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刘书华，等：奇异摄动区间变时滞不确定非线性系统稳定性分析收稿日期：2023-02-28作者简介：刘书华（1997），男，硕士研究生，研究方向：运筹学与控制论.第 38 卷第 2 期2024 年 4 月白 城 师 范 学 院 学 报Journal of Baicheng Normal UniversityApr.Vol.382024No.2奇异摄动区间变时滞不确定非线性系统稳定性分析刘书华，张秀华（东北大学 理学院，辽宁 沈阳 110819）摘要：奇异摄动系统是实际问题中普遍存在的一类系统，为了使此类系统在应用上达到一定的稳定，利用矩阵分块方法对含有不确定结构的奇异摄动区间变时滞非线性系统稳定性进行分析，通过构造新的Lyapunov函数，基于Lyapunov稳定性理论，结合舒尔补引理、积分不等式和线性矩阵不等式等方法推出奇异摄动系统在摄动参数界内时滞相关的稳定性判据.关键词：奇异摄动系统；区间变时滞；时滞相关；非线性；线性矩阵不等式中图分类号：O231文献标志码：A文章编号：1673-3118（2024）02-0017-080引言奇异摄动系统存在小时间常数、转动惯量的寄生参数，使得系统模型表现出快慢不同的动态响应速度.对此类系统建立数学模型时，通常可以借助一个小参量描述不同时间尺度子系统之间的分离程度，进而将系统研究统一到同一时间尺度下.经过众多学者的努力研究，奇异摄动系统也被广泛应用于航空航天工程、电力系统、网络控制系统等领域1-4.例如，许可康5研究了奇异摄动系统观测器相关设计问题，梅平等6对含有时滞的奇异摄动系统的鲁棒性进行了研究.但是，所研究的奇异摄动系统模型都较为简单，奇异摄动系统与区间变时滞和非线性结合的研究并不多见.本文在已有文献基础上通过构造新的Lyapunov函数，基于不等式等结论研究奇异摄动区间变时滞不确定非线性系统的稳定性问题.通过数值算例应用MATLAB软件进行仿真验证了结论的可行性.与奇异摄动系统已有文献相比，本文所研究的系统模型更具一般性和有效性.1问题描述和引理考虑一类奇异摄动区间变时滞不确定非线性系统：E()x(t)=A0+A0(t)x(t)+A1+A1(t)x t-d(t)+f x(t)，t+g x t-d(t)，t，x(t)=(t)，t -h2，0.（1）其中：E()=In100In2；x(t)n是系统状态向量；A0，A1 n n是常量矩阵；(t)是系统连续可微的初始向量；d(t)是连续可微时变时滞函数且满足如下约束条件：白城师范学院学报第38卷0 h1 d(t)h2，d(t)0是已知常数.为了简便起见，记：f=f x(t)，t，g=g x t-d(t)，t.不确定性矩阵A0(t)，A1(t)满足如下条件：A0(t)=DF(t)E0，A1(t)=DF(t)E1.（4）其中：D，E0，E1为有适当维数的常量矩阵；矩阵F(t)为Lebesgue可测的，且满足FT(t)F(t)I.在给出主要结论之前，先给出证明所需引理.引理17对给定的对称矩阵S=S11S12ST12S22，S11 r r，以下三个条件等价(a)S 0；(b)S11 0，S22-ST12S-111S12 0；(c)S22 0，S11-S12S-122ST12 0.引理2 对于给定的对称矩阵Y以及具有适当维数的矩阵D，E，如果Y+DF(t)E+ETFT(t)DT 0，使得Y+DDT+-1ETE 0，若存在向量函数：0，n，则有下面的积分不等式成立0T(s)M(s)ds 0(s)dsTM0(s)ds.引理49如果存在矩阵Zi(i=1，2，5)且Zi=ZTi(i=1，2，3，4)满足下列条件：Z1 0，Z1+Z3 ZT5 Z5 Z2 0，Z1+Z3 ZT5 Z5 Z2+2Z4 0.则E()Z()=ZT()E()0，(0，Z()=Z1+Z3ZT5Z5Z2+Z4.引理5 给定常数 0，对称矩阵S1，S2，S3，如果下面矩阵不等式条件S1 0，S1+S2 0，S1+S2+2S3 0成立，则S1+S2+2S3 0，(0，.引理1主要作用是通过等价关系得到增维的、易于处理的矩阵供求解使用；引理2主要用于处理系统中存在的不确定项；引理3对积分不等式进行处理得到保守性更低的结果；引理4保证构造的Lyapunov函数是正定的；引理5用于处理包含摄动参数平方项的情况.2稳定性分析2.1标称系统稳定性分析首先，本文以线性矩阵不等式的形式给出当系统（1）不含不确定项时系统渐近稳定的充分条件.18刘书华，等：奇异摄动区间变时滞不确定非线性系统稳定性分析第2期定理1 对于给定常数，h1，h2和当满足约束条件（2）和（3）时，区间变时滞奇异摄动系统（1）的标称系统渐近稳定的充分条件是存在常数i 0(i=1，2)和适当维数矩阵Q=Qij2 2 0，R=Rij2 2 0，W 0，T 0，U 0，Zi(i=1，2，3，4，5)，Zi=ZTi(i=1，2，3，4)使得下列线性矩阵不等式成立：Z1 0，（5）Z1+Z3 ZT5 Z5 Z2 0，（6）Z1+Z3 ZT5 Z5 Z2+2Z4 0，（7）=11*1222*0-Q1233*ZT(0)A103444*R12000R22-R11*00046-R1266*ZT(0)00000-1I*ZT(0)000000-2I*AT0Y00AT1Y00YY-Y 0，（8）=11*1222*0-Q1233*ZT()A103444*R12000R22-R11*00046-R1266*ZT()00000-1I*ZT()000000-2I*AT0Y00AT1Y00YY-Y 0，（9）=11*1222*0-Q1233*ZT()A103444*R12000R22-R11*00046-R1266*ZT()00000-1I*ZT()000000-2I*AT0Y00AT1Y00YY-Y 0，(0，.故可得到V(xt)正定.V(xt)沿着系统的任意轨迹进行微分运算得V(xt)=2xT(t)ZT()E()x(t)+x(t)x(t-h12)TQ x(t)x(t-h12)-x(t-h12)x(t-h1)TQ x(t-h12)x(t-h1)+x(t)x(t-h22)TR x(t)x(t-h22)-x(t-h22)x(t-h2)TR x(t-h22)x(t-h2)+xT(t)Wx(t)-1-d(t)xT t-d(t)Wx t-d(t)+h214 E()x(t)TTE()x(t)-h12t-h12t E()x(s)TTE()x(s)ds+h212 E()x(t)TUE()x(t)-h12t-h2t-h1 E()x(s)TUE()x(s)ds.（11）由式（3）可知1 0，2 0，1 2xT(t)x(t)-fTf 0，（12）2 2xT t-d(t)x t-d(t)-gTg 0.（13）由引理3，将式（12）（13）代入式（11）可得：V(xt)T(t)+T1(h214T+h212U)1(t).其中：20刘书华，等：奇异摄动区间变时滞不确定非线性系统稳定性分析第2期(t)=xT(t)xT(t-h12)xT(t-h1)xT t-d(t)xT(t-h22)xT(t-h2)fTgTT；1=A000A100II；=11*1222*0-Q1233*ZT()A103444*R12000R22-R11*00046-R1266*ZT()00000-1I*ZT()000000-2I.其中：11=ZT()A0+AT0Z()+Q11+R11+W-E()TE()+12I；12=Q12+E()TE()；22=Q22-Q11-E()TE()；33=-Q22-E()UE()；34=E()UE()；44=-(1-)W-2E()UE()+22I；46=E()UE()；66=-R22-E()UE().如果+T1(h214T+h212U)1 0，根据Lyapunov函数稳定性定理可知，系统（1）的标称系统渐近稳定.根据引理1，+T1(h214T+h212U)1 0，当且仅当=T1Y*-Y 0，Y=h214T+h212U.注意到E()TE()=T1000+0T2TT20+2 000T3，E()UE()=U1000+0U2UT20+2 000U3.其中T1，U1 n1 n1，T2，U2 n1 n2，T3，U3 n2 n2，n1+n2=n.记F1=T1000，F2=0T2TT20，F3=000T3，F4=U1000，F5=0U2UT20，F6=000U3.则由引理5知式（8）（10）成立，(0，0(i=1，2)，0以及存在适当维数的矩阵Q=Qij2 2 0，R=Rij2 2 0，W 0，T 0，U 0，Zi(i=1，2，3，4，5)，使得Zi=ZTi(i=1，2，3，4)，下列线性矩阵不等式成立：21白城师范学院学报第38卷Z1 0，（14）Z1+Z3 ZT5 Z5 Z2 0，（15）Z1+Z3 ZT5 Z5 Z2+2Z4 0，（16）H(0)ET*-I0*-I 0，（17）H()ET*-I0*-I 0，（18）H()ET*-I0*-I 0.（19）其中：，如 定 理 1 中 所 示；E=E000E100000；H(0)=DTZ(0)0000000DTUT；H()=DTZ()0000000DTUT.证明 在定理1证明中出现的A0，A1用A0+A0(t)，A1+A1(t)替换，则有+H()F(t)E+ETFT(t)HT()0，使得+ETE+-1H()HT()0.（21）由引理1知式（21）成立，当且仅当下式成立H()ET*-I0*-I 0.（22）由引理5可知式（17）（19）成立，则式（20）成立，定理2得证.3算例与仿真根据奇异摄动区间变时滞不确定非线性系统的稳定性分析，利用MATLAB软件进行仿真验证结论的可行性.例 考虑如下存在不确定项的非线性奇异摄动系统E()x(t)=A0+A0(t)x(t)+A1+A1(t)x t-d(t)+f x(t)，t+g x t-d(t)，t.其中：A0=-0.6670.9750.245-0.659；A1=-0.484-0.852-0.2060.368；D=-0.154-0.280；E0=-0.151-0.141；E1=0.1160.485；h1=0.030；h2=0.060；=0.015；=0.100；=0.010；=0.010.22刘书华，等：奇异摄动区间变时滞不确定非线性系统稳定性分析第2期利用MATLAB软件中的LMI工具箱求解定理2中的线性矩阵不等式可得Z1=4.956，Z2=30.772，Z3=25.755，Z4=-2.311，Z5=-6.362，Q=59.078-0.893-57.392-0.655-0.8931.6440.629-0.038-57.3920.62959.9020.436-0.655-0.0380.4360.949，R=4.845-0.40300-0.4031.71600002.712-0.21500-0.2150.928，W=3.115-4.328-4.32815.089，T=113.30410.08310.083121.098，U=51.9615.1195.119173.587，1=250.634，2=250.713，=25.342.为了进一步说明本文所给结论的有效性和可行性，图1给出初始条件为x(0)=-5.010.0T，=0.1，f=0.01x1sin x1(t)0.01x2sin x2(t)，g=0.01x1 t-d(t)sin x1 t-d(t)0.01x2 t-d(t)sin x2 t-d(t)时的系统状态轨迹.图1=0.1时系统状态轨迹曲线由图1可知，当系统摄动参数在给定范围内时，系统渐近稳定.因此，本文所得结论是有效的.4结论本文依次对不含不确定项与包含不确定项的奇异摄动区间变时滞非线性系统的稳定性进行了研究.在构造新的Lyapunov函数中引入的二重积分项在进行放缩时应用矩阵论知识进行处理，因此，所得结论的保守性相较于已有文献更低，效果更好.本文对奇异摄动参数平方项的处理方法可以直接推广到奇异摄动系统控制器设计问题中，也可以作为奇异摄动系统鲁棒性、耗散性研究的理论参考依据.参考文献：1刘华平，孙富春，何克忠，等.奇异摄动控制系统：理论与应用 J.控制理论与应用，2003，20（1）：1-7.2REN W J，JIANG B，YANG H，et al.Fault-tolerant control of linear singularly perturbed systems with applications to hypersonic vehicles J.IFAC PapersOnLine，2018，51（24）：268-273.23白城师范学院学报第38卷3CAI C X，WANG Z D，XU J，et al.Decomposition approach to exponential synchronisation for a class of non-linear singularlyperturbed complex networks J.IET Control Theory&Applications IET，2014，8（16）：1639-1647.4CAI C X，WANG Z D，XU J，et al.An integrated approach to global synchronization and state estimation for nonlinear singularly perturbed complex networks J.IEEE Transactions on Cybernetics，2015，45（8）：1597-1609.5许可康.线性奇异摄动系统的降维观测器 J.系统科学与数学，1983，3（2）：139-146.6梅平，邹云.时滞的不确定奇异摄动系统鲁棒稳定性研究 J.控制与决策，2008，23（4）：392-396.7俞立.鲁棒控制：线性矩阵不等式处理方法 M.北京：清华大学出版社，2002：6-12.8YU K W，LIEN C H.Stability criteria for uncertain neutral systems with interval time-varying delays J.Chaos Solitons&Fractals，2008，38（3）：650-657.9YANG C Y，ZHANG Q L.Multiobjective control for T-S fuzzy singularly perturbed systems J.IEEE Transactions on FuzzySystems，2009，17（1）：104-115.Stability analysis of singularly perturbed interval variabledelay uncertain nonlinear systemLIU Shu-hua，ZHANG Xiu-hua（College of Sciences，Northeastern University，Shenyang 110819，China）Abstract：Singular perturbed systems are a common type of system in practical problems，in order toachieve certain stability in applications，the stability of singular perturbation interval variable delay nonlinearsystems with uncertain structures is analyzed by using matrix partitioning method.Constructing a new Lyapunov function，based on Lyapunov stability theory and Schur s complement lemma，integral inequality，linearmatrix inequality and other methods，the stability criterion of time-delay dependent system in the perturbationparameter is derived.Key words：singularly perturbed systems；interval variable delay；time delay dependent；nonlinearity；linear matrix inequality（责任编辑：许慧）24