直线和抛物线的位置关系宣教市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。一、直线和抛物线位置关系一、直线和抛物线位置关系方程组两组解方程组两组解相交相交方程组没有解方程组没有解相离相离方程组一组解方程组一组解相切相切若消元得到一次方程，若消元得到一次方程，直线和抛物线对称轴平行或重合直线和抛物线对称轴平行或重合,为相交关系为相交关系.若消元得到二次方程若消元得到二次方程,则则思索：只有一个交点一定是相切吗？思索：只有一个交点一定是相切吗？xOy第1页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。判断直线与抛物线位置关系操作程序判断直线与抛物线位置关系操作程序把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线直线与抛物线对称轴平行或重合对称轴平行或重合相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离第2页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例1 求过定点求过定点P（0，1）且与抛物线）且与抛物线 只有一个公共点直线方程只有一个公共点直线方程.由由 得得 故直线故直线 x=0与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.解解:(1)若直线斜率不存在若直线斜率不存在,则过点则过点P直线方程是直线方程是 x=0.由方程组由方程组 消去消去 y 得得(2)若直线斜率存在若直线斜率存在,设为设为k,则过则过P点直线方程是点直线方程是当当 k=0时，时，x=,y=1.故直线故直线 y=1 与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.y=kx+1,xyO当当k00时，若直线与抛物线只有一个公共点，则时，若直线与抛物线只有一个公共点，则此时直线方程为此时直线方程为总而言之，所求直线方程是总而言之，所求直线方程是 x=0 或或 y=1 或或第3页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。练习：练习：当当k为何值时为何值时,直线直线y=k x+1与抛物线与抛物线(1)相交相交,(2)相切相切,(3)相离相离?解：由方程组解：由方程组 消去消去 y，并整理得，并整理得当当K 0时，时，该方程是一元二次方程该方程是一元二次方程,所以所以总而言之，当总而言之，当k1时直线和抛物线相离时直线和抛物线相离.当当k=0时时，直线方程为，直线方程为y=1，与抛物线交于一点，与抛物线交于一点第4页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例2：在抛物线在抛物线 上求一点，使它到直线上求一点，使它到直线2x-y-4=0距离最小距离最小.解：设解：设P(x,y)为抛物线为抛物线 上任意一点，则上任意一点，则P到直到直线线2x-y-4=0距离距离 此时此时 y=1，所求点坐，所求点坐标为标为P(1,1).当且仅当当且仅当 x=1 时，时，第5页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。另解另解:观察图象可知观察图象可知,平移直线至与抛物线相切平移直线至与抛物线相切,则切点则切点即为所求即为所求.联立联立 得得 设切线方程为设切线方程为 2x-y+C=0，由由 得得 C=-1又由（又由（）得）得 x=1x=1，y=1.y=1.故所求点坐标是（故所求点坐标是（1 1，1 1）.点评：此处用到了数形结合方法点评：此处用到了数形结合方法.2x-y-4=0 xyOp第6页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。1.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点直线有(）（A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条 C C.P互动练习第7页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。2.2.在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+3y+46=04x+3y+46=0距离距离最短，并求此距离。最短，并求此距离。分析：分析：抛物线上到直线距离最短点，是和此直线抛物线上到直线距离最短点，是和此直线平行切线切点。平行切线切点。yx y2=64x 4x+3y+46=0解解：无实根无实根直线与抛物线相离直线与抛物线相离设与设与4x+3y+46=0平行且与平行且与y2=64x相切直相切直线方程为线方程为y=-4/3 x+bLP第8页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。则由则由y=-4/3 x+by2=64x消消x化简得化简得y2+48y-48b=0=482-4(-48b)=0b=-12切线方程为：切线方程为：y=-4/3 x-12y=-4/3 x-12 y2=64x解方程组解方程组得得 x=9 y=-24切点为切点为P（9，-24）切点切点P到距离到距离d=抛物线抛物线y2=64x到直线：到直线：4x+3y+46=0有最短距离点有最短距离点为为P（9，-24），最短距离为），最短距离为2。第9页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。3、斜率为斜率为1直线直线L经过抛物线经过抛物线 焦点焦点F,且且与抛物线相交于与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB长长.y2=4x第10页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第11页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。二、抛物线焦点弦性质二、抛物线焦点弦性质例例1.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)焦点一条直线和焦点一条直线和抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线若直线AB倾斜角为倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2(5)以以AB为直径圆与准线相切为直径圆与准线相切.(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影张角为在准线上射影张角为90o。xOyABF第12页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)焦点一条直线和抛物线相交焦点一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2p第13页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。AXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p0)焦点一条直线和抛物线相交焦点一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径圆与准线相切为直径圆与准线相切.故以故以AB为直径圆与准线相切为直径圆与准线相切.第14页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p0)焦点一条直线和抛物线相交焦点一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影张角为在准线上射影张角为90o。123456第15页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。过抛物线过抛物线y2=2px(p0)焦点一条直线和抛物线相交焦点一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证实：思绪分析：韦达定理证实：思绪分析：韦达定理xOyABF第16页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。xOyABF第17页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。F过抛物线过抛物线y2=2px(p0)焦点一条直线和抛物线相交焦点一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法法3：利用性质焦点：利用性质焦点F对对A、B在准线上射影张角为在准线上射影张角为90。第18页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。代入抛物线得代入抛物线得y2ms，练习练习(1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证实：设证实：设AB 方程为方程为=ms（m）(2).若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点求证：直线过定点(s,0)(s0)证实证实：lyy2=2pxAMxB第19页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则则直线过定点直线过定点 M(s,0)，(s0)x1x2=s2;y1y2=-2ps.（1）M为焦点，即过（为焦点，即过（p/2，0）x1x2=p2/4;y1y2=-p2.（2）M过（过（p，0）x1x2=4p2;y1y2=-4p2.x1x2=p2;y1y2=-2p2.（3）M过（过（2p，0）（4）M过（过（3p，0）x1x2=9p2;y1y2=-6p2.（5）M过。过。抛物线对称轴上主要结论lyy2=2pxAMxB第20页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。过抛物线过抛物线y2=2px(p0)焦点一条直线和抛物线相交焦点一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB倾斜角为倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 xOyABF证实证实:思绪分析思绪分析|AB|=|AF|+|BF|=思索：焦点弦何时最短？思索：焦点弦何时最短？过焦点全部弦中，通径最短过焦点全部弦中，通径最短第21页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)焦点一条直线和抛物线相交焦点一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则第22页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)焦点焦点F一条直线和抛物一条直线和抛物线相交于线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线对称轴平行于抛线对称轴.xyFABCO第23页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例2.过抛物线y2=2px(p0)焦点F一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.(高考题)xyFABCO第24页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上上两点，且两点，且OAOB，1.求求A、B两点横坐标之积和纵坐标之积；两点横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；3.求弦求弦AB中点中点P轨迹方程；轨迹方程；4.求求AOB面积最小值；面积最小值；5.求求O在在AB上射影上射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中直角三角形问题二、抛物线中直角三角形问题第25页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上两点，且上两点，且OAOB，(1)求求A、B两点横坐标之积和纵坐标之积；两点横坐标之积和纵坐标之积；解答解答 (1)设设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点，中点P(x0,y0)，OAOB kOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10,y20,y1y2=4p2 x1x2=4p2.第26页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上两点，且上两点，且OAOB，(2)求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；解答解答(2)y12=2px1，y22=2px2(y1 y2)(y1+y2)=2p(x1 x2)AB过定点过定点T(2p,0).第27页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。同理，同理，以代以代k得得B(2pk2,-2pk).例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上两点，且上两点，且OAOB，(3)求弦求弦AB中点中点P轨迹方程；轨迹方程；即即 y02=px0-2p2，中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2=px-2p2(3)设设OA y=kx，代入，代入y2=2px 得得:k 0，第28页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(4)当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立.例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上两点，且上两点，且OAOB，(4)求求AOB面积最小值；面积最小值；第29页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(5)法一：设法一：设M(x3,y3),则则 例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上两点，且上两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上射影上射影M轨迹方程轨迹方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2，整理得：整理得：x32+y32-2px3=0，点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(0,0).第30页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。M在以在以OT为直径圆上为直径圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉去掉(0,0).评注：这类问题要充分利用评注：这类问题要充分利用(2)结论结论.OMT=90,又又OT为定线段为定线段法二：法二：AB过定点过定点T(2p,0).7.7.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上两点，且上两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上射影上射影M轨迹方程轨迹方程.第31页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。小结：小结：在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性忽略。所以，在求出曲线方程之后而仔细检验有无“不法分子”掺杂其中，应将其剔除；其次又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”，应将其找回。第32页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。四、点与抛物线四、点与抛物线点点P(x0,y0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)位置关系及判位置关系及判断方法断方法.1.点在抛物线外点在抛物线外2.点在抛物线上点在抛物线上3.点在抛物线内点在抛物线内y02-2px00y02-2px0=0y02-2px0 即4 第34页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。.FM第35页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第36页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第37页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。l l1 1l l2 2【例题例题5 5】如图所表示，直线如图所表示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点为端点曲线段曲线段C C上任一点到上任一点到L L1 1距离与到点距离与到点N N距离相等，距离相等，为锐角三角为锐角三角形，形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C方程。方程。B BA AM MN N分析：分析：1.1.怎样选择适当坐标系。怎样选择适当坐标系。2.2.能否判断曲线段是何种类型曲线。能否判断曲线段是何种类型曲线。3.3.怎样用方程表示曲线一部分。怎样用方程表示曲线一部分。第38页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。如图所表示，直线如图所表示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点为端点曲线段曲线段C C上任一点到上任一点到L L1 1距离与到点距离与到点N N距离相等，距离相等，为锐角三角为锐角三角形，形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C方程。方程。l l1 1l l2 2y yx xD D解法一：3=DANACNRt中，中，由图得，由图得，C CB BA AM MN N曲线段曲线段C C方程为：方程为：即抛物线方程：即抛物线方程：建立如图所表示直角坐标系，原点为建立如图所表示直角坐标系，原点为O(0,0)O，第39页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。如图所表示，直线如图所表示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点为端点曲线段曲线段C C上任一点到上任一点到L L1 1距离与到点距离与到点N N距离相等，距离相等，为锐角三角形，为锐角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C方程。方程。l l1 1l l2 2y yx xD DC CB BA AM MN N解法二：曲线段曲线段C C方程为：方程为：建立如图所表示直角坐标系，原点为建立如图所表示直角坐标系，原点为O(0,0)O第40页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。y yx xB BA AM MN NC CD D建立如图所表示直角坐标系，原点为解法三：Q曲线段曲线段C C方程为：方程为：3=DANACNRt中，中，第41页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。xyAPMN第42页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。.F第43页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。（1 1）直线）直线l l过抛物线过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦点且与焦点且与x x轴垂直，轴垂直，若若l l被抛物线截得线段长为被抛物线截得线段长为6 6，则，则p=_p=_3xyOy y2 2=2px=2pxABl第44页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(2)(2)已已知知抛抛物物线线方方程程 =8x,=8x,则则它它焦焦点点坐坐标标为为_,_,准准线线方方程程为为_，若若该该抛抛物物线线上上一一点点到到y y轴轴距距离离等等于于5 5，则则它它到到抛抛物物线线 焦焦点点距距离离为为_，若该抛物线上一点若该抛物线上一点M M到焦点距离等于到焦点距离等于4,4,则则M M坐标为坐标为_._.(2,0)x=-2-27 7(2,4),(2,-4)MH(2,0):x=-2(2,0)pQH:x=-2第45页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。（3 3）抛物线顶点在原点，）抛物线顶点在原点，对称轴为对称轴为y y轴，焦点在轴，焦点在 x+2y-12=0 x+2y-12=0上，上，则它方程为则它方程为_._.xyF(0,6)oL:x+2y-12=0（4 4）抛物线）抛物线y2=2x上两点上两点A A、B B到焦点距离和为到焦点距离和为5 5，则线段，则线段ABAB中点到中点到y y轴距离是轴距离是_._.x2=24yxyOFL:x=-BAMDCN2第46页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(5)一抛物线拱桥，当拱顶离水面一抛物线拱桥，当拱顶离水面2 2米时，水面宽米时，水面宽 4 4米，则当水面下降米，则当水面下降1 1米后，水面宽米后，水面宽_米。米。xyOlGB(2,-2)(-2,-2)A2CDH221x2=-2-2y第47页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第48页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第49页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第50页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。8.8.A A、B B是抛物是抛物线线y y2 22 2pxpx(p p0)0)上两点，且上两点，且OAOAOBOB.(1)(1)求求A A、B B两点横坐两点横坐标标之之积积和和纵纵坐坐标标之之积积；(2)(2)求求证证：直：直线线ABAB恒恒过过定点；定点；(3)(3)求弦求弦ABAB中点中点P P轨轨迹方程；迹方程；(4)(4)求求AOBAOB面面积积最小最小值值【解解析析】设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，中中点点P P(x x0 0，y y0 0)第51页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第52页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第53页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第54页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第55页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第56页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第57页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第58页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第59页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第60页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第61页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第62页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。已已知知抛抛物物线线 焦焦点点为为F，其其准准线线与与x轴轴交交于于点点M，过过点点M作作斜斜率率为为k直直线线l交交抛抛物物线线于于A、B两两点点，弦弦AB中中点点为为P，AB垂直平分线与垂直平分线与x轴交于点轴交于点E（O）.（1）求）求k取值范围（取值范围（2）求证：）求证：（3）PEF能能否否成成为为以以EF为为底底等等腰腰三三角角形形？若若能能，求求出出k值，若不能，请说明理由值，若不能，请说明理由.解：由题设有解：由题设有 （1）设）设令令（2）设）设AB中点为中点为 AB垂直平分线方程为垂直平分线方程为 令令 （3）是以是以EF为底等腰三角形为底等腰三角形.PEF能组成以能组成以EF为底等腰三角形，此时为底等腰三角形，此时第63页