高考真题——文科数学全国Ⅲ卷Word版含解析.doc

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2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B
【解析】由题意可得： .本题选择B选项.

2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B
【解析】由题意： .本题选择B选项.

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】A
【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；
本题选择A选项.

4．已知，则=
A． B． C． D．

【答案】A
【解析】 .
本题选择A选项.

5．设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是
A．–3,0] B．–3,2] C．0,2] D．0,3]

【答案】B
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 . 在点 处取得最大值 .
本题选择B选项.

6．函数f(x)= sin(x+)+cos(x−)的最大值为
A． B．1 C． D．

【答案】A
【解析】由诱导公式可得： ，
则： ,
函数的最大值为 .
本题选择A选项.

7．函数y=1+x+的部分图像大致为
A． B．
C． D．

【答案】D
【解析】当时，，故排除A,C,当时，，故排除B,满足条件的只有D,故选D.

8．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】D
【解析】若,第一次进入循环，成立，，成立，第二次进入循环，此时，不成立，所以输出成立，所以输入的正整数的最小值是2，故选D.

9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B． C． D．

【解析】如果，画出圆柱的轴截面

，所以，那么圆柱的体积是，故选B.

10．在正方体中，E为棱CD的中点，则
A． B． C． D．

【答案】C

11．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B． C． D．

【答案】A
【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A.

12．已知函数有唯一零点，则a=
A． B． C． D．1

【答案】C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，且a⊥b，则m= .

【答案】2
【解析】由题意可得： .

14．双曲线（a>0）的一条渐近线方程为，则a= .

【答案】5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为： ，结合题意可得： .

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=，c=3，则A=_________。

【答案】75°
【解析】由题意： ，即 ，结合 可得 ，则

16．设函数则满足的x的取值范围是__________。

【答案】
【解析】由题意得： 当时 恒成立，即；当时 恒成立，即；当时，即；综上x的取值范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前n项和.

18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
10，15）
15，20）
20，25）
25，30）
30，35）
35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

解：（1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于，从表中可知有54天，
∴所求概率为.
（2）的可能值列表如下：
最高气温
10，15）
15，20）
20，25）
25，30）
30，35）
35，40）

300
900
900
900
低于：；
：；
不低于：
∴大于0的概率为.

19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

（1）证明：取中点，连
∵，为中点，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
又∵，∴平面，平面，
∴.

20．（12分）
在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

解：(1)设，则是方程的根，
所以，
则，
所以不会能否出现AC⊥BC的情况。
（2）解法1：过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上，设圆心，则，由得，化简得，所以圆E的方程为，
令得，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，所以
所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值
解法2：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，
由可知原点O在圆内，由相交弦定理可得，
又，所以，
所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，为定值.

21．（12分）
已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．
（1）讨论的学%单调性；
（2）当a﹤0时，证明．

解：（1）
当时，，则在单调递增
当时，则在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当时，
，令 （）
则，解得
∴在单调递增，在单调递减
∴，∴，即，∴.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.

（1）直线的普通方程为
直线的普通方程为
消去k得 ，
即C的普通方程为.
（2）化为普通方程为
联立 得
∴
∴与C的交点M的极径为.

23．选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式≥1的解集；
（2）若不等式≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围.

（2）原式等价于存在，使
成立，即
设
由（1）知
当时，
其开口向下，对称轴
∴
当时
其开口向下，对称轴为
∴
当时，
其开口向下，对称轴为
∴
综上
∴的取值范围为 .
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