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一类含常数项的混沌系统在未知参数下的同步.pdf
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1、第 卷第期V o l ,N o 滨州学院学报J o u r n a l o fB i n z h o uU n i v e r s i t y 年月A p r,【工程与技术研究】一类含常数项的混沌系统在未知参数下的同步收稿日期:基金项目:安徽省高校优秀拔尖人才培育项目(g x g n f x );安徽高校自然科学研究重点项目(K J A )第一作者简介:周群利(),女,陕西西安人,副教授,硕士,主要从事非线性系统控制及同步研究.E m a i l:z h o u q u n l i c o m周群利,白彩波(芜湖职业技术学院 电气与自动化学院,安徽 芜湖 ;中国科学院 合肥智能机械研究所,安徽
2、 合肥 )摘要:研究了一个新的含有常数项的混沌系统在参数未知情况下的修正函数投影同步问题.对新的含有常数项的混沌系统从平衡点的稳定性、耗散性、p o i n c a r e映射、功率谱及初值敏感性个方面进行了特性分析.基于修正函数投影同步方法,设计了有效的控制输入及参数自适应律,根据L y a p u n o v函数稳定性定理从理论上证明修正函数投影同步误差系统在原点的渐近稳定性,从而实现了新混沌系统的修正函数投影同步控制.数值模拟仿真证明了同步方法的正确性,该同步方法可以应用于混沌保密通信的研究中.关键词:混沌系统;R s s l e r系统;修正函数投影同步;常数项;平衡点中图分类号:O
3、文献标识码:AD O I:/j c n k i 由于混沌系统具有伪随机性及对初值敏感性的特点,因此在保密通信中具有较好的应用前景.近年来,人们发现了很多新的混沌系统.贾美美等利用对数函数序列构造了一个可以产生多涡卷的新混沌系统,并将其应用于微弱信号检测;K h a n对提出的新分数阶混沌系统从两个分数算子C a p u t o F a b r i z i o和A t a n g a n a B a l e a n u导数的意义上进行了分析;鲜永菊等在B a o系统基础上构造了一个新的混沌系统并分析了其混沌特性.这些新混沌系统对混沌理论进行了扩充,为后序研究奠定了基础.混沌同步是混沌保密通信的基
4、础 ,其类型有完全同步、自适应同步、滞后同步、函数投影同步、修正函数投影同步(MF P S)等 .MF P S将函数比例因子升级为函数比例因子矩阵,使其更加具有普遍性.目前,同步控制混沌系统结构多数是相同的,而对于相异结构的混沌系统的同步控制研究得较少.实际上,多数控制系统的结构是相异的,因此,对相异结构混沌系统的同步研究具有更广阔的应用前景 .文献 在现有的混沌模型基础上构建了一个含常数项的新三维自治混沌系统,重点研究了该系统在单参数变化时的相图、分岔图及L y a p u n o v指数谱.本文从含常数项的混沌系统平衡点的稳定性、耗散性、p o i n c a r e映射、功率谱及初值敏感
5、性方面对这一类新的混沌系统进行了特性分析,然后研究了新混沌系统在参数未知情况下与不同结构混沌系统的MF P S.混沌系统模型及特性分系 混沌系统数学模型文献 构建的系统模型如下第期周群利,白彩波一类含常数项的混沌系统在未知参数下的同步 xp(yx),yq yx z,zxr zs.()当参数p,q,r,s 时,系统呈混沌状态.当初值取xyzT T时,系统状态时域图、相轨迹如图所示.从图可以看出,系统状态变化非周期,杂乱无章,相轨迹反映了状态变量的运行轨迹绕着两个子吸引子旋转,表现出总体吸引、局部排斥、有界和非周期的特征.图系统状态时域图及相轨迹图 系统特性分析 系统平衡点及稳定性分析令系统()中
6、各方程左端为零,可求得系统()的平衡点为S(,),S(i,i,),S(i,i,).系统有个平衡点,则J a c o b i矩阵和系统在S处的J a c o b i矩阵分别为Jp pz qxxr,Jppzqxxr .根据特征方程|IJ|,可求出系统在平衡点S处的特征值,分别为 ,.同理可求得平衡点S处的特征值,分别为 i,i,.平衡点S处的特征值,分别为 i,i,.由于系统个平衡点处的特征值均具有正实部的根,因此个平衡点均不稳定,为不稳定的鞍点.耗散性分析Vxxyyzzpqr,当系统参数p,q,r,s 时,V,说明系统()为耗散性的,且以dVdtepqr的指数速率收敛,即一个体积元在t时,收敛为
7、Ve(pqr)t.当t时,包含系统轨线的每个小体积元以指数速率收敛到,所有的轨线最终被限制在体积为的极限点上,且系统的渐近动力学行为会固定在某一吸引子上.p o i n c a r e映射在研究非线性系统时,利用p o i n c a r e截面法可以有效降低非线性系统的分析难度.因为该方法不仅可以降低非线性系统的维数,还可以直观地反映系统的内部结构.以z平面为p o i n c a r e截面时,分别做出了s,s 时的p o i n c a r e映射图(图).从图可以看出,该系统在上述s的取值时,其滨州学院学报第 卷p o i n c a r e截面上为一些成片的具有分形结构的密集点,这是
8、典型的混沌特征,说明系统()具有混沌特性.(a)s 时的映射图(b)s 时的映射图图p o i n c a r e映射图 系统功率谱功率谱表示信号功率随着频率的变化情况.根据傅立叶变换理论,当系统为非周期运动时,其频谱是连续的.混沌是属于非周期的,所以混沌信号的功率谱是连续的.取参数p,q,r,s 时,系统()关于x、y、z的功率谱图如图所示.从图可以看出,功率谱为连续谱,其中包含了低频分量和高直流分量,出现宽带噪声,这是典型的混沌特征.(a)x功率谱图(b)y功率谱图(c)z功率谱图图系统功率谱 初值敏感性系统()在上述参数取值时,初值选为x(),y(),z()T ,T,为了观察系统()对初
9、值的敏感性,改变状态变量x的初值x(),而状态变量y和z的初值y()和z()不变.选取另两组系统初值x(),y(),z()T ,T,x(),y(),z()T ,T.在上述组初值下系统状态变量随时间变化曲线如图所示.(a)状态变量x的时域图(b)状态变量y的时域图(c)状态变量z的时域图图系统状态的时域图从图可以看出,当状态变量中仅x的初值发生微小变化时,系统状态变量的轨迹在很短时间内将出现较大的差异,体现了系统()对状态变量初值良好的敏感性.第期周群利,白彩波一类含常数项的混沌系统在未知参数下的同步同步方法及实现 修正函数投影同步方法考虑个n维非线性动力系统xf(t,x),()yg(t,y)u
10、.()式中:x,yRn是系统的状态向量;f,g是连续的向量函数.取式()作为驱动系统,式()为被控的响应系统.式()中u是待设计的控制器.同步误差定义为ei(t)yi(t)i(t)xi(t),i,.()式中,i(t)(i,)为修正函数比例因子,其连续有界且可微.其中(t)d i a g(t),(t),(t).在u的作用下当l i mte(t)l i mty x时,式()与式()达到同步.此时,式()与式()的同步问题即转化为同步误差在原点的稳定问题.参数未知情况下,不同结构混沌系统的同步实现选取著名的R s s l e r系统作为驱动系统,设x(x,x,x)T,模型如下xxx,xxa x,xb
11、x(xc).()式中,x,x,x为状态变量.当系统参数a,b,c 时,系统出现混沌现象.设系统()中(x,y,z)T(y,y,y)T,对系统()施加控制输入后作为响应系统:yp(yy)u,yq yyyu,yyr ysu.()式中,y、y、y为状态变量.设UuuuT为系统控制输入函数.考虑式()和式()均为参数未知的系统,根据式(),同步误差系统为ep(yy)ux(xx),eq yyyux(xa x),eyr ysuxbx(xc).定理对于式()和式(),设计控制输入 uxpypy(xx)ke,uqyyyxxaxke,uyrysxbxxxcke,()及参数自适应律axekea,bekeb,cxe
12、kec,p(yy)ekep,qyekeq,ryeker,sek es.()在设计的控制输入UuuuT及参数自适应律式()作用下,式()和式()可实现MF P S.式()滨州学院学报第 卷中a、b、c、p、q、r、s分别为参数a、b、c、p、q、r、s的估计值.式()中,ki(i,)为常数,eaaa,ebbb,eccc,eppp,eqqq,errr,esss.证明选取L y a p u n o v函数为V(e,e,e,a,b,c,p,q,r,s)eTe(eaebecepeqeres),式中,eTeee.对V求导可得Ve(epyepyke)e(eqyxeake)e(eryesebxecke)ea(
13、xekea)eb(ekeb)ec(xekec)ep(yy)ekepeq(yekeq)er(yeker)es(ek es)kekekekeakebkeckepkeqkerk es.构造的L y a p u n o v函数V,而当ki(i)都非负时V成立.根据L y a p u n o v函数稳定性定理可知,MF P S误差系统在原点是渐近稳定的,在设计的控制器U及参数自适应律作用下式()和式()实现了MF P S.数值仿真对于参数未知的式(),选取初值(x(),x(),x()T(,)T.式()的初值为(y(),y(),y()T T,(a(),b(),c(),p(),q(),r(),s()T(,)
14、T,ki(i,),修正函数比例因子(t),(t),(t)T(s i n(t),c o s(t),s i n(t)T.同步误差曲线如图所示.式()的待估计参数收敛曲线如图所示.图式()和式()的同步误差曲线 图式()待估计参数收敛曲线式()的待估计参数收敛曲线如图所示.从图可以看出在经历短时间的波动后,式()与式()的同步误差逐渐趋于并保持恒定,即在设计的控制输入及参数自适应律作用下,两个系统达到MF P S.由图及图可见该方法对驱动系统及响应系统中的参数均能够实现准确辨识.当增大ki值时,系统间同步的速度加快,同步误差收敛于的时间将缩短,参数趋近于稳定值的时间也变短.图 分别为响应系统状态变量
15、y与(t)x、y与(t)x、y与(t)x的同步曲线.图式()待估计参数收敛曲线图响应系统状态变量y与(t)x的同步曲线由图 可以看出,经过短短几秒时间,在设计的控制器及参数自适应律作用下,式()和式()实第期周群利,白彩波一类含常数项的混沌系统在未知参数下的同步现了MF P S.图响应系统状态变量y与(t)x的同步曲线图 响应系统状态变量y与(t)x的同步曲线结论R s s l e r系统作为驱动系统,施加控制的新混沌系统作为响应系统,在设计的控制输入及参数自适应律作用下,基于L y a p u n o v函数稳定性定理从理论上证明MF P S误差系统在原点的渐近稳定性,从而实现了驱动系统与响
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