高中数学三角函数16三角函数模型的简单应用检测新人教A版.docx

第一章　1.6　三角函数模型的简单应用

A级　基础巩固
一、选择题
1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　D　)

A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为(　B　)
A．5 A B．2.5 A
C．2 A D．－5 A
[解析]　将t＝代入I＝5sin
得I＝2.5 A．
3．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的(　D　)

A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析]　与乙点的位置相差周期的点为丁点，故选D．
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　D　)
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
[解析]　由已知可得该函数的周期为T＝12，
ω＝＝，
又当t＝0时，A(，)，
∴y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
二、填空题
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos[(x－6)](x＝1,2,3，……，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃．
三、解答题
6．已知某地一天从4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin(x－)＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的温差；
(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解析]　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃；当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以温差为30－10＝20(℃)．
(2)∵4≤x≤16，
∴x－∈[－，]，
令15≤10sin(x－)＋20≤25，
∴－≤sin(x－)≤．
∴－≤x－≤．
∴≤x≤．
∴该细菌的存活时间为－＝(小时)．
B级　素养提升
一、选择题
1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　因为周期T＝，所以＝＝2π，
则l＝．
2．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为(　A　)

A．0 B．－5
C．10 D．－10
[解析]　由图知，A＝10，函数的周期
T＝2＝，
所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0．
3．据市场调查，某种商品一年内每年出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千克，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　A　)
A．f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(x－)(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin(x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N*)
[解析]　由题意，得A＝＝2，b＝7．
周期＝2×(7－3)＝8，
∴当x＝3时，y＝9，∵2sin(＋φ)＋7＝9．
∴sin(＋φ)＝1，π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝－．
∴f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N*)
二、填空题
4．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要__0.8__s往返一次．

[解析]　由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．
5．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为　y＝－6sinx　．

[解析]　将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，
∴ω＝＝，下面确定φ．
将(6,0)看成函数图象的第一特殊点，
则×＋φ＝0.∴φ＝－π．
∴函数关系式为：y＝6sin(x－π)＝－6sinx．
三、解答题
6．如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)．

(1)求这一天最大的温差；
(2)求这段曲线的函数解析式．
[解析]　(1)由图象得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，
则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．
(2)由(1)得
解得A＝5，b＝－7．
由图象得函数的周期T＝2(14－6)＝16，
则＝16，解得ω＝.所以y＝5sin－7．
由图象知点(10，－7)在函数的图象上，
则－7＝5sin－7，
整理得sin＝0，
又|φ|<，则φ＝－．
则这段曲线的函数解析式是
y＝5sin－7(6≤x≤14)．