高考数学文科全国卷模拟试卷一.doc

2011年高考数学文科全国卷模拟试卷（一）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=Cpk(1－p)n-k
正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥侧=cl，
其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长
球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径
球的体积公式V=πR3，其中R表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2－2>0}，全集I=R，则A∩IB为
A.{x|x≥或x≤－} B.{x|x≥－1或x≤}
C.{x|－1≤x≤} D.{x|－≤x≤－1}
2.不等式log (x－1)>－1的解集为
A.{x|x>4} B.{x|x<4}
C.{x|1<x<4} D.{x|1<x<}
3.下列函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是
A.y=－4x B.y=4-x C.y=－4-x D.y=4x+4-x
4.在以下关于向量的命题中，不正确的是
A.若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥b
B.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且||=||
C.点G是△ABC的重心，则++=0
D.△ABC中，和的夹角等于180°－A
5.已知函数y=x3－3x，则它的单调增区间是
A.(－∞，0) B.(0，+∞)
C.(－1，1) D.(－∞，－1)及(1，+∞)
6.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，公比q≠1，那么
A.a32+a72>a42+a62 B.a32+a72<a42+a62
C.a32+a72=a42+a62 D.大小不确定
7.曲线y=x3+x－2的一条切线平行于直线y=4x－1，则切点P0的坐标为
A.(0，－2)或(1，0) B.(1，0)或(－1，－4)
C.(－1，－4)或(0，－2) D.(1，0)或(2，8)
8.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于
A.y轴对称 B.原点对称
C.直线x=1对称 D.关于y轴对称且关于直线x=1对称
9.已知(－ax+b)=2，则b的值为
A.0 B.4 C.－4 D.不确定
10.设f(x)、g(x)在［a，b］上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有
A.f(x)＞g(x) B.f(x)＜g(x)
C.f(x)+g(a)＞g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)＞g(x)+f(b)
11.如图，圆C：(x－1)2+(y－1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形(阴影部分)的面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为

12.函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足
A.a<0 B.0≤a<1 C.a=1 D.a>1
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校，每所小学至少得到2台，不同送法的种数共有__________种.
14.已知f(x)=|log3x|，当0<a<2时，有f(a)>f(2)，则a的取值范围是__________.
15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为__________.
16.设有四个条件：
①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；
②直线a∥b，a⊥平面α，b⊥平面β；
③a、b是异面直线，aα，bβ，且a∥β，b∥α；
④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线.
其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.已知tanA+tanB+=tanA·tanB·，
(1)求∠C的大小；
(2)若c=，△ABC的面积S△ABC=，求a+b的值.
18.(本小题满分12分)
已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
19.(本小题满分12分)
已知曲线C：x2－y2=1及直线L：y=kx－1.
(1)若L与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若L与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为，求实数k的值.
20.(本小题满分12分)
如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.

(1)求三棱锥P—ABC的体积V；
(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；
(3)求二面角A—PC—B的大小.
21.(本小题满分12分)
某水库水位已超过警戒水位(设超过的水量为P)，由于上游仍在降暴雨，每小时将流入水库相同的水量Q，为了保护大坝的安全，要求水库迅速下降到警戒水位以下，需打开若干孔泄洪闸(每孔泄洪闸泄洪量都相同).要使水位下降到警戒水位，经测算，打开两孔泄洪闸，需40小时；打开4孔泄洪闸，需16小时.现要求在8小时内使水位下降到警戒水位以下，问：至少需打开几孔泄洪闸？
22.(本小题满分14分)
函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式；
(2)当x∈［a+2，a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围.

参 考 答 案
仿真试题(一)

一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：由已知得A={x|x≥－1}，B={y|y＞或y＜－，IB={y|－≤y≤}，则A∩IB={x|－1≤x≤}，选C.
答案：C
2.解析：由已知得得1＜x＜4，选C.
答案：C
3.解析：关于y轴对称的规律是以－x代x，y代y，得所求函数为y=4-x，选B.
答案：B
4.解析：若点G是△ABC的重心，则有++=0，而C的结论是++=0，显然是不成立的，选C.
答案：C
5.解析：由y=x3－3x，得y′=3x2－3.令y′=0，得x=±1.列表:
y
(－∞，－1)
(－1，1)
(1，+∞)
y′
＞0
＜0
＞0
所以函数y=x3－3x的单调增区间为(－∞，－1)及(1，+∞)，选D.
答案：D
6.解析：取特殊数列验证：
根据题意取数列1，2，4，8，16，32，64(q＞1)，易证a32+a72>a42+a62；取数列64，32，16，8，4，2，1(0＜q＜1)，易证a32+a72>a42+a62，故选A.
答案：A
7.解析：由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.
∴切点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)，选B.
答案：B
8.解析：根据对称关系验证D正确，选D.
答案：D
9.解析：－ax+b
=
=.
∵(－ax+b)=2，
得得选B.
答案：B
10.解析：令F(x)=f(x)－g(x)，x∈［a，b］，
则F′(x)=f′(x)－g′(x)＞0.∴F(x)在［a，b］上是增函数.
又a＜x＜b，得F(a)＜F(x)＜F(b)，
即f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)＜f(b)－g(b).
得f(x)+g(a)＞g(x)+f(a)，选C.
答案：C
11.解析：当t=－时，S=0;当t≥时，S=π;
当t=0时，S=.对照图象知B符合题意，故选B.

答案：B
12.解析：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.解析：分为三种情况：①每所学校得3台电脑；②有两所学校各得2台电脑，一所学校得5台电脑；③有一所学校得2台电脑，一所学校得3台电脑，一所学校得4台电脑.
答案：10
14.解析：由f(a)＞f(2)，得|log3a|＞log32.
log3a＞log32或log3a＜－log32=log，
得a＞2或0＜a＜，又0＜a＜2，
∴0＜a＜.
答案：0＜a＜
15.解析：由已知S=，得q=.又－1＜q＜0得－1＜＜0.解之得1＜S＜2.
答案：1＜S＜2
16.解析：
① 不正确
② 正确
③ 正确
④ 不正确
故②③正确.
答案：②③
三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：(1)tanC=－tan(A+B)
=－
=－
=.
∵0°＜C＜180°，∴C=60°. 6分
(2)由c=及余弦定理，
得a2+b2－2abcos60°
=()2.
又由S△ABC=absin60°=，
整理得
∴(a+b)2=，即a+b=. 12分
18.解：∵a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，
∴(a+3b)·(7a－5b)=0，(a－4b)·(7a－2b)
=0. 4分
① ②
即
两式相减：a·b=|b|2，代入①得|a|2=|b|2. 8分
∴cosα==.∴α=60°，即a与b的夹角为60°. 12分
19.解：(1)曲线C与直线L有两个不同交点，则方程组有两个不同的解.
代入整理得：(1－k2)x2+2kx－2=0. 2分
此方程必有两个不等的实根x1，x2，
∴
解得－＜k＜且k≠±1时，曲线C与直线L有两个不同的交点. 6分
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线L与y轴交于点D(0，－1)，
∴
∵S△OAB=S△OAD+S△OBD
=|x1|+|x2|
=(|x1|+|x2|) (∵x1·x2＜0 8分
=|x1－x2|=，
∴(x1－x2)2=(2)2，即()2+=8.解得k=0或k=±.
∵－＜k＜，
∴k=0或k=±时，△OAB面积为. 12分
20.解：(1)∵PA⊥平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC.
在Rt△PAC中，可求出PC=5，则PB=BC=5.
取BC中点D，连AD.在等腰△ABC中，求出底边上的高AD=.
∴V=··5··3=. 4分
(2)连PD，则PD⊥BC，又AD⊥BC，
∴BC⊥平面PAD.又BC平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.
作AE⊥PD于E，则AE⊥平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段.
在Rt △PAD中，由PA·AD=AE·PD，即3·=AE·，求出AE=.8分

(3)作AF⊥PC于F，连EF，由三垂线逆定理，得EF⊥PC.
∠AFE为二面角A—PC—B的平面角.
在Rt△PAC中，由PA·AC=PC·AF，即3·4=5·AF，求出AF=，
∴sinAFE==·=. 12分
即二面角A—PC—B为arcsin.
21.解：设应打开n孔泄洪闸，每孔泄洪闸每小时的泄洪量为R，则有
7分
∴8n＞.从而n＞≈7.3.
答：至少要打开8孔泄洪闸. 12分
22.解：(1)设P(x0，y0)是y=f(x)图象上的点，Q(x，y)是y=g(x)图象上的点，则
∴∴－y=loga(x+2a－3a).
∴y=loga(x＞a)，即y=g(x)=loga(x＞a). 5分
(2)∵ ∴x＞3a.
∵f(x)与g(x)在［a+2，a+3］上有意义，∴3a＜a+2.∴0＜a＜1. 8分
∵|f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴|loga(x－3a)(x－a)|≤1恒成立.
∴a≤(x－2a)2－a2≤.
对x∈［a+2，a+3］时恒成立，令h(x)=(x－2a)2－a2，其对称轴x=2a，2a＜2，2＜a+2，
10分
∴当x∈［a+2，a+3］时，h(x)min=h(a+2)，h(x)max=h(a+3).
∴0＜a≤. 14分