一维六方压电准晶中正n边形孔边快速传播裂纹反平面问题的解析解.pdf
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1、一维六方压电准晶中正n边形孔边快速传播裂纹反平面问题的解析解刘兴伟1,杨勇林,闫英男1,王宗奇1宝鸡文理学院学报(自然科学版),第44卷,第1期,第33-38 页,2 0 2 4年3月Journal of Baoji University of Arts and Sciences(Natural Science),Vol.44,No.l,pp.33-38,Mar.2024DOI:10.13467/ki.jbuns.2024.01.006(1.兰州石化职业技术大学信息工程学院,甘肃兰州7 30 0 6 0;2.宁夏大学数学统计学院,宁夏银川7 50 0 2 1)摘要:目的研究压电效应下一维六方准
2、晶材料中含正n边形孔边快速传播裂纹的反平面问题。方法运用动力学基本理论和Schwarz-Christoffel变换技术,在电非渗透型和电渗透型2 种边界条件下研究。结果给出了裂纹以速度传播时裂纹的动态应力强度因子和电位移强度因子的解析解。结论当 0 时,所得结果退化为静力学问题,这对工程结构和材料的制备与应用有一定的指导意义。关键词:一维六方压电准晶;动态应力强度因子;正n边形孔边;传播裂纹中图分类号:0 343.8Analytic solutions of a rapid propagation crack from regularn-polygon hole in 1D hexagonal
3、 piezoelectric quasicrystalsLIU Xing-weil,YANG Yong-lin,YAN Ying-nan,WANG Zong-qil(1.School of Information Engineering,Lanzhou Petrochemical University of Vocational and Technology,Lanzhou 730060,Gansu,China;2.School of Mathematics and Statistics,Ningxia University,Yinchuan 750021,Ningxia,China)Abst
4、ract:PurposesTo study the inverse plane problem of a single crack propagating rapidly in a1D hexagonal quasicrystalline material with a regular n-polygon hole under piezoelectric effect.Meth-odsTwo boundary conditions of electro-non-permeable type and electropermeable type are studied byusing the ba
5、sic kinetic theory and Schwarz-Christoffel transformation technique.ResultsGiven arethe analytical solutions of dynamic stress intensity factor and electric displacement intensity factor forcrack II propagated at velocity.Conclusions-When 0,the obtained results degenerate into theexisting statics pr
6、oblems,which has certain guiding significance in the preparation and application ofengineering construction.Key words:1D hexagonal piezoelectric quasicrystal;dynamic stress intensity factor;regular n-polygon hole;propagating crack随着社会的发展和科技的不断进步,高性能材料层出不穷,因准晶特殊的固态结构,成为目前研究较为普遍的一种新型材料1。常温条件下,该材料性能呈脆性
7、,在制作中常存在孔洞、裂纹等缺陷2 ,这些微观缺陷逐渐会发展成宏观缺陷,从而诱发相关事故。因此对含缺陷准晶材料力学行为的研究已然成为国内外学者关注的热点文献标志码:A文章编号:10 0 7-12 6 1(2 0 2 4)0 1-0 0 33-0 6之3-6 1997年,HUetalL7得出了准晶具有压电效应,并给出了压电准晶的基本理论。近年来,对于压电准晶缺陷的静力学问题研究已取得了丰富的成果。LI et alE8对具有压电效应的二十面体准晶体进行了电弹性分析,用扩展的Stroh公式给出了弹性场和电场的解析解。LI et alE91利用复*收稿日期:2 0 2 3-0 5-0 8,修回日期:2
8、 0 2 3-0 6-2 5基金项目:兰州石化职业技术大学科学研究项目(2 0 2 3KY-24;2 0 2 3K Y-2 8)作者简介:刘兴伟(19 9 3-),男,甘肃靖远人,助教,研究方向:复分析在力学中的应用.Email:n x u 0 2 58 16 3.c o m34函数法研究了一维六方压电准晶双材料中螺旋位错与楔形裂纹的相互作用。ZHOU et al101利用Fourier变换研究了一维六方压电准晶层垂直于边界的共线等长裂纹的电弹性问题。TU-PHOLMEL11I研究了一维压电准晶半空间内的非均匀加载反平面裂纹问题。庞娜12 1在电渗透边界条件下利用复变函数理论研究一维六方压电准
9、晶双材料界面共线裂纹的反平面断裂问题。刘兴伟等13 采用Schwarz-Christoffel变换研究了压电效应下一维六方准晶中含正n边形孔边单裂纹的反平面问题。但是,在压电准晶缺陷的动力学问题方面,由于其运动情况非常复杂,所以有关这方面的研究相对较少。张峰等14在电非渗透型边界条件下,利用保角映射技术给出了压电效应下一维六方准晶中含唇形匀速移动裂纹问题的解析解。高媛媛等15 根据动力学理论,利用复函数方法给出了一维六方压电准晶中三角形孔边快速传播裂纹的解析解。高慧芳16 利用Cauchy公式,研究了在电非渗透型边界条件下一维六方压电准晶中正六边形孔口快速传播裂纹的反平面动态问题。上述研究大部
10、分都是针对简单的三角形、正六边形孔边快速传播裂纹,并未给出任意正多边孔快速传播裂纹通用的解。本文运用动力学基本理论和Schwarz-Christoffel变换技术,在电非渗透型和电渗透型2 种边界条件下,给出了任意正n边形孔边传播裂纹模型问题的解析解。与文献15一16 相比,本文的解更具有一般性,从而为工程中众多孔边模型的断裂力学问题提供参考。1基本方程以O为原点,分别以i(i=1,2,3)为轴建立空间直角坐标系,令3为准周期方向,平面iOc2为周期平面。根据文献17 知:本构方程:023=032=2C4C32+R32-el,E201a=031=2C4 a1+Ra wl-els EiHi=2R
11、:31+K2 wi-i,EfH2=2R332+K2 wz-eisE2Di=2else31+isw+EnE(D,=2eis32+eisw2+EnE2运动方程:a1 01+2 02=p(a,Di+a2 D2=0宝鸡文理学院学报(自然科学版)其中,ajus=应变、应力和位移分量;wj,H,和w3分别表示相位子场的应变、应力和位移分量;D;,E,分别为电位移和电场分量;为电势;C44,K 分别为声子场和相位子场弹性常数;R3为声子场一相位子场耦合常数;ei5,e s 为压电常数;E1为介电常数,p表示压电准晶密度。联立(1)一(3)式得:Cu+R.o+d.g=pgra(4)eis?ua+e,ws-En
12、=0其中.=+0是 Laplace算子。将(4)式整理得:C.a+R.a=pFR.ta+K.u=pgF其中,Cu=Cu+(为声子场;K=Kz+E1(es)2为相位子场;R=R+,EE11相位子场耦合的压电弹性常数。为了便于计算,引进3个新的位移势函数17 :(i=1,2,3)ua=p1-Rd2cs=Rad1+p2els+&iR9=d+E11E11(1)其中,=cu-K.+VCu-K)+4R.进而(5)式化为:V=1(7)t72d3=0(2)其中,si=V+K)/p,2=V(Cu-)/p分别为反平面下的传播速度。2024年几何方程:a;u33j=ej3=2wj=0jw3,E,=-ajg(j=1,
13、2)0.0g u 分别表示声子场的(5)为声子场一(6)eis-el,R:d2+d3(3)第1期将(6)式代人(1)式,得到由:(i=1,2,3)表示的应力和电位移为:0i3=031=(C4+R)2+elsCA4)d+R:(-023=032=(C4 +R)2CA)d22+ei5d22虹+(K-Hi=R(+K)a.1+dR)12+(K2-H=Rs(+K,).2d2&2dR)2dDI=-Eu3D.=-Ed2电非渗透型正n边形孔边快速传播裂纹问题假设在无限大一维六方压电准晶内部含有沿准周期方向穿透的正n边形孔口单裂纹(图1表示n=10的示意图),L表示裂纹长度,表示正多边形边长,裂纹以匀速沿1方向运
14、动。由线弹性理论知,准晶体只在正多边形孔口和裂纹表面上受到纵向剪应力和电位移的作用32=一T,H2=0,Dz=-Do。42a图1一维六方压电准晶中正十边形孔口动态裂纹Fig.1 The positive decagon orifice dynamic crack in1D hexagonal piezoelectric quasicrystals作Galileo变换:=i-u,y=2,建立一y动态坐标系,将匀速传播裂纹问题转化为稳定裂纹动力学问题。在一y坐标系下非渗透型边界条件为:V2+y 00:032=0,H2=0,Dz=0(,y)E N:032=-t,H2=0,D2=-Do刘兴伟等一维六方
15、压电准晶中正n边形孔边快速传播裂纹反平面问题的解析解2+R(-0ayd2a2d20其中,阝阳=这样调和方程组(10)的解(i=1,2,3)可表示为3个解析函数fi(z),f 2(z),f s()的实(8)部或虚部。其中,z=+iyi,=+iy,=+iy,y=y,=y。由于对任一复函数有 Re(())=(卫,再根据解析函数的性质有:2oa=0a=B(Cu+R)(f1-)+R(-Cu)(f2-f2)+eis(fs-s)H=BR(+K)(f1-f)+(12)(Kz-R)(f2-f2)+es(fs-fs)D2En(fs-了 s)2将(12)式代人(9)式中的第二式,得:(C4+R)(f1-F1)+R(
16、-C4)(f2-f2)+els(f3-fs)=2tiR(+K,)(f1-于)+(K2-R)(f2-于2)+es(fs-fs)=0E1(fs-Js)=-2DiLX35其中N表示孔口边界。将(7)式变为在新坐标系(,y)下的方程:(10)d1=Re(fi(z)p2=Re(f2(z)da=Re(fs(z)为便于计算,引人保角映射函数18-19 ,图2给出了其简要变换过程。可将图1所示的正10 边形孔外部区域保角映射到单位圆内部。zi=()=R()+ci()1+C(g)-2+.+ck(g)-m),(14)其中,c2n(n-1),C2I(j-1)n-2MCk1=2k-3n(kn-1)2(9)(S)=0n
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