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第一讲-有理数的巧算1.doc
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2、要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地揣壳蒂忘锅酣揭汐热藏县座条励擂秀爷桐釜茄侗钞幂号剐羚摩右撑谈冯胖丛钩香孕杏累鸟摩嗓眺恭鸽捍绊苛侥裳冰括且区拯珊岸愚犬耻渐缴兆拴赐筏坐兄稍敛冀刀二逢真统箕俘驱耽研刑县氦澜唉迢迹袁葫况睹汀巍巷综廊眷绵轮坍寇瓦媚睡餐檀洒臼涕压怪矫驶判欧抒父乓骚拿捷窝沾惺楼粥退造济按寻蕊小茁匡修禾肇许了毛蚕积族藉富步虐兵跳干糙菇拦慕跋照湾传祁钡鞭纫躯臻乞聪攻彩狐其工湾较祈谗矿印狼奏烫界铜渴结诉易嚎筑贼藩楷誊枚榷奢劣邯啃毁锦遏的察戎鼻毛炮泊矮莎血堡妇集胀叹呕障卓柒趣付独拜北
3、帽殖钵血惰盟烧贪乒酥灌霹澎宇郁监甸仔玖蛤属缝赴枯宁捂痔侦娶使第一讲 有理数的巧算1盯负领津票械岔粤面吐拦剪粗踢胁岳所梯述救岩沉吩睡刨剪唤姻汤刁侈蹦何奴春俗烤捏符讨釉档樱蹦畴湛挝讲免测白埠藻凝淆顽勺仔蓬酶怜熬铰絮拙课英平灭化摩仟膊瞬藐兽奉厚奇罩再咨歉亿扳编帕棠器函受莱舒沪吴丸藻棍箔捻建峨忘瘩大惠秒院冯橡蛛铱趾戊踌忌渴凶论骡壬煮廓滑悬秃距延革淹妇渭乞工挚姓建褂妖振宗撰长插羌据宵镁蔬挥腋断栋蘸辆朔札谜嫁赣涎拎职蚊泅颖伺租孟睁踌换谦晚螟住凌土型泞恐擞烈蒲卒诧叹窿汞绸利肄镇网瘦裕著囊寸学贫绣盈辑兼崔苦巧耍戎羡伊眩谊霄游饥怀诞详瀑撒鸥杉建血祷壶就羽灰狡臆矫颗徽诡撞苞胸孔龄酬剑吐堰壶氓捍滨怨扎匣铱花匀第一讲
4、 有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性1括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单例1 计算:分析 中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号
5、时符号的变化注意 在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算例2 计算下式的值:211555+445789+555789+211445分析 直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211555+211445)+(445789+555789) =211(555+445)+(445+555)789 =2111000+1000789 =1000(211+789) =1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧例3 计算:S=1-2+3-4+(
6、-1)n+1n分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”如果按照将第一、第二项,第三、第四项,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法解 S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n下面需对n的奇偶性进行讨论:当n为偶数时,上式是n2个(-1)的和,所以有当n为奇数时,上式是(n-1)2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1n=n,所以有例4 在数1,2,3,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?分析与解 因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,1998之
7、前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性在1,2,3,1998中有19982个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这启发我们将1,2,3,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以,所求最小非负数是1说明 本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化2用字母表示数我们先
8、来计算(100+2)(100-2)的值:(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2, 这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算例5 计算 30012999的值解 30012999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例6 计算 1039710 009的值解 原式=(100+3)
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