星图的强连通度.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics A?,2024,13(3),1080-1098Published Online March 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aamhttps:/doi.org/10.12677/aam.2024.133102(?r=?-=“O?vF2024c2?27FF2024c3?21FuF2024c3?28F?nE,K?)?nX?5U?5?pN?nXp?.?(?p?nX?5U3?nm&Uu)?X?N5-?D?:5?n?5?&?K3d?eJ?r5#N?n&?3p?O?5n(Snp?k|?(
2、?kN?5d?Sn?r59rg,5cp?rrg,5(The Strong Connectivity ofStar GraphsHuiying Zhang,Shiying WangSchool of Mathematics and Computer Science,Shanxi Normal University,Taiyuan ShanxiReceived:Feb.27th,2024;accepted:Mar.21st,2024;published:Mar.28th,2024:=,?-=.(?rJ.A?,2024,13(3):1080-1098.DOI:10.12677/aam.2024.13
3、3102=?-=AbstractThe processing of large amounts of data and the solution of complex problems areincreasingly demanding the performance of multiprocessor systems.Many multipro-cessor systems use interconnected networks as the underlying topology.Interconnectnetworks determine the performance of multi
4、processor systems.In systems whereprocessors and the communication links between them are likely to fail,it is impor-tant to consider the fault tolerance of the network.Traditional connectivity is onlyfor processor failure,and edge connectivity is only for communication link failure.Inthis context,t
5、he strong connectivity of the network is proposed,which allows simulta-neous failure of the processor and communication link.One of the most fundamentalconsiderations in the design of an interconnected network is the connectivity of thenetwork.The n-dimensional star graphs Snhas many excellent prope
6、rties as a favor-able topology for interconnected networks.Therefore,we give the strong connectivityof Snand strong natural connectivity.KeywordsInterconnection Network,Strong Connectivity,Strong Nature Connectivity,Star GraphCopyright c?2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed
7、 under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.?nE,K?)?nX?5U?5?pN?nXp?(?).?dp?2?p?NX(?LG!:(:)L?n?()L?nm?&?p?nX?5U3!:9Uu)?X?N5-?.?N5?!:?()?U?5?3d?eJ?r5u?r5#N!:?3p?O?5?D5DOI:10.12677/aam.2024.1331021081A?=?-=#N!:?5#N?d?r5?9?r5?5p?G=
8、(V(G),E(G)V(G)=v1,v2,.,vn“L?G?:8E(G)=e1,e2,.,en“LXG?8:veO“LXp?n?nm?&uG?:vNG(v)5L:v?=v?:8-NGv=NG(v)vEG(v)Lv?8-U V(G)G?:f8NG(U)=SvUNG(v)UL:8U?-V0 V(G)G?:f8dV0p?5?fGV0:8V08G?:3V0?k8?8dG(v)5L:v3G?(G)=mindG(v)|v V(G)LG?3GXJ?:v?koGk?KXJdG(v)=0Kv?:-G=(V(G),E(G)KG?5(5)(G)(G)?)?:()?8XJG F?:oFG?:F V(G)uF E(G)
9、XJGF?oFG?8F V XJuV F?z:xk|NG(x)(V F)|gKFg-?8?G F?g-?8?G?g-?g-?G?g-?(g)(G)LXJG F?z|?kg+1:K?8F V(G)g-?8?GF?g-?8?G?g-?g-?G?g-?(g)(G)L(?y?nX?-11(k!:$!?!Np?A:(?5?2X?24rMenger3,556,7(?8,910?iK11,12?d?3z13WanggJ?r5?Vg?.(?rg,?n 4Sn?r5?k?Sn?3d:LSn?k?:?1?Ol?Sn?;5!5?2(r5?r;5?(?rg,5!r;g,5?(kr5?kVg53e2.?3 12np1p
10、2pn!i pi?Bp1p2pnL 12np1p2pn!z?LX 123231!=(123)AO/12n12n!=(1)?k?EX(12)(13)=(132)ud?vk?K1e(Sn?10?(Snkn!:z:kx=x1x2.xnDOI:10.12677/aam.2024.1331021082A?=?-=?/1 xi nu?1 i,j nkxi6=xj$“”T$?x=y (i,j)Xx=x1x2xixjxnoy=x1x2xjxixnx,y V(Sn)?:x,y V(Sn)(x,y)E(Sn)?=?x=y (1,i)2 i n(2)SnynfS1nS2nSnnzSin3IiG?k?izSin?uS
11、n11 i n5SnA?Cayley(S4X 1Figure 1.The star graph S4 1.(S42.1(13)?G=(V,E)XJ(G F)gKr?8F V Erg-?8?G F?rg-?8F?G?rg-?rg-?G?rg-?(g)(G)LeGkrg-?KGrg-?G?r0-?G?rP(G)G?r1-?G?rg,Pn(G)eF EKG?rg,G?rg,Ln(G)b?g0 gXJGrg0-?oGkrg0-?Fd?(G F)g02(g0 gk(G F)gdGrg-?ddkenn2.2(13)-g0 gGrg0-?o(g0)(G)(g)(G)2.3(13)?G=(V,E)XJGF?z
12、|?kg+1:Kr?8F V E rg-?8?GF?rg-?8F?G?rg-?rg-?G?rg-?(g)(G)LeGkrg-?KG rg-?b?g0 gXJGrg0?oGkrg0-?FdDOI:10.12677/aam.2024.1331021083A?=?-=?G F?z|?kg0+1:2(g0 gkG F?z|?kg+1:dGrg-?ddkenn2.4(13)-g0 gGrg0-?o(g0)(G)(g)(G)n2.5(13)-Grg-?o(g)(G)(g)(G)n2.6(13)-Grg-?o?g=01k(g)(G)=(g)(G)3b?n 4?IiGiSn?1y1 i nEi,j(Sn)=E
13、Sn(V(Sin),V(Sjn)i,j 1,ni 6=ju?x V(Sin)x+=x(1,n)x?-N(x):x3Sn?k?Snke5K1(1)?n 1Snn 1?K?:D4D4?K2(13)?n 2Sn?K3(14)?n 3Sn?6K4(14)?n 2(Sn)=(Sn)=n 1K5(13)?i,j 1,ni 6=j|Ei,j(Sn)|=(n 2)!K6(15)?x,y V(Sn)exy?Kvk?=|N(x)N(y)|=0exy?Kk?=|N(x)N(y)|1K7(15)?x,y V(Sin)i 1,nkx+6=y+3.Sn?r;5n3.1?n 3(Sn)=n 1y-FSn?reF V(Sn)
14、K4k|F|=n 1eF E(Sn)K4k|F|=n 1?Tn?(J3db?n 3F*V(Sn),F*E(Sn)-Fv=F V(Sn)Fv6=-Fe=F E(Sn)Fe6=b?FSn?r|F|n 2|Fv|n 3dK4?Sn Fv?FeSn Fv?SnFvFek|-|Fe|=in 3n!|Fv|n!(n2i)2(i+1)d3SnFvFek|C?|V(C)|i+13C-:8Vcd3SnFvFe?:?d|Vc|Fe|=idu|Vc|+|Fv|Fv|+|Fe|=|F|n 2?K4?Sn Fv Fe?FSn?rg?|F|n 1-u=(1)v=(12)-F=(1,i):3 i n uvKFSn?rd(S
15、n)n 1(Sn)n 1k(Sn)=n 1XJG?z?:FU?5:KG?d?eG Fk|?:KG;|F|?n3.2?n 4Sn;(n 1)?DOI:10.12677/aam.2024.1331021084A?=?-=y-FSn?:dK4|F|=n 1-Fi=F V(Sin)i 1,n|F1|F2|Fn|-Sn F?n?1a?(1)n=4?n=4|F|=n 1=3Si4=S3Ie1|F1|=1d|F1|F2|F3|F4|F1|=|F2|=|F3|=1|F4|=0dK4Si4 Fi?i 1,4qdK5?fSi4mk(n 2)!=2?KS4V(Si4 Fi)V(S44 F4)?i 1,3dS4 F?
16、g2|F1|=2d|F1|F2|F3|F4|F2|=1|F3|=|F4|=0dSi4=S3K4Si4 Fi?i 2,4dK5K7 S4V(S24 F2)V(S34 F3)V(S44 F4)?d|F1|=2S14 F1?k|K2k|?:eS14 F1?k|K2dK5S4 F?geS14 F1k|?:ueu+=F2KS4V(S14 u F1)V(S24F2)V(S34 F3)V(S44 F4)?dS4 Fk|?:ueu+6=F2KS4 F?g3|F1|=3d|F1|F2|F3|F4|Fi|=0i 2,4dSi4=S3K4Si4 Fi?i 2,4dK5S4V(S24 F2)V(S34 F3)V(S4
17、4 F4)?qdK5|E1,i(Sn)|=2i 2,4dd|F1|=3S4 F?g(2)n 5un=4(dn?18Bb?b?n 5uSn1(J=eFSn1?:|F|=n 2Sn1 Fk|?:y3Sn?1|F1|n 3d|F1|n3|Fi|n3i 1,ndK4SinFi?i 1,nqdK5?fSinmk(n 2)!?qn 5K(n 2)!2n 6|Fi|+|Fj|i 6=ji,j 1,ndK7SnV(Sin Fi)V(Sjn Fj)?i 6=ji,j 1,ndSn F?g2|F1|=n 2d|F1|=n 2|F2|=1|Fi|=0i 3,ndK4K5SnV(S2nF2)V(S3n F3)V(Sn
18、n Fn)?b?S1n F1?dn 5|Ei,j(Sn)|=(n 2)!n 1|Fi|+|Fj|i 6=ji,j 1,nKSn F?gl?S1n F1?d8Bb?S1n F1k|?:vev+=F2(SnV(S1n v F1)V(S2n F2)V(S3n F3)V(Snn Fn)?KSn FkDOI:10.12677/aam.2024.1331021085A?=?-=|?:ev+6=F2KSn F?g3|F1|=n 1d|F1|=n1|Fi|=0i 2,ndK4K5SnV(S2nF2)V(S3nF3)V(SnnFn)qdSn?S1nF1?z:k1?dSnF?gn?Sn;(n 1)?XJG?z?F
19、U?5:KG;|F|?n3.3?n 4Sn;(n 1)?y-FSn?dK4|F|=n 1-Fi=F E(Sin)i 1,n|F1|F2|Fn|?CSnk?8-Fc=F Cen?1a?(1)n=4?n=4|F|=n 1=3Si4=S31|F1|1d|F1|F2|F3|F4|Fi|1i 1,4dSi4=S3K4Si4 Fi?i 1,4qdK5?fSi4mk(n 2)!=2?5|F|=3”5b?|Fc E1,2(S4)|=2|Fc|31fk:?k(n 1)!=6dK5S4V(S14 F1)V(Sj4 Fj)Fc?j 3,4q/S4V(S24 F2)V(Sj4 Fj)Fc?j 3,4dS4 F?FS4
20、?g-|Fc Ei,j(S4)|=2i,j 1,4i 6=jaq/S4 F?g2|F1|=2d|F1|=2?|Fi|1|Fc|1i 2,4dSi4=S3K4Si4 Fi?i 2,4qdK5S4V(S24 F2)V(S34 F3)V(S44 F4)Fc?d|F1|=2S14 F1?KS14 F1k|?:k?|b?S14 F1k|?:ve|Fc|=1vKS4V(S14 v F1)V(S24 F2)V(S34 F3)V(S44 F4)Fc?dS4 Fk|?:ve|Fc|6=1v|Fc|=0KS4 F?gb?S14 F1k?|qd|Fc|1S4 F?g3|F1|=3d|F2|=|F3|=|F4|=|F
21、c|=0dK4K5S4 F?g(2)n 5(3n=4n?18Bb?n 5(Sn1=eFSn1?|F|=n 2KSn1 Fk|?:eSn?DOI:10.12677/aam.2024.1331021086A?=?-=1|F1|n 3d|F1|n 3|Fi|n 3i 1,n|Fc|n 1dK4Sin Fi?i 1,nqdK5?fSinmk(n 2)!?(n 2)!n 1|Fc|n 5KSnV(Sin Fi)V(Sjn Fj)Fc?i,j 1,ni 6=j?Sn F?g2|F1|=n 2d|F1|=n 2|Fi|1i 2,n|Fc|1dK4Sin Fi?i 2,nqdK5?fSinmk(n 2)!?(
22、n 2)!1n 5SnV(S2n F2)V(S3n F3)V(Snn Fn)Fc?du|F1|=n2S1n=Sn1b?S1nF1?KSnF?gl?S1nF1?d8Bb?S1n F1k|?:ve|Fc|=1vKSnV(S1nv F1)V(S2nF2)V(SnnFn)Fc?dSnFk|?:e|Fc|=1v|Fc|=0KSn F?g3|F1|=n 1d|F2|=|F3|=|Fn|=|Fc|=0dK4K5Sn F?gn?Sn;(n 1)?XJG?z?rFU?5:KGr?d?eG Fk|?:KGr;|F|?n3.4?n 4Snr;(n 1)?y-FSn?rdn3.1|F|=n 1-Fi=F V(Sin)
23、Fei=F E(Sin)i 1,n|F1 Fe1|F2 Fe2|Fn Fen|?CSnk?8-Fc=F Cn?1a?(1)n=4?n=4|F|=n 1=3(n 2)!=2|Fc|3(n 2)!=21|F1 Fe1|1du|F1 Fe1|1K|Fi Fei|1i 1,4|Fc|3dn3.1Si4 Fi Fei?i 1,4qdK5?fSi4mk(n 2)!=2?5|F|=3”5b?|Fc E1,2(S4)|=2|Fc|31fk:?k(n 1)!=6dK5S4V(S14 F1 Fe1)V(Sj4 Fj Fej)Fc?j 3,4q/S4V(S24F2Fe2)V(Sj4FjFej)Fc?j 3,4dS4
24、 F?FS4?rg-|Fc Ei,j(S4)|n 5(n 2)!n 1?SnV(Sin Fi Fei)V(Sjn Fj Fej)Fc?i,j 1,ni 6=jdSn F?g2|F1 Fe1|=n 2du|F1Fe1|=n2K|FiFei|1i 2,n|Fc|1dn3.1SinFiFei?i 2,n|F2 Fe2|+|F3 Fe3|+|Fn Fen|+|Fc|=1dK4K5SnV(S2nF2Fe2)V(S3nF3Fe3)V(SnnFnFen)Fc?du|F1Fe1|=n2d8Bb?S1nF1Fe1?k|?:b?S1nF1Fe1?|F1 Fe1|=n 2dK7|N(V(S1n F1 Fe1)(V(
25、S2n)V(S3n)V(Snn)|(n 1)!(n 2)1n 5(|F2 Fe2|+|F3 Fe3|+|Fn Fen|+|Fc|=1Sn F?gb?S1n F1 Fe1k|?:vXJ|Fc|=1FcvKSnFk|?:XJ|Fc|=1FcvKSnF?gXJ|Fc|=0|Fi|=1i 2,neFiv?KSnFk|?:eFiv?KSn F?g3|F1 Fe1|=n 1d|F1Fe1|=n1|FiFei|=0i 2,n|Fc|=0dn3.1SinFiFei?i 2,nqdK5?fSinmk(n 2)!?DOI:10.12677/aam.2024.1331021088A?=?-=n 5(n2)!0SnV
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