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一类椭圆方程的梯度估计*朱秋阳张伟（北京工商大学数学与统计学院，北京）ngu+auq(ln u)p+bu=0摘要通过计算与推导，得到了 维完备黎曼流形上椭圆方程正解的梯度估计，其不依赖于解的界和距离函数的拉普拉斯（Laplace）算子；将文献 1 中对正调和函数的梯度估计推广到更一般的情形；将文献10 中对一类椭圆方程正解的梯度估计进行了拓展，得到了更具一般性的结果.关键词椭圆方程；梯度估计；Harnack 不等式；Ricci 曲率；极值原理中图分类号O175.23DOI：10.12202/j.0476-0301.20222830引言与主要结果n(M,g)本文主要研究 维完备黎曼流形上椭圆方程gu+auq(ln u)p+bu=0（1）ga、b Rp=k1/(2k2+1)21q 1+hhk1、k2 Z的 梯 度 估 计，其 中 是 黎 曼 流 形 的 度 量，是 较 小 的 正 实 数，.a=0、b=0a=0b当时，式（1）是 Laplace 方程.Yau1得到了它的梯度估计；Cheng 等2将其推广到更一般的情形；Li 等3在假定、为光滑函数的情形下得到了相应热方程的 Li-Yau 梯度估计与 Harnack 不等式.梯度估计在几何分析和数学物理中起到了非常重要的作用.例如，利用梯度估计可得到解的 Hlder连续性，特征值的上、下界等.a 1、p=0a、b R q=1，k1、k2 Zp=k1/(2k2+1)2度估计.Li7、Ma 等8、Yang9研究了当，、时的情形，并得到了其正解的局部梯度估计；Peng 等10讨论了，且满足时其正解的局部梯度估计.a、b R k1、k2 Z讨论当，且满足p=k12k2+12，q 1,h(n,b)h(n,b)n、b的均是常数，其中是依赖于正实数时的梯度估计.(M,g)nB2R(O)Ric(g)Kg，K0 OMa、b R 1 2n、bh(n,b)1q 1+h(,n,b)k1、k2 Zp=k1/(2k2+1)2u(x)(1)BR(O)定定理理 1（梯度估计）令是 维完备黎曼流形，并满足在黎曼流形中半径为 2R 的球体上有，是流形上的一点.则对于，存在依赖于的正实数，使得当，且满足时，若是式在黎曼流形中半径为 R 的球体上的任意光滑正解，则讨论如下2 种情形.1）a0?gu?2/u2+auq1(ln u)pn(n1)(1+KR)+2)A21+A2)/(R2(2+nB1)+max(/(1nB1),/(2+nB1),/(1)2K+max1,2/(4(1)(1nB1),22/(2)(2+nB1),2/(4(1)2)nA21/R2+N(n,p,q,a,b,)*国家自然科学基金资助项目（11901018，12071017）通信作者：张伟（1985），男，博士，副教授.研究方向：偏微分方程及其应用.E-mail：收稿日期：2022-09-182024-04北京师范大学学报（自然科学版）60（2）JournalofBeijingNormalUniversity（NaturalScience）1612）a 0、b R=3/2n、bh(n,b)1q 1+h(n,b)k1、k2 Zp=k1/(2k2+1)2u(x)BR/2(O)推推论论 1（Harnack 不等式）在与定理 1 相同的假设条件下，对于任意实数、，存在依赖于的正实数，使得当，且满足时，若是式（1）在黎曼流形中半径为 R/2 的球体上的光滑正解，则supBR/2(O)ueSinfBR/2(O)u，S=(n(3(n1)(1+KR)+2)A21+A2/(R2(1+2nB1)+max(9/(4(12nB1),18/(1+2nB1)nA21/R2+max(3/(12nB1),3/(1+2nB1)2K+(2/nB1)aHpeH(q1)+max(3/(1+2nB1),1/(12nB1),e2H(q1)/4)12|b|/n+|B2|apHp1eH(q1)+aC2Hp+1e3H(q1)/(n(p1)+9aHpe3H(q1)/4n+|D2|He2H(q1)/(n(p1)+a/(n|J|p)+|B2|ap/|J|p1+6ap(p1)/|J|p2+max(2,2/(12nB1)(|D1|+|D2|p|J|)1/2R162北京师范大学学报（自然科学版）第 60 卷B1B2HD1D2J=3/2式中、和 是定理 1 中相应的表达式在时所得的值.a=b=0=3/2q、n、注注 1若，此时令，则由的关系可解得1q 1+min(1/6,(1+1+8/n)/6)，因此可取q=(23+1+8/n)/24qB1将 代入可得B1=(1+1+8/n)(9+1+8/n)/384 0进而由定理 1 可得|u|2/u23n(n1)(1+KR)+2)A21+A2)/(1+2nB1)R2)+6nA21/(R2(1+2nB1)+2K/(1+2nB1)该估计类似于 Yau1关于正调和函数的结果.1预备知识(M,g)nB2R(O)Ric(g)Kg，K0OM令是 维完备黎曼流形，并满足在黎曼流形中半径为 2R 的球体上有，是流形上的一点.w=ln u 1 0这里假设，否则定理 1 显然成立.x0g(G)(x0)=0g(G)(x0)0在处有、.进而由引理 2 可得gGG(n1)(1+KR)+2)A21+A2)/R2=GA，A=(n1)(1+KR)+2)A21+A2)/R2式中.同理可得gw,gG=Ggw,gG?g?(Gawpew(q1)2|b|)1/2由引理 1 可得第 2 期朱秋阳等：一类椭圆方程的梯度估计163AG2G2/n+G(4(1)/n+(q1)2(q1)+2(1)(q1)awpew(q1)+G(2q2)apwp1ew(q1)+ap(p1)wp2ew(q1)12|b|/n2K)+(2/n(1)2(1)(q1)2(q1)2)a2w2pe2w(q1)(1)+22(q1)a2pw2p1e2w(q1)2a2p(p1)w2p2e2w(q1)+(4(1)(2|b|b)/n4|b|(1)(q1)+(2|b|b)(q1)2|b|(q1)2+2K)awpew(q1)+(4|b|(1)+(2|b|b)4|b|(q1)apwp1ew(q1)2|b|ap(p1)wp2ew(q1)2G|g|(Gawpew(q1)2|b|)1/2（7）为简化证明过程，用如下系数代替式（7）中的部分代数式：B1=(q1)2+(2)(q1),B2=2q2,C1:=(1)(q1)2(q1)2,C2=(1)+22(q1)，D1=4|b|(1)(q1)+(2|b|b)(q1)2|b|(q1)2，D2=4|b|(1)+(2|b|b)4|b|(q1)令hB2=(2)/2，hC1=(1)+2(1)2+82(1)2/n)/(22)，hD1=(2|b|(2)b+(2|b|(2)b)2+32|b|(1)(2|b|b)/n)/(4|b|)，1q 1+min(hB2,hC1,hD1)B204(1)(2|b|b)/n+D1 0当时，有、且.hB21=(2+(2)2+4(1)/n)/(2)又令，hB11=(2(2)24(2)/n)/2，1q 0(2)/n+B1/04(1)/n+B1 0又由于，可得164北京师范大学学报（自然科学版）第 60 卷G(A+12|b|/n+2K+2nA21/(2)R2)/(2)/n+B1/)（11）w (L,V)情情形形 1.2.H=max(|L|,V)取，易知(4(1)/n+B1)awpew(q1)+B2apwp1ew(q1)+ap(p1)wp2ew(q1)/3(4(1)/n+B1)aHpeH(q1)+B2apHp1eH(q1)（12）同理可得(2(1)2/n+C1)awp+2e2w(q1)C2apwp+1e2w(q1)2ap(p1)wpe2w(q1)+(2K+4(1)(2|b|b)/n+D1)w2ew(q1)+D2pwew(q1)2|b|p(p1)ew(q1)C2apHp+1e2H(q1)2ap(p1)Hpe2H(q1)|D2|pHeH(q1)2|b|p(p1)eH(q1)（13）式(12)和(13)(7)将代入式，并由引理 2 可得AG2G2/n+G(4(1)/n+B1)aHpeH(q1)+B2apHp1eH(q1)2A11/2G3/2/R+awp2(2p(p1)eH(q1)G/3C2apHp+1e2H(q1)2ap(p1)Hpe2H(q1)|D2|pHeH(q1)2|b|p(p1)eH(q1)(2K+12|b|/n)G(2p(p1)eH(q1)G/3C2apHp+1e2H(q1)2ap(p1)Hpe2H(q1)|D2|pHeH(q1)2|b|p(p1)eH(q1)0若，则有AG2G2/n+G(4(1)/n+B1)aHpeH(q1)+B2apHp1eH(q1)2A11/2G3/2/R(2K+12|b|/n)G进而由 Cauchy 不等式可得Gn(A+2K+(4(1)/nB1)aHpeH(q1)+|B2|apHp1eH(q1)+12|b|/n+nA21/R2)（14）(2p(p1)eH(q1)G/3C2apHp+1e2H(q1)2ap(p1)Hpe2H(q1)|D2|pHeH(q1)2|b|p(p1)eH(q1)0若，则有G3eH(q1)(C2apHp+1e2H(q1)+2ap(p1)Hpe2H(q1)+|D2|pHeH(q1)+2|b|p(p1)eH(q1)/(2p(p1)（15）a0、wp 0情情形形 2.w1/J、J 0情情形形 2.1.若要不等式(4(1)/n+B1)+B2pw1+p(p1)w22(1)/n+B1，（16）2(1)2/n+C1C2pw12p(p1)w20（17）成立，可取J=max(B2pB22p2+8(1)p(p1)/n)/(2p(p1),(C2p+C22p2+42p(p1)(2(1)2/n+C1)/(22p(p1)同时有2K+4(1)(2|b|b)/n+D1+D2pw12|b|p(p1)w22K+12(1)|b|/n+D1+|D2|p|J|,（18）2?g?G(Gawpew(q1)1/2R?g?2G3/2/(A11/2)+A11/2G1/2(Gawpew(q1)/R（19）将式（16）（19）代入式（7）可得AG2G2/n(2K+12|b|/n)GR?g?2G3/2/(A11/2)A11/2G3/2/R+awpew(q1)(2(1)/n+B1)G+A11/2G1/2/R+(2K+12(1)|b|/n+D1+|D2|p|J|)(2(1)/n+B1)G+A11/2G1/2/R+(2K+12(1)|b|/n+D1+|D2|p|J|)0若，则 由以 及Cauchy 不等式可得G(n2A21/(4(1)R2)+2K+12(1)|b|/n+|D1|+|D2|p|J|)/(1)/nB1)（21）1J w 0、J 0情情形形 2.2.有(4(1)/n+B1)awpew(q1)+B2apwp1ew(q1)+(ap(p1)+2a(1)/(n|J|2)wp2ew(q1)|B2|ap/|J|p1ap(p1)/|J|p22a(1)/(n|J|p)，（22）(2(1)2/n+C1)awp+2ew(q1)C2apwp+1ew(q1)2ap(p1)wpew(q1)+(2K+4(1)(2|b|b)/n+D1)w2+D2pw2|b|p(p1)2ap(p1)/|J|p+(2K+4(1)(2|b|b)/n+D1)/|J|2+|D2|p/|J|，（23）c2gw,gGR?g?2G3/2/(A11/2)A11/2G1/2(Gawpew(q1)/R（24）将式（22）（24）代入式（7），结合 Cauchy 不等式可得AG2G2/n(2K+12|b|/n)G(|B2|ap/|J|p1+ap(p1)/|J|p2+2a(1)/(n|J|p)G2A11/2G3/2/R+awp2ew(q1)(2(1)G/(n|J|2)+A11/2G1/2/(R|J|2)+(2ap(p1)/|J|p+(2K+4(1)(2|b|b)/n+D1)/|J|2+|D2|p/|J|)若2(1)G/(n|J|2)+A11/2G1/2/(R|J|2)+(2ap(p1)/|J|p+(2K+4(1)(2|b|b)/n+D1)/|J|2+|D2|p/|J|)0，则由 Cauchy 不等式可得Gn|J|2(n2A21/(4(1)R2|J|2)+2ap(p1)/|J|p+(2K+12(1)|b|/n+|D1|)/|J|2+|D2|p/|J|)/(1)（26）a 0wp 0情情形形 3、.wL情情形形 3.1.方法与情形 1.1 类似，可得G(A+2K+12|b|/n+nA21/(2)R2)/(2)/n+B1/)（27）L w 0情情形形 3.2.方法与情形 1.2 类似，可得G(2K+12|b|/n+A+nA21/(2)R2)/(2)/n+B1/)，（28）166北京师范大学学报（自然科学版）第 60 卷或G3(a2p(p1)|L|p+|D2|p|L|+2|b|p(p1)/(2p(p1)（29）a 0、wp0情情形形 4.w (,1/J)(1/T,+)，J 0情情形形4.1.T=min(B2p+B22p2+8(1)p(p1)/n)/(2p(p1),(C2pC22p2+42p(p1)(2(1)2/n+C1)/(22p(p1)X=max(|J|,T)令，处理方法类似于情形 2.1，可得Gn(2K+A+12|b|/n+nA21/R2)，（30）或G(n2A21/(4(1)R2)+2K+12(1)|b|/n+|D1|+|D2|pX)/(1)/nB1)（31）w (1/J,1/T)，J 0情情形形 4.2Y=max(|1/J|,1/T)令.处理方法类似于情形 2.2，可得Gn(2K+12|b|/n)+A+nA21/R2aeY(q1)(2(1)Yp/n+|B2|pYp1+p(p1)Yp2)，（32）或Gn(n2A21Y2/(4(1)R2)C2apYp+1eY(q1)2ap(p1)YpeY(q1)+(2K+12(1)|b|/n+|D1|)Y2+|D2|pY)/(1)Y2).（33）(11)、(14)、(15)、(20)、(21)，(25)(33)由式以及，即可得到定理 1.3Harnack 不等式的证明推推论论 1（Harnack不等式）的证明a 0p2 1q 1+h(n,b)k1、k2 Z若、，且满足p=k1/(2k2+1)2auq1(ln u)p0，则有.=3/2此时取，则由定理 1 可得|gu|2u2n(3(n1)(1+KR)+2)A21+A2)/(1+2nB1)R2)+max(9/(4(12nB1),18/(1+2nB1)nA21/R2+max(3/(1+2nB1),1/(12nB1),e2H(q1)/4)12|b|/n+max(3(12nB1),3/(1+2nB1)2K+(2/nB1)aHpeH(q1)+|B2|apHp1eH(q1)+aC2Hp+1e3H(q1)/(n(p1)+9aHpe3H(q1)/(4n)+|D2|He2H(q1)/(n(p1)+a/(n|J|p)+|B2|ap/|J|p1+6ap(p1)/|J|p2+max(2,2/(12nB1)(|D1|+|D2|p|J|)x yBR/2(O)u(x)=supBR/2(O)u(x),u(y)=infBR/2(O)u(x)(t)0,lx、y(0)=x、取、为中的，令是 连 接的 最 短 路 径，且(l)=y BR(O),lR.于是由三角不等式知，并且有ln u(x)ln u(y)wl0ln u(t)/tw?gu?/udt(n(3(n1)(1+KR)+2)A21+A2/(R2(1+2nB1)+max(9/(4(12nB1),18/(1+2nB1)nA21/R2+max(3/(12nB1),3/(1+2nB1)2K+(2/nB1)aHpeH(q1)+max(3/(1+2nB1),1/(12nB1),e2H(q1)/4)12|b|/n+|B2|apHp1eH(q1)+aC2Hp+1e3H(q1)/(n(p1)+9aHpe3H(q1)/4n+|D2|He2H(q1)/(n(p1)+a/(n|J|p)+|B2|ap/|J|p1+6ap(p1)/|J|p2+max(2,2/(12nB1)(|D1|+|D2|p|J|)1/2RS将上述不等式右端记为，因此有supBR/2(O)ueSinfBR/2(O)u证毕.4参考文献YAU S T.Harmonic functions on complete RiemannianmanifoldsJ.Communications on Pure and Applied1Mathematics，1975，28（2）：201CHENG S Y，YAU S T.Differential equations onRiemannianmanifoldsandtheirgeometricapplicationsJ.CommunicationsonPureandAppliedMathematics，1975，2第 2 期朱秋阳等：一类椭圆方程的梯度估计16728（3）：333LIP，YAUST.OntheparabolickerneloftheSchrdingeroperatorJ.ActaMathematica，1986，156（1）：1533MAL.Gradientestimatesforasimpleellipticequationoncompletenon-compactRiemannianmanifoldsJ.JournalofFunctionalAnalysis，2006，241（1）：3744CHENL，CHENWY.Gradientestimatesforanonlinearparabolic equation on complete non-compact RiemannianmanifoldsJ.Annals of Global Analysis and Geometry，2009，35（4）：3975YANGYY.Gradientestimatesforanonlinearparabolicequation on Riemannian manifoldsJ.Proceedings of theAmericanMathematicalSociety，2008，136（11）：40956LI J Y.Gradient estimates and Harnack inequalities for7nonlinear parabolic and nonlinear elliptic equations onRiemannian manifoldsJ.Journal of Functional Analysis，1991，100（2）：233MABQ，HUANGGY，LUOY.Gradientestimatesforanonlinear elliptic equation on complete RiemannianmanifoldsJ.Proceedings of the American MathematicalSociety，2018，146（11）：49938u+cu=0YANG Y Y.Gradient estimates for the equationonRiemannianmanifoldsJ.ActaMathematicaSinica，EnglishSeries，2010，26（6）：11779au(ln u)pbu0PENG B，WANG Y D，WEI G D.Yau type gradientestimates foru+=on RiemannianmanifoldsJ.Journal of Mathematical Analysis andApplications，2021，498（1）：12496310GradientestimatesforsomeellipticequationZHUQiuyangZHANGWei（BeijingTechnologyandBusinessUniversity，SchoolofMathematicsandStatistics，Beijing，China）gu+auq(ln u)p+bu=0AbstractInthispaper，weobtainthegradientestimatesofthepositivesolutionstothefollowingequationdefinedonann-dimensionalcompleteRiemannianmanifold.ThegradientbounddoesnotdependontheboundsofthesolutionandtheLaplacianofthedistancefunction.Ourresultisanextensionoftheestimatesonpositiveharmonicfunction1andtheestimatesofsolutionstosomenonlinearellipticequation10.Keywordsellipticequation；gradientestimate；Harnackinequality；Riccicurvature；maximumprinciple【责任编辑：陆有忠】168北京师范大学学报（自然科学版）第 60 卷