠APE＝∠B，PE交CD于E.
(1)求证：△APB∽△PEC；
(2)若CE＝3，求BP的长．

解：(1)证明：∵∠APC＝∠B＋∠BAP，
∴∠APE＋∠EPC＝∠B＋∠BAP.
∵∠APE＝∠B，
∴∠EPC＝∠BAP.
∵∠B＝∠C，
∴△APB∽△PEC.
(2)过点A作AF∥CD交BC于点F.
则四边形ADCF为平行四边形，△ABF为等边三角形．
∴CF＝AD＝3，AB＝BF＝7－3＝4.
∵△APB∽△PEC，
∴＝.
设BP＝x，则PC＝7－x，又EC＝3，AB＝4，
∴＝.
解得x1＝3，x2＝4.
经检验，x1＝3，x2＝4是所列方程的根，
∴BP的长为3或4.

11．(2016·眉山)如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F.
(1)求证：＝；
(2)连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；
(3)设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

解：(1)证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°.
∴△BCE∽△DCP.
∴＝.
(2)AC∥BD.
理由：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，
∴∠PCE＝∠BCD.
又∵＝，
∴△PCE∽△DCB.
∴∠CBD＝∠CEP＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CBD.
∴AC∥BD.
(3)过点P作PM⊥BD交BD延长线于点M.
∵AC＝4，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝4.
∵△PCE∽△DCB，
∴＝，即＝.
解得BD＝x.
∵∠PBM＝∠CBD－∠CBP＝45°，
BP＝BE＋PE＝4＋x，
∴PM＝.
∴S＝BD·PM＝·x·＝x2＋2x.