等离子体密度对尾场加速中最优束流负载的影响.pdf

等离子体密度对尾场加速中最优束流负载的影响*黄开国1）安维明1，2）（1）北京师范大学天文系，北京；2）北京师范大学天文与天体物理前沿科学研究所，北京）摘要探讨了当束团参数固定时，通过改变束团电荷量来改变束流的负载状态以达到最优束流负载条件，以及改变等离子体密度对束流负载特性的影响；通过实验发现，等离子体的入口和出口处均存在逐渐增加或降低的等离子体密度坡，并探究了该密度坡对束团相对能散的影响.利用 QuickPIC 对粒子的行为及其在等离子体中的演化状态进行了模拟；利用理论分析法对束团状态和相对能散的变化进行了综合分析和论证.结果表明：1）在传播方向上局部微调等离子体密度可降低尾随束团的相对能散；2）密度坡的存在会降低相对能散；3）改变等离子体密度，可实现欠负载、过负载，以及最优束流负载之间的切换，最终能散相较最优束流负载状态下的能散更低.关键词等离子体尾场加速；最优束流负载；密度坡；能散；粒子网格模拟中图分类号TF806DOI：10.12202/j.0476-0301.20231660引言粒子加速器是探索物质奥秘最重要的实验装置之一.一直以来，科学家们通过不断地开发各种加速器新技术，以提高被加速粒子的束能量及束团品质.为了使未来的对撞机结构更紧凑、建造成本更低，需要开发出能产生更高亮度粒子束流的具有高加速梯度、高效率加速方法的加速器.在高梯度带电粒子加速中，等离子体尾场加速12是超短或超强的粒子束流或激光脉冲（即驱动束）经过等离子体时，激发产生包含纵向加速电场和横向聚焦场的尾场波.该尾场波可对跟随在驱动束后方（即尾随束团）且位于尾场加速相位中的带电粒子束进行加速，同时约束其横向运动.当作为驱动束的带电粒子束产生尾场时，一般将其称为等离子体尾场加速器（plasmawakefieldaccelerator，PWFA）；而当激光脉冲作为驱动束时，一般将其称为激光等离子体尾场加速器.与传统加速器相比，PWFA 具有高于传统加速器数千倍的超高加速梯度.近年来，等离子体尾场加速验证性研究取得了令人瞩目的进展34.2007 年，美国斯坦福直线加速器中心（SLAC）在等离子体尾场加速实验中，测量并验证了距离为 85cm 的等离子体尾场3，其加速时的加速梯度为 42GeVm1；2014 年，SLAC同时验证了电子加速的高加速梯度、高加速效率及准单能（相对能散约为 1%）4.未来，科研人员将进一步验证 PWFA 的尾随电子束团是否能够在高梯度、高效率的等离子体尾场加速过程中保持其束团品质.相对能散是束团品质中的一个重要参数，高能对撞机和自由电子激光等都对束团的相对能散有着较高要求56.线性 PWFA 中驱动束流的流强较低，它进入等离子体后，对等离子体密度的扰动远小于等离子体的初始密度.通过束流负载效应，在线性等离子体尾场中，可使尾随束团受纵向均匀的加速电场，从而最小化其能散的增加7.在线性等离子体尾场中，尾随束团横向分布并不均匀2，因此被加速束团的能散还可能在一定程度上会增长；在强非线性 PWFA（也称为空泡尾场）中9，驱动束团具有较高流强，它经过等离子体时可以排开其运动路径上的电子而形成一个移动的空泡.由于空泡等离子体中存在质量较大的离子，研究中可假定其静止不动.在空泡尾场中，同样可以通过束流负载效应让被加速束团受纵向均匀的加速电场11.由空泡尾场理论可知，在轴对称空泡中被加速束团同时存在横向均匀的加速电场910.对于固定驱动束与尾随束团参数，获得最优束流负载需要固定的等离子体密度8，11；当等离子体密度发生变化时，最优束流负载的条件将被破坏，尾随束团能散有可能进一步增加.在 PWFA 实验中，等离子体密*国家自然科学基金资助项目（12075030）；北京师范大学引进人才科研启动经费资助项目（310432104，312200502503）通信作者：安维明（1982），男，博士，教授，博士生导师.研究方向：等离子体物理、实验室天体物理、等离子体尾波加速器、大规模等离子体并行模拟计算.E-mail：收稿日期：2023-08-302024-04北京师范大学学报（自然科学版）60（2）JournalofBeijingNormalUniversity（NaturalScience）183度往往不是均匀的，在等离子体入口和出口处存在一个从小到大与从大到小的密度坡.该密度坡是由实验中产生等离子体时采用的方法所形成的34，12，其可调整并控制束团横向相空间分布，使尾随束团在等离子体中达到匹配1318.密度坡的存在是否导致最优束流负载条件下尾随束团的能散进一步增加，这是需要研究的重要问题.已有对抑制束团能散的研究1920，主要是利用低密度等离子体减小单个束团能量啁啾，从而减小束团能散的方法.本文介绍一种在驱动束与尾随束同时存在的情况下，通过调整等离子体密度来降低尾随束团能散的方法.1最优束流负载与等离子体密度的关系1.1最优束流负载束流负载效应是指束团流强对等离子体尾场的影响.在密度均匀的等离子体中所激发的轴对称空泡尾场，无论是改变驱动束流强还是改变尾随束流强，都会改变尾场中加速电场的纵向分布，但其横向分布始终保持均匀.因此，在空泡尾场中，尾随束团所受到的加速电场的纵向分布越均匀，其在尾场加速过程中所产生的额外能散就会越小.本 文 应 用 准 静 态 粒 子 网 格（PIC）模 拟 程 序QuickPIC2122对不同束团流强的情况进行模拟.图 1展示了相同初始等离子体密度、相同驱动束团条件下3 种不同尾随束团电荷量Qt（单位nC）所对应的纵向加速电场 Ez，等离子体的初始密度 np均为 4.01016cm3，下同.1p1p本文所有物理量均采用归一化后的单位：使用等离子体趋肤深度 c对长度进行归一化，其中p是等离子体频率，c 是光速；使用对时间进行归一化；使用光速 c 对速度进行归一化；使用 mecpe1对电场强度进行归一化，其中 me是电子的质量，e 是电子的电荷量；使用等离子体密度 np对束团密度进行归一化.驱动束团与尾随束团的横向与纵向电荷密度分布都为高斯分布（本文所述的模拟横向与纵向均为高斯分布的三高斯束团），2 束团中心间距为 5.6391.其轴上的束团电荷密度如图 1-a 所示：3 种情况下驱动束团的电荷密度都相同（蓝线所示），峰值密度为93.377，束团长度的均方根（RMS）为 0.48；而 3 种尾随束团都具有相同的束团长度 RMS 为 0.24，但电荷密度具有不同的峰值，分别为 40.299、80.598 和 111.196.尾随束团的峰值电荷密度越大，其总电荷量 Qt越高.图 1-b 展示了等离子体电子的电荷密度和驱动束团及尾随束团的电荷密度及轴上的纵向电场 Ez.可以看到，驱动束团可在等离子体中将电子推离轴线从而激发出空泡尾场，而尾随束团正处于空泡中的加速相位上（即 Ez为负值的区域）从而可以得到加速.图 1-b中黑色实线的 Ez对应于图 1-a 中黑色实线所示的尾随束团.这时 Ez在束团中的分布较为平坦，由其产生的尾随束团的能散增加也较小.适当调整尾随束团电荷量，使其能散增加值最小时，称其为最优束流负载.当尾随束团的电荷量变小，其峰值电荷密度也会变小（如图 1-a 中红色实线），这时尾场 Ez（图 1-b 中红色虚线）在尾随束团内不平坦程度显著增加，且束团头部受到的加速电场小（也就是 Ez的绝对值小）而束团尾部受到的加速电场大，称这种状态为欠负载.这时尾场尾随束团的能散显著增加，可以提高尾随束团的电荷量而使其达到最优束流负载条件.当尾随束团的电荷量变大，其峰值电荷密度也会变大（如图 1-a中蓝色实线），这时尾场 Ez（图 1-b 中蓝色虚线）在尾随束团内不平坦程度同样会增加.与欠负载情况相反，这时束团头部受到的加速电场大而束团尾部受到的加速电场小，这种状态为过负载.过负载同样会使尾随束团的能散发生显著增加.过负载发生时，需要120ab束团密度/(1016 cm3)3 倍纵向尾场场强/(Vm1)横向模拟长度/趋肤深度束团密度/(1016 cm3)等离子体密度/(1016 cm3)8040202横向刻度/趋肤深度驱动束团尾随束团传播方向尾随束团驱动束团最优束流负载效应欠负载过负载468202共动坐标/趋肤深度468084048010203040500246810图1不同束团电荷量对束流负载状态的影响184北京师范大学学报（自然科学版）第 60 卷减少尾随束团的电荷量而使其达到最优束流负载条件.当驱动束团与尾随束团同处于一个空泡尾场中时，尾随束团只可能是过负载、欠负载或最优束流负载这 3 种情况中的一种.1.2等离子体密度对束流负载的影响从前面的讨论可以得出，尾随束团是否达到最优束流负载取决于它的电荷量或它的束流密度峰值是否适当.若尾随束团的峰值束流密度过低或者过高，就会发生欠负载或者过负载的现象，因此，在等离子体尾波加速实验中，为了使束团达到最优束流负载，需要具备调整尾随束团电荷量的能力.通过调整等离子体密度，同样可以调整尾随束团的负载特性.当等离子体密度固定且驱动束团及尾随束团参数满足最优束流负载时，保持其他参数不变，只改变等离子体密度，则尾随束团将失去最优束流负载性质，这时它处于过负载或欠负载状态.Wang 等8通过大规模参数扫描、机器学习多项式并进行优化，给出了最优束流负载条件下的尾随束团电荷量 Qt随着等离子体密度 np的变化关系，即Qt=Hn1.5p+Mnp+Pn0.5p+S，式中 H、M、P、S 是驱动束团 RMS 束长 Ld（单位 m）、驱动束团总电荷量 Qd、尾随束团 RMS 束长 Lt（单位m）以及驱动束团与尾随束团中心间距 l（单位 m）的函数.它们之间有如下关系：H=(w25L3d+w26L2dLt+w27L2dl+w28LdL2t+w29LdLtl+w30Ldl2+w31L3t+w32L2tl+w33Ltl2+w34l3)Lt,M=(w9L2d+w10LdLt+w11Ldl+w12L2t+w13Ltl+w14l2)Lt+(w19L2d+w20LdLt+w21Ldl+w22L2t+w23Ltl+w24l2)LtQd/Ld,P=(w2Ld+w3Lt+w4l)Lt+(w6Ld+w7Lt+w8l)LtQd/Ld+(w16Ld+w17Lt+w18l)LtQ2d/L2d，S=w1LtQd/Ld+w5LtQ2d/L2d+w15LtQ3d/L3d+w0Lt，式中的拟合系数如表 1 所示.表1拟合系数列表w0=3.573102w1=3.658101w2=1.223103w3=1.452103w4=4.107104w5=5.268101w6=4.411102w7=2.410103w8=9.462104w9=1.801105w10=4.832106w11=3.321106w12=5.468105w13=2.610105w14=1.919106w15=4.708101w16=1.999102w17=6.975103w18=3.062103w19=3.055104w20=8.582105w21=3.410105w22=1.372104w23=2.527105w24=1.084106w25=5.880108w26=1.781108w27=3.635108w28=2.468107w29=1.227108w30=2.883109w31=1.361106w32=5.844107w33=1.199107w34=3.169109当 Qd=1.6nC、Ld=12.77m、Lt=6.38m、l=150m 时，Qt随 np的变化关系如图 2 所示.二者的数学关系为Qt=0.019 91n3/2p0.219 7np+0.807 5n1/2p0.005 8.0.7D 点相对于 C 点是欠负载状态E 点相对于 A 点是过负载状态DCBEA0.60.50.40.30.20.1尾随束团电荷量/nC00123456等离子体密度/(1016 cm3)图2尾随束团电荷量 Qt随等离子体密度 np的变化关系曲线由图 2 可见，当 np约为 2.241016cm3时，Qt达到最大值.在满足最优束流负载条件下，除了尾随束团电荷以外的其他束团参数不变，存在一个最优等离子体密度，使得尾随束团的电荷量最大8.在该极值点左侧，最优尾随束团电荷量随等离子体密度增加而增加；在该点右侧，最优尾随束团电荷量随等离子体密度增加而减小.取蓝线极值点右侧 A、B、C3 个点，这 3 个点均处于最优束流负载状态，但它们的等离子体密度及尾随束团总电荷量不同.如果从 B 点出发，保持束团参数不变，同时减小 np，那么束流的负载状态就会从 B 点移动到 D 点.此时 D 点与 C 点的等离子体密度相同，但 D 点的尾随束团的 Qt要小于处于最优束流负载状态下的 C 点，由图 1 得出的结论可知，D 点会处于欠负载状态.同理，保持 B 点束团参数不变，同时增大等离子体密度，尾随束团的负载状态由 B 点移动到 E 点，但E 点的尾随束团的 Qt要大于处于最优束流负载下的A 点，因此 E 点相对于最优束流负载状态的 A 点是过负载状态.如果将 B 点选在极值点左侧，那么当减小第 2 期黄开国等：等离子体密度对尾场加速中最优束流负载的影响185等离子体密度时，尾随束团会从最优负载变为过负载；当等离子体密度增加时，尾随束团则会从最优负载变为欠负载.若 B 点正好选在极值点上，则等离子体密度无论是增加还是减少，尾随束团都会从最优负载变为过负载.故此，理论上，在保持束团参数不变的情况下，可通过调整 np控制尾随束团在欠负载、最优负载及过负载之间的连续转换.为验证该结论，本研究利用QuickPIC 做了 3 个束流参数相同、np分别为 4.001016、4.121016和 3.881016cm3的数值模拟.选取的束团参数与图 2 中 B 点的束团参数一致，因此，当 np=4.001016cm3时，束团处于最优束流负载条件.在模拟计算中使用的是细束团，其束流横向 RMS 尺寸相对较小（归一化后为 0.05）.使用细束团的主要原因是如果束团横向尺寸偏大，在加速过程中束团中的某些粒子会落到等离子体空泡外部，从而造成电荷损失，同时使得整体束团的相对能散进一步增加.图 3 展示了相同束团参数下 3 种等离子体密度所产生的纵向电场.在图 3 中，黑色实线对应的是最优束流负载状态下的纵向电场 Ez（背景等离子体密度及束团密度也是最优束流负载条件下得到的）.当等离子体密度增大时（等离子体尾场中的 Ez为图中红色虚线），尾随束团会成为过负载状态.正如图 3 中红色虚线所示，尾随束团头部受到的Ez绝对值更大而尾部则更小（即 Ez对共动坐标的平均斜率更大），因此为过负载状态；而当等离子体密度减小时（等离子体尾场中的 Ez为图中蓝色虚线），尾随束团会成为欠负载状态.如图 3 中蓝色虚线所示，尾随束团头部受到的Ez绝对值更小而尾部则更大（即 Ez对共动坐标的平均斜率更小），因此为过负载状态.鉴于此，在保持束团参数不变的情况下，通过调整等离子体密度也可实现对尾随束团负载状态的调整.与调整尾随束团电荷量的方法不同之处在于这是一种全新的方法.当然，调整等离子体密度并不能随意进行.当束团参数不变时，如果持续提高等离子体密度，那么空泡的长度将会变短，从而使一部分尾随束团落到空泡外面造成束流损失；当持续降低等离子体密度时，尾随束团会进入减速相位从而无法得到加速.一般情况下，只能在最优束流负载所对应的等离子体密度附近进行小幅度调整.2等离子体密度纵向变化对尾随束团相对能散的影响对于固定的束团参数，一般认为选择合适的等离子体密度，使其达到最优束流负载状态即可在加速过程中获得最小的能散增加8.这种结论是在使用均匀等离子体密度的前提下得到的，但是使用纵向（即在束团传播方向上）不均匀的等离子体时，其未必成立.为探究调整等离子体密度对束流负载的影响，使用如图 4-a 所示的 3 种等离子体密度分布.3 倍纵向尾场场强/(Vm1)横向模拟长度/趋肤深度束团密度/(1016 cm3)等离子体密度/(1016 cm3)传播方向驱动束团尾随束团密度=4.001016 cm3密度=4.121016 cm3密度=3.881016 cm302共动坐标/趋肤深度46863036010203040500246810图3相同束团参数 PIC 模拟的 3 种等离子体密度所产生纵向电场的欠负载与过负载示意4.25ab模拟 1模拟 2模拟 3模拟 1模拟 2模拟 34.003.752.01.51.00.501530传播距离/cm456001530传播距离/cm4560等离子体密度/(1016 cm3)尾随束团的相对能散/%图4最优束流负载下不同等离子体纵向密度分布对束团能散的影响186北京师范大学学报（自然科学版）第 60 卷图4-a 中：蓝色线代表等离子体密度为4.001016cm3且沿束团传播方向均匀分布；橙色虚线代表前 15.95cm等离子体密度为 4.001016cm3，随后密度降低为 3.881016cm3；绿色线代表前 26.58cm 等离子体密度为4.001016cm3，随后密度降低为 3.881016cm3.三者的等离子体总长度均为 55.83cm.使 用 与 图 2 中 B 点 相 同 的 束 团 参 数，并 利 用QuickPIC 对束团在等离子体中的演化进行模拟.由于蓝色线所代表的均匀等离子体密度为 4.001016cm3，因此束团处于最优束流负载状态.模拟结果中尾随束团的相对能散随着传播距离的变化如图 4-b 所示.通过观察图 4-b 中相对能散的变化可知，在束团传播方向上局部降低等离子体密度可以降低尾随束团最终的相对能散，使其低于均匀密度最优束流负载条件下所得到的相对能散.这是因为最优束流负载条件下，尾随束团头部受到的 Ez要略大于尾随束团尾部.当等离子体密度降低时，由图 3 可知，尾随束团成为欠负载状态，这时尾随束团头部受到的 Ez要略小于尾随束团尾部.这样，便可对之前产生的能散产生一定的补偿作用，从而达到降低尾随束团最终相对能散的结果.实际上，纵向不均匀等离子体在等离子体尾波加速中非常常见34.在实验中，等离子体密度的纵向分布往往如图 5-a 中橙色虚线所示，即在等离子体入口与出口处存在从小到大和从大到小的等离子体密度坡，而中间区域呈均匀分布.4ab3212.01.51.00.5等离子体密度/(1016 cm3)尾随束团的相对能散/%02040传播距离/cm模拟 1模拟 2模拟 1模拟 2608002040传播距离/cm6080图5最优束流负载下等离子体密度坡对束流负载能散的影响示意这种密度坡必然会带来随传播距离变化的横向聚焦场，可以用来对束团横向相空间分布进行调控，以使尾随束团与均匀密度等离子体达到横向匹配（即尾随束团横向相空间分布不随束团传播而发生剧烈变化）1318.但是纵向的密度不均匀同样会带来纵向尾场 Ez的变化.为了使尾随束团在加速过程中能散最小，会使束团参数在均匀等离子体部分达到最优束流负载.这就注定了束团在入口和出口处的密度坡中不能达到最优束流负载，从而可能会使尾随束团最终能散增加.为了回答这个问题，本研究利用 QuickPIC 做了2 个模拟.模拟中依然使用图 2 中 B 点的束团参数.第1 个模拟与图4 中的蓝线相同，使用了长度为55.83cm以及密度均匀的等离子体；而第 2 个模拟中的等离子体密度如图 5-a 中橙线所示，是在第 1 个模拟中的均匀等离子体密度的入口和出口处各增加了一个长度为 7.97cm 的线性增长和下降的等离子体密度坡.模拟计算得到 2 种情况下尾随束团的相对能散变化曲线如图 5-b 所示，在均匀等离子体中，尾随束团的最终相对能散是 1.869%，而在密度坡存在的情况下，尾随束团的最终能散是 1.866%.这说明，模拟中等离子体密度坡的存在并没有导致尾随束团能散的增加反而还起到了降低能散的作用.这是因为对于模拟的束团参数，当等离子体密度为 4.001016cm3时，束团处于最优束流负载状态.而密度坡中等离子体密度均4.001016cm3，因此尾随束团处于欠负载状态.和前文分析的原因相同，在这种情况下，欠负载状态会使尾随束团的最终能散有所降低.这里值得注意的是，均匀等离子体段的密度一定要大于图 2所示曲线中的极值等离子体密度，否则，密度坡中的低密度会导致束团进入过负载状态，最终会使尾随束团相对能散增加.3结束语本文首次在理论上分析了在空泡尾场中，当束团参数固定时可以通过调整等离子体密度使尾随束团在欠负载、最优负载及过负载之间变化，并得到了QuickPIC 模拟结果的印证.这为调整束流负载状态提供了一种新的可能.利用这种方法，在一定条件下通过非纵向均匀等离子体获得的相对能散比最优束第 2 期黄开国等：等离子体密度对尾场加速中最优束流负载的影响187流负载条件下的能散还要小.模拟结果显示，只要等离子体密度选取得当，位于等离子体入口与出口处的密度坡不会使尾随束团产生额外的能散增加，反而会使尾随束团的最终相对能散降低.本文中使用了电荷密度为三高斯分布的电子束团，对大部分等离子体尾场加速实验都具有一定的指导意义，当束团的纵向分布为三角分布或梯形分布时，本文的结论同样成立，这将在未来的工作中对其进行阐述.4参考文献TAJIMAT，DAWSONJM.LaserelectronacceleratorJ.PhysicalReviewLetters，1979，43（4）：2671CHENP，DAWSONJM，HUFFRW，etal.AccelerationofelectronsbytheinteractionofabunchedelectronbeamwithaplasmaJ.PhysicalReviewLetters，1985，54（7）：6932BLUMENFELDI，CLAYTONCE，DECKERFJ，etal.Energy doubling of 42 GeV electrons in a 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卷Theinfluenceofplasmadensityontheoptimalbeam-loadinginplasmawakefieldaccelerationHUANGKaiguo1）ANWeiming1，2）（1）DepartmentofAstronomy，BeijingNormalUniversity，Beijing，China；2）InstituteforFrontiersinAstronomyandAstrophysics，BeijingNormalUniversity，Beijing，China）AbstractInthebeamdrivenplasmawakefieldacceleration，theoptimalbeam-loadingcanbeachievedbychangingthetotalchargeofthewitnessbeamwhilekeepingallotherbeamparametersthesame.Undertheoptimalbeamloadingcondition，thewitnessbeamwillhavetheminimalrelativeenergyspreadgrowthduringtheaccelerationprocessinsidetheplasma.Whenthewitnessbeamdoesnothavetheproperchargefortheoptimalbeamloading，itwillbeeitherlessloadedoroverloadedinsidetheplasmawake.Inthispaper，weproposesthatthebeam-loadingconditioncanbemodifiedbychangingtheplasmadensitywithfixedbeamparameters.Furthermore，thefinalrelativeenergyspreadofthewitnessbeamcanbemitigatedbyusingalongitudinallynon-uniformplasma.TheseareshowninthesimulationresultsthatusestheQuickPICcode.Inaddition，wealsoshowthatthedensityrampsintheplasmawakefieldacceleratorexperimentswillnotleadgrowthontrailingbeamsenergyspreadbutwillinsteadreduceit.Keywordsplasmawakefieldacceleration；optimalbeam-loading；densityramp；energyspread；particlemeshsimulation【责任编辑：陆有忠】第 2 期黄开国等：等离子体密度对尾场加速中最优束流负载的影响189