高考数学试题分类汇编专题直线与圆理.doc

2011年高考试题数学（理科）直线与圆
一、选择题:
1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．(，) B．(，0)∪(0，)
c．[，] D．(，)∪(，+)
答案：B
解析：曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，曲线表示过定点，与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应，由图可知，m的取值范围应是
2.(2011年高考重庆卷理科8)（8）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
（A） （B） （C） （D）
二、填空题:
1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【命题意图】本题考查直线方程、直线过定点、充分必要条件、存在性问题、命题真假的判定，考查学生分析、判断、转化、解决问题能力，此类问题正确的命题要给出证明，错误的要给出反例，此题综合性较强，难度较大.
【答案】①③⑤
【解析】①正确，设，当是整数时，是无理数，（，）必不是整点.
②不正确，设=，=－，则直线=过整点（1,0）.
③正确，直线经过无穷多个整点，则直线必然经过两个不同整点，显然成立；反之成立，设直线经过两个整点，，则的方程为，令=（），则∈Z，且=也是整数，故经过无穷多个整点.
④不正确，由③知直线经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点,设为，，则的方程为，
∵直线方程为的形式，∴，∴=，
∴，∈Q，反之不成立，如，则，若∈Z，则Z，即，∈Q，得不到经过无穷个整点.
⑤正确，直线=只过整点（1,0）.
2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为
解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分）
已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
【解析】（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以因为在椭圆上，因此 ①
又因为所以②；由①、②得
此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m，将其代入，得，
其中即 …………（*）
又
所以
因为点O到直线的距离为所以
，又
整理得且符合（*）式，
此时

综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，由（I）知
因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为

所以
即当且仅当时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：假设存在，
由（I）得

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
2. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.
【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知

化简得L的方程为

（2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得

解得
因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故
，若P不在直线MF上，在中有

故只在T1点取得最大值2。
3．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）
已知直线l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。
【命题意图】本题考查圆的方程、直线与圆相切知识、两直线的位置关系、直线与抛物线位置关系等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想，是中档题.
【解析】（I）由题意知(0, ),∵以点(2,0）为圆心的圆与直线相切与点,
∴==,解得=2，∴圆的半径=，
∴所求圆的方程为；
（II）∵直线关于轴对称的直线为，：，∈，
∴：，代入得，
==，
当＜1时，＞0，直线与抛物线C相交；
当=1时，=0，直线与抛物线C相切；
当＞1时，＜0，直线与抛物线C相离.
综上所述，当=1时，直线与抛物线C相切，当≠1时，直线与抛物线C不相切.
【点评】本题考查内容和方法很基础，考查面较宽，是很好的一个题.
4．(2011年高考上海卷理科23)（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；
（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中
，
是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②
6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① 。
② 。
③ 。
解：⑴ 设是线段上一点，则
，当时，。
⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，
则，点集由如下曲线围成
，
其面积为。
⑶ ① 选择，
② 选择。

③ 选择。