椭圆方程五点格式的迭代法与快速算法的比较.pdf
《椭圆方程五点格式的迭代法与快速算法的比较.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《椭圆方程五点格式的迭代法与快速算法的比较.pdf(10页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报
2、保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报
3、保山学院学报保山学院学报椭圆方程五点格式的迭代法与快速算法的比较焦岑孙唯唯聂家升(苏州大学应用技术学院 通识教育学院,江苏 苏州 215325)摘要 主要讨论在椭圆方程五点格式的问题中,分别使用Gauss-Seidel迭代法与快速Poisson算法对其求解,并对二者求解该线性方程组的速度进行比较。在系数矩阵是稀疏的大型线性方程组中,迭代法是一个很好的求解该类型的算法,主要是因为给定一个初始向量,通过一定的迭代公式,可以求得之后任意一次迭代的结果,且运算简便,但是,对于迭代法所求得的近似解是否收敛于精确解,并且,在线性方程组有快速算法的情况下,迭代法是否还能在求解方程组中占优势,还需进一步比较。
4、通过比较不同的系数、不同的步长以及不同的误差要求,来判断Gauss-Seidel迭代法与快速Poisson算法的优劣。关键词 椭圆方程五点格式;Gauss-Seidel迭代法;快速Poisson算法中图分类号 O13文献标识码 Adoi:10.3969/j.issn.1674-9340.2024.02.009文章编号 1674-9340(2024)02-0056-10收稿日期:2023-09-19基金项目:2022年江苏省哲社一般项目“基于OBE-CDIO教育理念的新工科大学数学课程体系重构与教学内容改革研究”(项目编号:2022SJYB1538)。第一作者简介:焦岑(1996),女,汉族,江
5、苏扬州人,硕士,讲师,研究方向为应用统计分析研究。1 背景介绍本文从椭圆方程五点格式问题出发,对其分别使用Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法进行求解,并将迭代法与快速算法的速度进行比较,深入探究迭代法是否更方便,从而为以后的解题拓展新的思路。由于此问题一方面涉及偏微分方程,而另一方面又涉及数值计算,大多数文献都只是考虑了一半的内容,因此,探究该问题就显得特别地重要,主要是因为当所需求解的线性方程组的系数矩阵是大型稀疏矩阵时,迭代法是求其解的一个重要方法1-2,6-7。此外,比较Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法对于求解大型线性方程组的快慢,了解迭代法的优
6、势与不足,可以为今后考虑问题提供一个指路灯。综上所述,探讨迭代法对于解决问题有着切实可行的意义。而用迭代法与快速算法进行比较,了解迭代法的特点,也为改进迭代法作了铺垫。大多数文献在关于椭圆方程五点格式的问题上,主要都是从概念的意义上去理解,很难求得精确解,而且没有直观的数据显示。因而讨论椭圆方程五点格式的Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法的比较,就显得尤为重要。一方面,数值解比概念上的描述显得更为直观有效,更有说服力;另一方面,椭圆问题的实现,为今后探讨其他偏微分方程问题,提供了一个借鉴,即使是大型线性矩阵,也能从数值解上判断优异,更有利于解决一些实际的问题。从椭圆方程五点
7、格式入手,主要通过使用Gauss-Seidel迭代法以及使用快速Poisson算法计算不同条件下的误差。通过修改不同的步长M2、M1,不同的系数来探究Gauss-Seidel迭代法与快速Poisson算法的优劣。2 预备知识2.1 椭圆方程的介绍本文中,考虑的是二维Poisson方程在Dirichlet边值条件下的问题焦岑,孙唯唯,聂家升:椭圆方程五点格式的迭代法与快速算法的比较u-u=f()x,y,()x,y (2.1.1)u=()x,y,()x,y (2.1.2)其中,u=2ux2+2uy2。为简单起见,只考虑为正方形区域=()x,y|0 x 2,0 y 2。2.2 差分格式的建立首先,把
8、横轴上的区间0,2进行M2等分,记h2=2/M2为x方向的步长,且有xi=0+ih2,0i M2,然后,把纵轴上的区间0,2进行M1等分,记h1=2/M1为y方向的步长,且有yj=0+jh1,0 j M1。接着,用两簇等距的平行线3x=xi,0i M2,y=yj,0 j M1,将区域划分成M2 M1个小矩形,以两簇直线的交点为结点(xi,yj)。记h=(xi,yj)|0 i M2,0 j M1为属于的结点,其中,h=(xi,yj)|1 i M2-1,1 j M1-1,被称为h的内结点,而称位于上的结点为边界结点,且有h=hh。显然,有h=h h。为方便来看,记=(i,j)|(xi,yj)h,=
9、(i,j)|(xi,yj)h记Sh=v|v=vij|0 i M2,0 j M1为h上的网格函数,设v=vij|0 i M2,0 j M1 Sh,引进如下记号:Dxvij=1M2(vi+1,j-vij),Dx vij=1M2(vi,j-vi-1,j),Dyvij=1M1(vi,j+1-vij),Dy vij=1M1(vi,j-vi,j-1),2xvij=1M2(Dxvij-Dx vij),2y=1M1(Dyvij-Dy vij),v=max|vij|,称 v为v的无穷范数。在结点处考虑边值问题u-u=f()x,y,(x,y),u=()x,y,(x,y)则有u()xi,yj-2ux2()xi,yj
10、+2uy2()xi,yj=f()xi,yj,(i,j)(2.2.1)u()xi,yj=()xi,yj,()i,j (2.2.2)定义h上的网格函数U=Uij|0 i M2,0 j M1其中Uij=u()xi,yj,0 i M2,0 j M1引理1:如果g(x)C4c-h,c+h,则有g()c=1h2g()c+h-2g()c+g(c-h)-h212g()4()4,c-h 4 c+h由引理1,有2ux2()xi,yj=1h22u()xi-1,yj-2u()xi,yj+u()xi+1,yj-h22124u()ij,yjx4=2xUij-h22124u()ij,yjx4,xi-1 ij xi+12uy
11、2()xi,yj=1h21u()xi,yj-1-2u()xi,yj+u()xi,yj+1-h21124u()xi,ijy4=2yUij-h21124u()xi,ijy4,yi-1 ij 0,则由(2.3.2)知,存在(i0,j0)使得|ui0,j0=M,且|ui0-1,j0,|ui0+1,j0,|ui0,j0-1,|ui0,j0+1中至少有一个小于M。考虑(1.3.1)中()i,j=()i0,j0的等式,有()+2h22+2h21ui0,j0=1h22()ui0-1,j0+ui0+1,j0+1h21()ui0,j0-1+ui0,j0+1将上式两边取绝对值,可得()+2h22+2h21M 1h2
12、2()|ui0-1,j0+|ui0+1,j0+1h21()|ui0,j0-1+|ui0,j0+1 0,所以上式与假设M 0矛盾。故M=0。因而差分格式(2.2.6),(2.2.7)是唯一可解的。2.4 差分格式的求解差分格式(2.2.6),(2.2.7)是以uij|1 i M2-1,1 j M1-1为未知量的线性方程组。(2.2.6)可以改写为-58焦岑,孙唯唯,聂家升:椭圆方程五点格式的迭代法与快速算法的比较1h22ui-1,j-1h21ui,j-1+()+2(1h22+1h21)ui,j-1h22ui+1,j-1h21ui,j+1=f()xi,yj1 i M2-1,1 j M1-1(2.4
13、.1)记uj=u1ju2juM2-1,j,0 j M1利用(2.2.7)可将(2.4.1)写为Duj-1+Cuj+Duj+1=fj,1 j M1-1(1.4.2)其中C=+2()1h22+1h12-1h22-1h22+2()1h22+1h12-1h22-1h22+2()1h22+1h12-1h22-1h22+2()1h22+1h12D=-1h12-1h12-1h12-1h12,fj=f()x1,yj+1h22()x0,yjf()x2,yjf()xm-2,yjf()xm-1,yj+1h22()xm-2,yj可进一步可以写为CDDCDDCDDCu1u2uM1-2uM1-1=f1-Du0f2fM1-
14、2fM1-1-DuM1由上式可以看出,它是一个大型的线性方程组,系数矩阵是一个三对角矩阵,且矩阵的每一行至多有5个非零元素。在数学上,称这种系数矩阵为大型的稀疏矩阵,因为该类矩阵中大部分的元素都是0。一般情况下,会使用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法或者超松弛迭代法对其求解4-5。显然,可以运用已学的知识证明上式的系数矩阵是对称正定的。3 Gauss-Seidel求解及快速算法的求解3.1 Gauss-Seidel迭代法3.1.1 Gauss-Seidel迭代法的求解首先,考虑一下下面的方程组:Ax=b(3.1.1)-59第 43 卷第 2 期保山学院学报2024 年 4 月
15、其中,A=a11a22ann,A=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann,x=x1x2xn,b=b1b2bn然后,把A拆分成三个部分:A=a11a22ann-0-a210-an1-an20-0-a12-a1n0-a2n0 D-L-U通过选取所需的M为系数矩阵A的下三角部分,即选取M=D-L(下三角矩阵),A=M-N,就得到了使用Gauss-Seidel迭代法求解Ax=b的途径:x()0,初始向量,x(k+1)=Bx(k)+f,k=0,1,(3.1.2)其中B=I-()D-L-1A=()D-L-1()D-L-A=()D-L-1U G,f=()D-L-1b称G=()D-L-1U为求
16、解Ax=b的Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵6-7。下面,给出的是使用Gauss-Seidel迭代法求解方程组所得的未知向量的具体某一个分量的计算公式:x(k)=(x()k1,x()ki,x()kn)T从式(2.2.2)可以得到:(D-L)x()k+1=Ux()k+b或Dx()k+1=Lx()k+1+Ux()k+b即:aiix(k+1)i=bi-j=1i-1aijx()k+1j-j=i+1naijx()kj,i=1,2,n于是,使用Gauss-Seidel迭代法来求解线性方程组Ax=b,具体的迭代法的计算公式如下:x(0)=(x()01,x()0n)T,初始向量,x(k+1)i=()b
17、i-j=1i-1aijx()k+1j-j=i+1naijx()kjaiii=1,2,n;k=0,1,.(3.1.3)通过式(3.1.3)可以了解到,当计算所求向量x(k+1)的第i个分量x(k+1)i时,Gauss-Seidel迭代法会利用之前已经计算出的前i-1最新分量x()k+1j(j=1,2,i-1),并将其带入迭代公式中进行计算,且Gauss-Seidel迭代法每迭代一次只需要计算一次矩阵与向量的乘法。对于要求解的椭圆方程1h22ui-1,j-1h21ui,j-1+()+2(1h22+1h21)ui,j-1h22ui+1,j-1h21ui,j+1=f()xi,yj1 i M2-1,1
18、j M2-1(3.1.4)使用Gauss-Seidel迭代公式(3.1.3),可以得到:ui,j()k+1=()f()xi,yj+1h22ui-1,j()k+1+1h21ui,j-1()k+1+1h22ui+1,j()k+1h21ui,j+1()k()+2()1h22+1h211 i M2-1,1 j M1-13.1.2 Gauss-Seidel迭代法的收敛性定理2:解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件是A正定。证明:因为所求的椭圆方程中的系数矩阵A是三对角矩阵,并且A严格的对角占优,故Gauss-Seidel迭代法收敛4,8。-60焦岑,孙唯唯,聂家升:椭圆方程
19、五点格式的迭代法与快速算法的比较3.2 快速Poisson算法引理2:若A为三对角矩阵,即:A=bcabacbacb则A的特征值j=b+2ac cos()jn+1,特征向量 xj=()ac12sin()jn+1()ac22sin()2jn+1()ac32sin()3jn+1()acn2sin()njn+1考虑Dirichlet边值问题的标准中心差分格式u+u=f()x,y,(x,y)(3.2.1)记=0,1 0,1,h=1(M+1)是等距网格步长,记=h2,则数值格式等价于()ui-1,j+ui+1,j+()12-2uij+()ui,j-1+ui,j+1+()12-2uij=f()x,y为书写
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 椭圆 方程 五点 格式 迭代法 快速 算法 比较
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。