弹性约束下变厚度蜂窝夹层板的隔声特性.pdf

第 卷第 期 年 月北京信息科技大学学报（自然科学版）（）文 章 编 号：（）：弹性约束下变厚度蜂窝夹层板的隔声特性王朝能，李凤莲，吕梅（北京信息科技大学 机电工程学院，北京 ）摘要：基于一阶剪切变形理论，研究了变厚度蜂窝夹层板在不同边界条件下的自由振动和隔声性能。从能量角度，利用改进的瑞利 里兹法和流固边界耦合条件，建立并求解了蜂窝夹层板的隔声理论模型。将理论计算的蜂窝夹层板固有频率、传声损失与相关文献结果和仿真结果对比，验证了所建立变厚度蜂窝夹层板隔声理论模型的准确性。此外，对比分析了特征角、厚度变化系数和边界条件对蜂窝夹层板隔声性能的影响。研究表明，厚度变化系数和边界条件对蜂窝夹层板隔声性能影响较大。关键词：瑞利 里兹法；一阶剪切变形理论；蜂窝夹层板；隔声特性中图分类号：文献标志码：，（，）：，：；收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）作者简介：第一作者：王朝能，男，硕士研究生；通信作者：李凤莲，女，博士，副教授。引言蜂窝结构起源于仿生学，蜂窝夹层复合材料具备复合材料的特点，并且其蜂窝材料及其特殊结构形式，扩宽了其应用范围。蜂窝夹层板结构具有轻质、优良比刚度 比强度、抗冲击性能以及隔热和隔音性能，在医疗设备、传感器、防护设备、航空航海及国防工程等领域有广泛的应用前景 。由于蜂窝结构有较高的减重率，现在的航天飞机、人造卫星、高铁、汽车等在内部大量采用蜂窝结构。由于蜂窝夹层板所运用的工况环境使其经常面临振动载荷和声压载荷激励，故有必要深入研究其振动和隔声特性。近年来，大量学者对蜂窝夹层板结构进行了深入研究。等 首次提出了二维内凹六边形蜂窝结构，其结构具有负泊松比效应。研究夹层板结构振动主要有 理论、理论和普鲁卡北京信息科技大学学报（自然科学版）第 卷克夫 杜庆华理论。等 分析了经典层合板理论（，）、一阶剪切变形理论（，）和高阶剪切理论在夹层复合材料研究中的适用性和效率。等 基于双曲切线剪切变形理论，利用 法和流固边界条件研究了 种不同类型的负泊松比功能梯度蜂窝夹层板的自由振动和隔声性能。等 建立了基于统计能量分析（，）的蜂窝夹层板分析模型，利用 方法对蜂窝夹层板的声透射损失进行了理论有效性验证，并给出了声透射损失的表达式。任树伟等 基于 理论建立了简支边界下蜂窝夹芯板传声理论模型，通过与有限元分析结果对比验证了声学理论模型的正确性。周俊杰等 利用代表体元（，）法对蜂窝模型进行有限元等效建模，总结出了可靠的蜂窝夹层板的有限元等效模型。等 采用瑞利 里兹法（）根据结构 声耦合系统的能量表达式对带声腔的双层板结构的振动声特性进行了分析研究，验证了理论的可靠性。利用一阶剪切变形理论，结合改进的瑞利 里兹法 ，建立并求解了声振理论模型。通过有限元分析验证了理论的准确性。在此基础上，讨论了参数变化对变厚度蜂窝夹层板隔声性能的影响。采用的方法可以快速计算不同边界条件下蜂窝夹层板的振动及隔声特性。理论模型的建立负泊松比的变厚度蜂窝夹层板模型如图 所示，它由等壁厚的六边形蜂窝核心层和上下面板组成。在直角坐标系 中，平面位于中间层蜂窝芯的中间平面上。板的长度和宽度分别为 和 ，蜂窝芯层厚度为，板的最大厚度为 ，相关厚度变化函数规律如下：（，）()()（）式中：、分别为沿 和 轴方向的厚度变化系数；为板的最小厚度，可由 、求解得到。蜂窝芯的单元胞如图 所示。蜂窝的倾斜壁长为，蜂窝的上下壁长为，壁厚为，蜂窝的特征凹角为 。随着特征角的变化，蜂窝芯的形态也发生变化。当 时，芯层为负泊松比凹六边形蜂窝，如图（）所示；当 和 时，负泊松比的凹六边形蜂窝将分别演化为图 （）所示的零泊松比的准方形蜂窝和图（）所示的正泊松比的凸六边形蜂窝 。图 变厚度蜂窝夹层板模型 图 等壁厚蜂窝的单元胞模型 六边形蜂窝夹层板的面内等效弹性参数的研究已被广泛开展 。基于 和 提出的蜂窝等效理论及后来的修正蜂窝等效理论 ，给出了等壁厚负泊松比六边形蜂窝夹层板等效弹性参数的计算公式：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）式中：、为 、方向上的等效弹性模量；、为等效剪切模量；、为等效泊松比；第 期王朝能等：弹性约束下变厚度蜂窝夹层板的隔声特性 为等效质量密度；蜂窝结构关系 、；为材料杨氏模量；（）为材料弯曲模量，为材料泊松比；为材料密度。基于一阶剪切变形理论，蜂窝板位移场表示为（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）式中：、分别为变厚度负蜂窝夹层板中性面上任意一点的位移；、分别为夹层板的法线沿 和 轴的转角。根据线性变形假设，其位移 应变关系表示为 ，（）式中：、和 为应变分量。根据广义胡克定律并且考虑负泊松比的蜂窝夹层板结构的正交各向异性，并结合式（），其本构方程表示为 （）式中：、和 为应力分量；，为板的不同层，、为上下变厚度层，为蜂窝芯层；各层的刚度系数 （，）的关系如下：，（）利用 原理，可以推导出负泊松比蜂窝夹层板的动力学方程为 （）式中：为分布在 上的外力；、和 为应力的合力；、和 为力矩；、和为广义惯性项；和为横向剪力的合力。这些变量可以表示如下：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）通过改进的双傅立叶余弦级数和辅助多项式函数组合为位移场容许函数，多项式函数表示如下：（）()，（）()，（）()，（）()（）不考虑边界条件，蜂窝夹层板的每个位移和旋转分量展开为修正傅里叶级数为（，）（，）（，）（，）（，）（）式中：和 分别为傅里叶级数的截断数；、和 为余弦傅里叶级数的傅里叶展开未知系数；、为相应辅助函数的未知系数；其他变量表示为 （）（）（）（）（）（）北京信息科技大学学报（自然科学版）第 卷对于变厚度蜂窝夹层板，应变能 定义为 （，）（，）（）（）蜂窝板的动能 表示为 ()()()()()()()()()（）假设外力做的功 为 （）（）蜂窝夹层板结构的边界约束弹簧中的弹性边界能 表达式为 （）（）（）（）（）式中：、和 、为如图 所示的四边边界坐标。约束弹簧分布如图所示。以 的边为例，当个方向的弹簧刚度值、均为 时，等效刚性边界条件。经典的边界约束条件自由边（）、简支边（）、固支边（）可以定义为：，：（）蜂窝夹层板的拉格朗日能量函数可以表示为（）通过拉格朗日能量函数并结合 法，可得到系统自由振动的矩阵方程：（）（）式中：为入射声波的圆频率；和 分别为板的刚度矩阵和质量矩阵，它们都是对称矩阵，可以写成：（）（）式中：和 等均为子矩阵，其维度与截断数 和 有关，例如 为方程组对 方向的位移函数，即式（）中 （，）函数所包含的未知系数进行二次偏导后对应的项，其他子矩阵包括质量矩阵求解类似。特征向量 为未知展开式系数，可表示为 ，（）当平面简谐声波 以一定的入射角入射到蜂窝夹层板的上面板，如图 所示，其中入射方向矢量与 轴夹角为，入射方向矢量在 平面的投影与 轴夹角为。入射声压激励 可表示为（，）（）（）式中：为入射声压幅值；、分别为波数在、方向上的分量，其表示为 （）式中：，为声速。考虑弹性边界条件下蜂窝夹层板的声振特性，反射声压 和透射声压 可以表示为（，）（，）（，）（，）（）式中：为式（）中 （，）函数；和 分别为反射声压幅值和透射声压幅值。蜂窝夹层板系统在入射声压、反射声压和透射第 期王朝能等：弹性约束下变厚度蜂窝夹层板的隔声特性声压激励下的外力可以表示为 ，()，()，()（）在蜂窝夹层板顶板、底板与空气交界处，需满足流固耦合条件，即法向速度分量相等，表示为（）（，）（，）（）根据以上理论条件，将动力学方程与流固耦合条件联合求解，即可得到反射声压和透射声压。假设 和 分别为入射声功率和透射声功率，蜂窝夹层板的传声损失（，）或隔声量可定义为 ()（）式中，入射声功率和透射声功率可表示为()，()（）式中：（）、（）表示流体质点的速度；表示取实数结果；表示复数共轭。数值计算与仿真为了验证理论模型的正确性，通过有限元软件 对负泊松比蜂窝夹层板声振特性进行仿真模拟。如图 所示的模型，其中负泊松比蜂窝夹层板的几何参数为：、，上下面板最大厚度均为 。如图（）所示，负泊松比蜂窝芯层的相关尺寸为：、。变厚度负蜂窝夹层板均由铝组成，其材料性能为：、。令蜂窝夹层板厚度变化系数 、，截断系数 ，得到了等厚度蜂窝夹层板在四边简支边界条件下的前 阶固有频率的理论结果，如表 所示，表中也列出了文献 和有限元方法的结果。从表中可以看到，与理论结果及文献 的结果相比，有限元仿真得出的结果较大，其原因是建模时选择蜂窝为等效模型，但三者误差最大不超过 ，其误差在允许范围内。而且在表 中，有限元与理论的前 阶模态振型相同，由此可以看出所建立的蜂窝夹层板的理论模型是准确有效的。表 蜂窝夹层板前 阶模态固有频率对比 方法模态阶阶阶阶阶理论 文献 有限元 表 四边简支条件下理论与有限元计算的前 阶模态振型对比 方法模态阶阶阶阶阶本文有限元使用有限元建模仿真，验证所建立的蜂窝夹层板隔声理论模型的正确性。在计算中，声波垂直入射，取简谐声波入射方位角 、，入射声压振幅 。图 给出了理论与有限元分析在四边简支边界条件下蜂窝夹层板的隔声特性曲线，可以看出两者吻合良好。参数变化的影响基于所建立的变厚度负泊松比蜂窝夹层板理论模型，在保证其余参数不变的情况下，通过控制变量，选取蜂窝夹层板的前 阶频率范围 ，研究特征角、厚度变化系数及边界条件对隔声特性的影响。北京信息科技大学学报（自然科学版）第 卷图 等厚度蜂窝夹层板隔声曲线对比 特征角是影响蜂窝材料特性的一个重要参数，其对蜂窝结构的性能有较大影响，从而影响结构的隔声性能。图 为不同特征角等厚蜂窝夹层板的隔声曲线。特征角为 和 的蜂窝夹层板隔声性能类似，相比较于 的负泊松比蜂窝夹层板隔声曲线，可以看出在低频时变化不大，高频时变化更加明显，其波谷略有右移，波谷频率有所增大。图 特征角对蜂窝板隔声性能影响 图 为四边简支边界条件下不同变厚度负泊松比蜂窝夹层板的隔声曲线。当 、，时为沿 轴方向单向变厚度负泊松比蜂窝夹层板，当和分别等于 、时为沿 、轴方向双向变厚度负泊松比蜂窝夹层板。可以看出，无论是单向还是双向变厚度蜂窝夹层板，隔声波谷均随着厚度变化系数的增大而左移，高频范围变化幅度较大。且在单双向系数增大时，出现了更多的波谷，表明过薄的上下面板会导致蜂窝夹层板的隔声效果降低。图 厚度变化系数对负泊松比蜂窝板隔声性能影响 图 给出不同边界条件下，轴单向变厚度负泊松比蜂窝夹层板的隔声曲线。图中各边界条件分别为四边简支（），对边固支、另一对边简支（），四边固支（）。可以看出，随着边界弹簧刚度的逐渐提高，隔声曲线逐渐右移，其隔声频率范围越大。这与其固有频率的变化规律一致。图 边界条件对负泊松比蜂窝板隔声性能影响 结束语采用一阶剪切变形理论和改进的瑞利 里兹法，将位移场展开为带辅助函数和余弦函数的傅里叶级数，结合流固边界耦合条件，建立了蜂窝夹层板隔声理论模型。通过有限元分析和文献验证了理论的准确性。在此基础上，分析了参数变化对隔声特性的影响。结果表明，特征角对蜂窝夹层板的隔声效果在低频时影响不大；不同厚度变化系数对于系统的隔声影响较大，过薄的蒙皮会导致出现新的波谷，从而导致隔声效果大幅降低；而随着弹性约束刚度的增大，第 期王朝能等：弹性约束下变厚度蜂窝夹层板的隔声特性即边界条件约束增大，系统的隔声效果逐渐提高，隔声频率范围增大。本研究中，变厚度蜂窝结构可进一步运用于水下环境，分析其流体深度、内支架位置、厚度变化系数等对系统的振动和隔声性能影响。参考文献：任鑫，张相玉，谢亿民 负泊松比材料和结构的研究进展 力学学报，（）：，（）：（），（）：，（）：，（）：，：任树伟，辛锋先，卢天健 蜂窝层芯夹层板结构振动与传声特性研究 力学学报，（）：，（）：（）周俊杰，陈腾飞，蔡海生 蜂窝板有限元等效建模方法研究 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