汽车保险费的制定建模.doc

车辆保险费的制定问题
摘 要
随着国民经济的持续增长与人民生活水平的不断提高，我国汽车饱有量逐年增多，随之而来的交通矛盾日益凸显。有数据表明，我国的汽车数量只占到全世界汽车数量的3％，而事故率却占到全世界年均事故数的16％，每年因交通而死亡的人数排名世界第一。针对这种情况，我国从2005年5月1日起正式施行新的《道路交通安全法》。《安全法》规定，机动车驾驶员在驾驶机动车期间若不系安全带属交通违法行为，此外，还规定了在机动车上道运行之前必须购买机动车道路交通安全强制保险。
保险是投保人为了分担风险，减少经济损失的一种针对风险的投资行为。新规定出台后，保险公司为了调整运营策略，根据死亡人数以及医疗费用的变化，必须制定新的保险费用。
本论文首先基于在新法规颁布后，交通事故死亡人数减少40％ 的情况下，对新的保险费用水平进行了预测。然后分别预测了在医疗费下降20％和40％的情况下，今后五年内，保险公司保费的合理价格。
问题一:

问题二：
为了预测保险费的变化，我们首先根据保险公司一年期的综合车险保单业务中的分类规则，列写出每一年每一类总投保人数的地推表达式：

又根据每一年汽车的销售量估算出每一年新增的投保人数（汽车销量的年均增长率c等于新增投保人数的年均增长率）。由表一中本年度新增的投保人数S0=384620为基础，用式可以算得距本年度为j年时的新增投保人数。又假设死亡人数与索赔人数的比例不变，注销人数与总投保人数不变，索赔人数与总投保人数比例保持不变，即分别有， ， 保持不变。由表一，表二中本年度的数据

关键词： 汽车保险费 泊松分布

一 引言
中国经济三十年快速发展，积累了大量财富，形成了巨大的制造能力，使汽车成为寻常百姓家庭财富的组成部分。更重要的是，对汽车服务标准要求日趋提高，客观上汽车生产、销售、流通和保险两个行业联系起来，汽车销售市场的繁荣促进了这两个行业的深度合作。
然而随着汽车数量的增加汽车事故也越来越多，在2006年7月1日我国开始实施机动车交通事故责任强制保险，机动车交通事故责任强制保险是首个由国家法律规定实行的强制保险制度。《机动车交通事故责任强制保险条例》规定：交强险是由保险公司对被保险机动车发生道路交通事故造成受害人（不包括本车人员和被保险人）的人身伤亡、财产损失，在责任限额内予以赔偿的强制性责任保险。
截至2012年三季度，全国财险保费2938亿元，汽车保费占财险总保费的70.8%。因此,科学合理地厘定汽车保险费率至关重要。汽车保险的奖惩系统是广泛应用于世界各国保险公司的一种经验估费系统,即对上一保险年度没有发生索赔的投保人，在下一年度续保时给予保费上的优待，而对于上一保险年度发生索赔的投保人，则在下一保险年度提高其续期保费。主要是根据驾驶者的历史索赔记录来确定其续期保费。在中国,各家保险公司也都分别制定了自己的奖惩系统或无赔款优待系统。
现在一些大型的财产保险公司也开始建立起直销、电话销售、网络销售等多种形式的销售渠道，汽车保险已经成为财产保险公司最主要的销售产品和利润来源，汽车保险的盈亏直接关系到财产保险市场盈亏。据我们了解，绝大多数汽车生产、销售、修理企业在进行自身主营业务的同时，也积极与保险公司合作，销售汽车保险产品。一些大型汽车生产、销售企业集团还直接参股、控股保险公司和保险代理公司，深化对汽车消费者服务的广度和深度。
目前市场拥有汽车生产销售的有300余家，其中销售超过百亿的大型集团约有20家，销售额占市场总额比例超过20%，大型汽车生产销售集团旗下销售网点普遍超过千家，这些大型汽车相关企业成立全国性保险中介公司。自2011年起，保监会启动车险服务专业化以来，持续深入推进汽车保险服务业专业化，今年4月，中国保监会发布了《关于暂停区域性保险代理机构和部分兼业保险代理机构市场准入许可工作的通知》，6月又发布了《关于进一步规范保险市场准入》，暂停相关专业中介机构分支机构的设立。在河北庞大汽贸集团试点基础上我们继续推动浙江、深圳、上海等地相继成立了由汽车相关企业独资的保险专业中介机构。通过限制和减少保险兼业代理机构数量整顿存量，优化增量，给市场发出明确的感觉信号，中国保监会明确鼓励支持汽车企业出资设立保险代理、保险经营公司，或者与已经设立的保险代理、保险经纪公司合作，统筹开展保险业务。

二 模型假设
通过对我国几家保险公司数据的了解建立一个数学模型，为了使模型能更好的适应我们所要分析的数据，首先需要做一些模型假设，模型假设如下。
假设一：每辆车在购买后都必须进行强制保险；
假设二：年交通事故数量无变化,交通事故死亡率恒定；
假设三：注销人数为自动终止保险人数与死亡人数之和；
假设四：注销人数与总投保人数比例不变；
假设五：死亡人数与索赔人数比例不变；
假设六：一年中每辆车出事故的概率呈泊松分布；
假设七：五年内汽车的销量与投保人数之间线性相关；
假设八：注销的人数中自动退保的索赔过的人数与注销的人数中自动退保的人数比例不变;
假设九：平均死亡赔偿费、平均修理费、平均医疗费、平均注销偿还费均不变；
假设十:保险公司的支出与总投保人数成正比；
假设十一：保险公司的收入全部来自车辆保险这一个险种；
假设十二：保险公司的支出与其业务量呈比例；
三 符号说明
Xj
第j年的基本保险费。
N总ij
第j年第i类投保中的总投保人数。
N自ij
第j年第i类投保中注销的人数中自动退保的人数。
N自索ij
第j年第i类投保中注销的人数中自动退保的索赔过的人数。
N自非ij
第j年第i类投保中注销的人数中自动退保的未索赔过的人数。
N死ij
第j年第i类投保中死亡的人数。
N索ij
第j年第i类投保中索赔的人数。
N注ij
第j年第i类投保中注销的人数。
Sj
第j年新投保的人数。

第i类投保人中死亡人数与索赔人数的比例

第i类投保人中注销人数与总投保人数的比例
η
医疗费下降的百分比
W
相关平均费用

实施新法规后，每一类投保人中每年死亡的司机数
Z
年度支出费用

四 问题分析

根据各保险公司2003年推出的汽车保险条款，可以设计出相应的转移概率矩阵，如表1—5所示。其中ci表示第i个保费折扣等级，p0表示保单在一个保险年度不发生索赔的概率，p1表示发生1次索赔的概率，p2表示发生2次索赔的概率，需要说明的是，平安的奖惩系统只有四个等级，但为了满足齐次马尔可夫链的要求，对其进行了分解，从而形成了表2所示的8个等级的转移概率矩阵。华泰的转移规则中引入了满期赔付率，但考虑到它对现实的转移结果影响很小，所以为了简化分析，在转移概率矩阵中忽略了满期赔付率的影响。太平洋的奖惩系统在全国各地并不相同，本文仅选择了适用于深圳地区的奖惩系统进行分析。
表1 人保的转移概率矩阵

c1=0.7
c2=0.8
c3=0.9
c4=1
c1=0.7
p0
p1
p2
1-p0-p1-p2
c2=0.8
p0

p1
1-p0-p1
c3=0.9

p0

1-p0
c4=1

p0
1-p0

表2 平安的转移概率矩阵

c1¢=0.7
c2¢=0.8
c3¢=0.8
c4¢=0.8
c5¢=0.9
c6¢=1
c7¢=1
c8¢=1
c1¢=0.7
p0

1-p0

c2¢=0.8
p0

1-p0

c3¢=0.8

p0

1-p0

c4¢=0.8

p0

1-p0

c5¢=0.9

p0

1-p0

c6¢=1

p0

1-p0
c7¢=1

p0

1-p0

c8¢=1

p0

1-p0

表3 太平洋（深圳地区）的转移概率矩阵

c1=0.70
c2=0.75
c3=0.80
c4=0.85
c5=0.90
c6=1
c1=0.70
p0

1-p0
c2=0.75
p0

1-p0
c3=0.80

p0

1-p0
c4=0.85

p0

1-p0
c5=0.90

p0

1-p0
c6=1

p0
1-p0

表4 大众的转移概率矩阵

c1=0.70
c2=0.70
c3=0.70
c4=070
c5=0.80
c6=1
c1=0.70
p0

p1

1-p0-p1
c2=0.70
p0

p1

1-p0-p1
c3=0.70

p0

p1
1-p0-p1
c4=0.70

p0

1-p0
c5=0.80

p0

1-p0
c6=1

p0
1-p0

表5 华泰的转移概率矩阵

c1=0.70
c2=0.80
c3=0.90
c4=1.00
c5=1.10
c6=1.20
c7=1.50
c1=0.70
p0+p1
p2+p3
p4+p5
Q5

c2=0.80
p0
p1
p2+p3
p4+p5
Q5

c3=0.90

p0
p1
p2+p3
p4+p5
Q5

c4=1.00

p0
p1
p2+p3
p4+p5
Q5
c5=1.10

p0
p1
p2+p3
Q3
c6=1.20

p0
p1
1-p0-p1
c7=1.50

p0
1-p0

五 模型的建立与求解

5.1模型一的建立
针对问题一，在国家采取新的安全法规后保险公司的保险费是否会减少？我们首先建立模型，给出保险公司各项收入支出费用的关系即“保险公司总收入= 总偿还退回+总索赔支出+年度支出”。我们分别给出出各项费用的计算公式。通过本年度的表1与表2数据，我们经过计算得出在下一年各项投保人数。最终计算出实施安全法规前后保险费分别是多少。
5.1.1各项投保费用
5.1.1.1第j年偿还退回计算
由假设四注销人数与总投保人数比例不变；假设九平均注销偿还费不变；根据表格1与表格2，可以得到平均注销偿还退回费计算公式如下：

平均注销偿还退回费:

则第j年总偿还退回费：
5.1.1.2 索赔支出模块计算

总修理费： , W修i表示第i类投保的平均修理费;

总死亡赔偿费： , W死i表示第i类投保的平均死亡赔偿费;

总医疗费 , W医i表示第i类投保的平均医疗费。

由表2 可得：

得出保险公司索赔支出为：

5.1.1.3保险公司年度支出费用
保险公司的支出费用主要用来发放员工工资，公司运行等等，因此与公司业务量成比例关系，即与总投保人数比例不变，设比例系数为g。根据表一中本年度支出与总投保人数，
则：

第j年年度支出费用：

5.1.1.4保险公司总收入
保险公司的总收入包括两部分。一是保险公司收取的每个人的基本保险费，二是返还额外补助。根据一年内,若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，即所要额外补助的人数即没有索赔的人数；每一类别额外补助有不同的比例。以上条件可以计算保险公司的总收入为：

5.1.2下一年各项投保人数
5.1.2.1下一年（即j=1）各类别总投保人数
（Ⅰ）第0类下一年总投保人数
0类下一年总投保人数=下一年的新投保人数+0类索赔人数—0类死亡人数―0类自动退保人中索赔过的人数+1类索赔人数—1类死亡人数―1类自动退保人中索赔过的人数+2类索赔人数—2类死亡人数―2类自动退保人中索赔过的人数，即：

（Ⅱ）第1类下一年总投保人数
1类下一年总投保人数=0类总投保人数—0类注销人数—0类索赔人数+0类死亡人数+0类自动退保人中索赔过的人数+3类索赔人数—3类死亡人数―3类自动退保人中索赔过的人数，即：

（Ⅲ）第2类下一年总投保人数
2类下一年总投保人数=1类当年投保总人数—1类降为0类的人数（即索赔人数）—1类注销人数+1类死亡人数+1类自动退保人中索赔过的人数，即：

（Ⅳ）第3类下一年总投保人数
3类下一年总投保人数=3类当年总投保人数—3类降为1类的人数（索赔人数）—3类注销人数+3类死亡人数+3类自动退保人中索赔过的人数+2类总投保人数—2类索赔人数—2类注销人数+2类死亡人数+2类自动退保人中索赔过的人数，即：

5.1.2.2下一年新投保的人数S1
根据近几年汽车销量统计，数据拟合可以看出汽车销量近几年成线性增长，由数据拟合图（见附录1）得到每年汽车销量的增加比例，由于每辆车必须强制保险，我们可以将汽车销量增加比例近似看做下一年的新增投保人数的增加比例。得到新投保人数增长率c=0.2364695。由表1中本年度的新投保人数S0=384620，得：

5.1.2.3下一年投保中索赔的人数N索i1
由概率论与数理统计的相关知识知道，对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程，都可以很自然的应用泊松分布的理论。对于第i类总投保人数中的每一个人，因为他由于发生事故而索赔的概率很小，所以这个索赔的事件是个小概率事件，从而服从泊松分布，所以他索赔k次的概率p为：

（K为随机变量）
所以，他至少索赔一次的概率为：

所以在N总i(0)个投保者中有x个人向保险公司索赔的概率为：

索赔人数用它的期望来表示即为：

所以：

由上所述可得到索赔人数与总投保人数的关系为：

由于λi为常数，令
, Qi为常数
由题目中所给的表1与表2中总投保人数与索赔人数可得:

Q0
0.349934668
Q1
0.330026438
Q2
0.100355924
Q3
0.080007689
即
5.1.2.4 下一年第i类投保中死亡的人数N死i1
由假设死亡司机人数与索赔人数比例不变，A为比例系数，
由于是常数，则依据表1、表2按今年死亡司机人数与索赔人数计算:

得到：
A0
0.019994646
A1
0.040028294
A2
0.019783008
A3
0.010006107
则

5.1.2.5下一年投保中注销的人数N注i1
由假设注销人数与总投保人数比例不变，B为比例系数，
由于Bi是常数，则依据表1按今年注销人数与总投保人数比例计算

得到：
B0
0.010967209
B1
0.016000925
B2
0.012003004
B3
0.03699907

则

5.1.2.6下一年投保中注销的人数N注i1中自动退保的人数N自i1

5.1.2.7下一年投保中注销的人数中自动退保的索赔过的人数N自索i1
由假设：注销的人数中自动退保且索赔过的人数与注销的人数中自动退保的人数比例不变，可得

由以上公式得出下一年即第一年各项投保人数
年份
没有索赔时补贴比例
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
索赔人数
死亡司机人数
第1年
0
1714288
475570
18800
2189858
599889
11995
25%
1746762
0
27950
1746762
576478
23075
40%
1179135
0
14153
1179135
118333
2341
50%
8795655
0
325431
8795655
703720
7041

5.2模型求解
根据关系：保险公司总收入= 总偿还退回+总索赔支出+年度支出
即下一年：

实施安全措施后，即死亡人数减少40％时，即法规实施后的死亡人数

下一年（即j=1）的保险费为：
X0*=648元
通过对比安全法规实施前后保险费的变化，很明显X0*<775。实施安全带法规，虽然每年的事故数量不会减少，事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，保险费的数额会相应减少。
5.3模型二的建立
在模型一的基础上，对模型进行改进，给出了递推公式预测今后五年各项投保人数，并计算了医疗费下降的情况下基本保险费应为多少。
5.3.1各类第j年总投保人数：

5.3.2第j年新投保的人数Sj
在模型一基础上由得：

年份
0
1
2
3
4
5
新投保人数
384620
475570.906
588028.9
727079.8
899012.1
1111601.013
5.3.3第j年第i类各项投保人数

根据上面的算法，我们可以通过计算机编程MATLAB来求得未来五年内各项投保数据：

年份
没有索赔时补贴比例
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
索赔人数
死亡司机人数
第1年
0
1714288
475570
18800
2189858
599889
11995
25%
1746762
0
27950
1746762
576478
23075
40%
1179135
0
14153
1179135
118333
2341
50%
8795655
0
325431
8795655
703720
7041
第2年
0
1828094
588029
20049
2416123
639714
12791
25%
1784814
0
28559
1784814
589036
23578
40%
1174634
0
14099
1174634
117882
2332
50%
8849993
0
327442
8849993
708067
7085
第3年
0
2017154
727080
22123
2744234
705872
14114
25%
1862923
0
29808
1862923
614814
246010
40%
1200222
0
14406
1200222
120449
2383
50%
8894167
0
329076
8894167
711602
7120
第4年
0
2280016
899012
25005
3179028
797857
15953
25%
1989167
0
31829
1989167
656477
26278
40%
1252748
0
15037
1252748
125720
2487
50%
8956134
0
331369
8956134
716560
7170
第5年
0
2626175
1111601
28802
3737776
918990
18375
25%
2164735
0
34638
2164735
714420
28597
40%
1337643
0
16056
1337643
134240
2656
50%
9057875
0
335133
9057875
724700
7251

实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，死亡的司机会减少40%，对上述计算进行改进：

可以通过计算机编程MATLAB来求得实施法规后未来五年内各项投保数据，
年份
没有索赔时补贴比例
续保人熟
新投保人数
注销人数
总投保人数
索赔人数
死亡司机人数
第1年
0
1714288
475571
18801
2189859
599889
7197
25%
1746762
0
27950
1746762
576478
13845
40%
1179135
0
14153
1179135
118333
1405
50%
8795655
0
325431
8795655
703720.0406
4225
第2年
0
1843059
588029
20213
2431088
644950
7737
25%
1782832
0
28527
1782832
588382
14131
40%
1165404
0
13988
1165404
116955
1388
50%
8846240
0
327303
8846240
707767
4249
第3年
0
2036218
727080
22332
2763298
712543
8548
25%
1870037
0
29922
1870037
617162
14822
40%
1189469
0
14277
1189469
119370
1417
50%
8878859
0
328510
8878859
710377
4265
第4年
0
2304177
899012.1
25270
3203189
806311
9673
25%
1997535
0
31962
1997535
659239
15833
40%
1247651
0
14976
1247651
125209
1486
50%
8929192
0
330372
8929192
714404
4289
第5年
0
2654474
1111601
29112
3766075
928893
11144
25%
2174794
0
34799
2174794
717740
17238
40%
1332715
0
15997
1332715
133746
1588
50%
9025592
0
333939
9025592
722117
4335

5.4模型二的求解
由模型一和未来5年的各项投保人数可得出：

保险公司年总修理费、死亡赔偿费、支出及偿还费

年份
修理费
（百万元）
死亡赔偿费
（百万元）
支出
（百万元）
偿还退出
（百万元）
1
1995.48
1141.07
150.02
70.34
2
2057.95
1170.77
152.27
71.01
3
2166.48
1226.74
156.03
71.92
4
2322.36
1308.24
161.66
73.30
5
2533.23
1419.58
169.58
75.35

各年不同η下的医疗费

η
年份
医疗费（百万元）
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
1
1810.14
1691.31
1583.87
1470.74
1357.6
2
1877.65
1754.57
1642.95
1525.59
1408.24
3
1990.1
1859.97
1741.34
1616.96
1492.58
4
2150.05
2009.89
1881.29
1746.91
1612.54
5
2364.67
2211.04
2069.09
1921.3
1773.51

各年不同η下的总费用

η
年份
总费用（百万元）
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
1
5167.04
5048.21
4940.77
4827.64
4714.51
2
5329.65
5206.57
5094.94
4977.59
4860.24
3
5611.28
5481.15
5362.51
5238.13
5113.75
4
6015.6
5875.44
5746.85
5612.47
5478.09
5
6562.4
6408.77
6266.82
6119.03
5971.24
根据关系：保险公司总收入= 总偿还退回+总索赔支出+年度支出
即第j年：

得到：
η
年份
基本保险费
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
1
635.58
582.06
569.67
556.63
579.91
2
641.93
588.29
575.68
562.42
585.39
3
653.09
599.09
586.13
572.53
595.19
4
667.25
612.82
599.4
585.39
607.63
5
683.73
628.8
614.88
600.38
622.13

六 模型的检验

七 模型的优缺点分析
模型优点：
1、 充分利用题目中所给的本年度发放保单数与本年度索赔款数，根据保险公司的分类规则，运用递推法给出了每一类保险险种未来的投保总人数模型，并由此预测出了未来五年内各类保种中的具体人数。
2、

模型缺点：
1、 所设中间量过多，符号说明过于复杂。
2、 在模型建立过程中，假设了死亡人数与索赔人数之比以及注销人数与总投
保人数人数之比保持不变，因此使得模型只能做短期预测，在进行长期预测时会产生较大误差。

八 模型的推广与改进

参考文献
[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。
[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。
[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
附 录
附录一
2003到2010年汽车销量
年份
汽车销量（万辆）
2003年
325
2004年
439
2005年
507
2006年
576
2007年
722
2008年
879
2009年
938
2010年
1384

附录二