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第三章微分方程建模省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、 第三章第三章第三章第三章微分方程模微分方程模微分方程模微分方程模 型型浙江大学数学建模实践基地浙江大学数学建模实践基地第1页3.1 微分方程几个简单实例微分方程几个简单实例 在许多实际问题中,当直接导出变量之间函数关系较在许多实际问题中,当直接导出变量之间函数关系较为困难,但导出包含未知函数导数或微分关系式较为轻易为困难,但导出包含未知函数导数或微分关系式较为轻易时,可用建立微分方程模型方法来研究该问题,时,可用建立微分方程模型方法来研究该问题,本节将经过一些最简单实例来说明微分方程建模普通本节将经过一些最简单实例来说明微分方程建模普通方法。在连续变量问题研究中,微分方程是十分惯用数学方法。
2、在连续变量问题研究中,微分方程是十分惯用数学工具之一。工具之一。第2页例例1 (理想单摆运动)建立理想单摆运动满足微分(理想单摆运动)建立理想单摆运动满足微分方程,并得出理想单摆运动周期公式。方程,并得出理想单摆运动周期公式。从图从图3-1中不难看出,小球所受协力为中不难看出,小球所受协力为mgsin,依,依据据牛顿第二定律牛顿第二定律可得:可得:从而得出两阶微分方程:从而得出两阶微分方程:(3.1)这是理想单摆应这是理想单摆应满足运动方程满足运动方程 (3.13.1)是一个两阶非线性方程,不是一个两阶非线性方程,不易求解。当易求解。当很小时,很小时,sin,此时,此时,可考查(可考查(3.1
3、3.1)近似线性方程:)近似线性方程:(3.2)由此即可得出由此即可得出 (3.23.2)解为)解为:(t)=0cost 其中其中 当当 时时,(t)=0故有故有MQPmg图图3-1(3.13.1)近)近似方程似方程第3页例例2 我方巡查艇发觉敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发觉了我方巡查艇发觉敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发觉了我方巡查艇,并快速下潜逃逸。设两艇间距离为我方巡查艇,并快速下潜逃逸。设两艇间距离为6060哩,潜水艇最哩,潜水艇最大航速为大航速为3030节而巡查艇最大航速为节而巡查艇最大航速为6060节,问巡查艇应怎样追赶潜节,问巡查艇应怎样追赶潜水艇。水艇。这一问题属于对策问
4、题,较为复杂。讨论以下简单情形:这一问题属于对策问题,较为复杂。讨论以下简单情形:敌潜艇发觉自己目标已暴露后,马上下潜,并沿着直敌潜艇发觉自己目标已暴露后,马上下潜,并沿着直 线方向全速逃逸,逃逸方向我方不知。线方向全速逃逸,逃逸方向我方不知。设巡查艇在设巡查艇在A处发觉位于处发觉位于B处潜水艇,取极坐标,以处潜水艇,取极坐标,以B为为极点,极点,BA为极轴,设巡查艇追赶路径在此极坐标下方程为为极轴,设巡查艇追赶路径在此极坐标下方程为r=r(),见图,见图3-2。BAA1drdsd图3-2由题意,由题意,故,故ds=2dr图图3-2可看出,可看出,第4页故有故有:即即:(3.3)解为:解为:(
5、3.4)先使自己到极点距离等于潜艇到极点距离先使自己到极点距离等于潜艇到极点距离,然后按然后按(3.4)对数螺线航行,即可追上潜艇。对数螺线航行,即可追上潜艇。追赶方法以下:追赶方法以下:第5页例例3 一个半径为一个半径为Rcm半球形容器内开始时盛满了水,半球形容器内开始时盛满了水,但因为其底部一个面积为但因为其底部一个面积为Scm2小孔在小孔在t=0时刻被打开,时刻被打开,水被不停放出。问:容器中水被放完总共需要多少时水被不停放出。问:容器中水被放完总共需要多少时间?间?解解:以容器底部以容器底部O点为点为 原点,取坐标系如图原点,取坐标系如图3.3所表示。所表示。令令h(t)为为t时刻容器
6、中水高度,现建立时刻容器中水高度,现建立h(t)满足微分方程。满足微分方程。设水从小孔流出速度为设水从小孔流出速度为v(t),由力学定律,在不计水内,由力学定律,在不计水内部磨擦力和表面张力假定下,有:部磨擦力和表面张力假定下,有:因体积守衡,又可得:因体积守衡,又可得:易见:易见:故有:故有:即:即:这是可分离变量一阶微分方程,得这是可分离变量一阶微分方程,得 RxySO图图3-3hr第6页例例4 一根长度为一根长度为l金属杆被水平地夹在两端垂直支架上,一端温度金属杆被水平地夹在两端垂直支架上,一端温度恒为恒为T1,另一端温度恒为,另一端温度恒为T2,(,(T1、T2为常数,为常数,T1 T
7、2)。金属杆)。金属杆横截面积为横截面积为A,截面边界长度为,截面边界长度为B,它完全暴露在空气中,空气温,它完全暴露在空气中,空气温度为度为T3,(,(T3钍234-24天-钋234-6/5分-铀234-257亿年-钍230-8万年-镭226-16-氡222-19/5天-钋218-3分-铅214-27分-钋214-铅210-铋210-5天-钋210-138天-铅206(一个非放射性物质)注:时间均为半衰期 (2)地壳里几乎全部岩石中均含有微量铀。一方面,铀系中各种放射性物质均在不停衰减,而其次,铀又不停地衰减,补充着其后继元素。各种放射性物质(除铀以外)在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地
8、抽样测量资料,地壳中铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7(一般含量极微)。各地采集岩石中铀含量差异很大,但从未发现含量高于23%。第19页简化假定:简化假定:本问题建模是为了判定几幅不超出3古画,为了使模型尽可能简单,可作以下假设:(1)因为镭半衰期为16,经过3左右,应用微分方程方法不难计算出白铅中镭最少还有原量90%,故能够假定,每克白铅中镭在每分钟里分解数是一个常数。(2)铅铅210210衰变为:衰变为:铅铅210T=22年年钋钋210铅铅206T=138天天若画为真品,颜料应有3左右或3以上历史,轻易证实:每克白铅中钋210分解数等于铅210分解数(相差极微,已无法区分)。可用前
9、者代替后者,因钋半衰期较短,易于测量。第20页建模:建模:(1)记提炼白铅时刻为记提炼白铅时刻为t=0,当初每克白铅中铅,当初每克白铅中铅210分子数为分子数为y0,因为提炼前岩石中铀系是处于放射性平衡,故铀与铅单位,因为提炼前岩石中铀系是处于放射性平衡,故铀与铅单位时间分解数相同。能够推算出当初每克白铅中铅时间分解数相同。能够推算出当初每克白铅中铅210每分钟分每分钟分解数不能大于解数不能大于30000个。个。若若则则(个)这些铀约重这些铀约重 (克)即每克白铅约含即每克白铅约含0.040.04克铀,含量为克铀,含量为4%4%以上确定了每克白铅中铅分解数以上确定了每克白铅中铅分解数上界,若画
10、上铅分解数大于该值,上界,若画上铅分解数大于该值,说明画是赝品;但若是小于不能说明画是赝品;但若是小于不能断定画一定是真品。断定画一定是真品。第21页 (2)设设t时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210含量为含量为y(t),而镭单位时间分解,而镭单位时间分解数为数为r(常数),则(常数),则y(t)满足微分方程:满足微分方程:由此解得:由此解得:故:故:画中每克白铅所含铅画中每克白铅所含铅210当前分解数当前分解数y(t)及当前镭分解数及当前镭分解数r均可用仪器测出,从而可求出均可用仪器测出,从而可求出y0近似值,并利用(近似值,并利用(1)判断这)判断这么分解数是否合理。么分解数是否合理。第2
11、2页Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大学科学家们利用上述模型对部分有疑问油大学科学家们利用上述模型对部分有疑问油画作了判定,测得数据以下(见表画作了判定,测得数据以下(见表3-13-1)。)。油画名称油画名称210210分解数(个分解数(个/分)分)镭镭226226分解数(个分解数(个/分)分)1 1、在埃牟斯门徒、在埃牟斯门徒 8.5 8.50.80.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看乐谱女人、看乐谱女人10.310.30.30.34 4、演奏曼陀琳女人、演奏曼陀琳女人8.28.20.170.175 5、花边织工、花边织工1.51.51
12、.41.46 6、笑女、笑女5.25.26.06.0计算计算y0(个(个/分)分)98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表3-1 3-1 对对“在埃牟斯门徒在埃牟斯门徒”,y y0 09805098050(个(个/每克每分钟),它必定是一幅每克每分钟),它必定是一幅伪造品。类似能够判定(伪造品。类似能够判定(2 2),(),(3 3),(),(4 4)也是赝品。而()也是赝品。而(5 5)和()和(6 6)都)都不会是几十年内伪制品,因为放射性物质已处于靠近平衡状态,这么平衡不不会是几十年内
13、伪制品,因为放射性物质已处于靠近平衡状态,这么平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪任何作品中。可能发生在十九世纪和二十世纪任何作品中。判定判定结果:结果:第23页 利用放射原理,还能够对其它文物年代进行测定。比如对有机物(动、植物)遗体,考古学上当前流行测定方法是放射性碳14测定法,这种方法含有较高准确度,其基本原理是:因为大气层受到宇宙线连续照射,空气中含有微量中微子,它们和空气中氮结合,形成放射性碳14(C14)。有机物存活时,它们经过新陈代谢与外界进行物质交换,使体内C14处于放射性平衡中。一旦有机物死亡,新陈代谢终止,放射性平衡即被破坏。因而,经过对比测定,能够预计出它们生存年代。比如,
14、1950年在巴比伦发觉一根刻有Hammurabi王朝字样木炭,经测定,其C14衰减数为4.09个/每克每分钟,而新砍伐烧成木炭中C14衰减数为6.68个/每克每分钟,C14半衰期为5568年,由此能够推算出该王朝约存在于3900-40前。第24页例例6 6 新产品推广新产品推广 经济学家和社会学家一直很关心新产品推销速度经济学家和社会学家一直很关心新产品推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它,并由此析出问题。怎样建立一个数学模型来描述它,并由此析出一些有用结果以指导生产呢?以下是第二次世界大战一些有用结果以指导生产呢?以下是第二次世界大战后日本家电业界建立电饭包销售模型。后日本家电业界建立
15、电饭包销售模型。设需求量有一个上界,并记此上界为设需求量有一个上界,并记此上界为K,记,记t时刻已销售出电时刻已销售出电饭包数量为饭包数量为x(t),则还未使用人数大致为,则还未使用人数大致为Kx(t),于是由统计筹,于是由统计筹算律:算律:记百分比系数为记百分比系数为k k,则则x(t)满足:满足:此方程即此方程即LogisticLogistic模型,解为:模型,解为:还有两个奇解还有两个奇解:x=0和和x=K 对对x(t)求一阶、两阶导数:求一阶、两阶导数:第25页x(t)0,即,即x(t)单调增加。单调增加。令令x(t0)=0,有,有当当tt0时,时,x(t)单调减小。单调减小。在销出量
16、小于最大需求量二分在销出量小于最大需求量二分之一时,销售速度是不停增大,之一时,销售速度是不停增大,销出量到达最大需求量二分之销出量到达最大需求量二分之一时,该产品最为畅销,接着一时,该产品最为畅销,接着销售速度将开始下降。销售速度将开始下降。所以早期应采取小批量生产并加所以早期应采取小批量生产并加以广告宣传;从有以广告宣传;从有20%20%用户到有用户到有80%80%用户这段时期,应该大批量用户这段时期,应该大批量生产;后期则应适时转产,这么生产;后期则应适时转产,这么做能够取得较高经济效果。做能够取得较高经济效果。第26页3.33.3 为何要用三级火箭来发射人造卫星为何要用三级火箭来发射人
17、造卫星结构数学模型,以说明为何不能用一级火箭而必须用多级结构数学模型,以说明为何不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星?为何普通都采取三级火箭系统?火箭来发射人造卫星?为何普通都采取三级火箭系统?1 1、为何不能用一级火箭发射人造卫星、为何不能用一级火箭发射人造卫星?(1 1)卫星能在轨道上运动最低速度)卫星能在轨道上运动最低速度 假设:假设:(i i)卫星轨道为过地球中心某一平面上圆,卫星卫星轨道为过地球中心某一平面上圆,卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。在此轨道上作匀速圆周运动。(iiii)地球是固定于空间中均匀球体,其它星球对卫)地球是固定于空间中均匀球体,其它星球对卫 星引力忽略不
18、计。星引力忽略不计。分析:分析:依据牛顿第三定律,地球对卫星引力为依据牛顿第三定律,地球对卫星引力为:在地面有在地面有:得得:k=gR2 R R为地球半径,为地球半径,约为约为64006400公里公里 故引力故引力:假设(ii)第27页dmm-dmvu-v假设(i)卫星所受到引力也就是它作匀速圆周运动向心力卫星所受到引力也就是它作匀速圆周运动向心力故又有故又有:从而从而:设设g=9.81g=9.81米米/秒秒2 2,得,得:卫星离地面高度卫星离地面高度(公里公里)卫星速度卫星速度(公里公里/秒秒)100100200200400400600600800800100010007.807.807.6
19、97.697.587.587.477.477.377.377.867.86(2 2)火箭推进力及速度分析)火箭推进力及速度分析 假设:假设:火箭重力及空气阻力均不计火箭重力及空气阻力均不计 分析:分析:记火箭在时刻记火箭在时刻t质量和速度分别为质量和速度分别为m(t)和和(t)有:有:记火箭喷出气体相对于火箭速度为记火箭喷出气体相对于火箭速度为u(常数),(常数),由动量守恒定理:由动量守恒定理:0 0和和m m0 0一定情况下,一定情况下,火箭速度火箭速度(t)(t)由喷发由喷发速度速度u u及质量比决定。及质量比决定。故:故:由此解得:由此解得:(3.11)第28页(2 2)火箭推进力及速
20、度分析)火箭推进力及速度分析 现将火箭现将火箭卫星系统质量分成三部分:卫星系统质量分成三部分:(i)mP(有效负载,如卫星)(有效负载,如卫星)(ii)mF(燃料质量)(燃料质量)(iii)mS(结构质量(结构质量如外壳、燃料容器及推进器)。如外壳、燃料容器及推进器)。最终质量为最终质量为mP+mS,初始速度为,初始速度为0,所以末速度:所以末速度:依据当前技术条件和燃料性能,依据当前技术条件和燃料性能,u只能到达只能到达3公里公里/秒,即使发射秒,即使发射空壳火箭,其末速度也不超出空壳火箭,其末速度也不超出6.6公里公里/秒。秒。当前根本不可能当前根本不可能用一级火箭发射人造卫星用一级火箭发
21、射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时,其火箭推进力在加速整个火箭时,其实际效益越来越低。假如将结构质实际效益越来越低。假如将结构质量在燃料燃烧过程中量在燃料燃烧过程中不停降低,那不停降低,那么末速度能到达要求吗?么末速度能到达要求吗?第29页2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假设:假设:记结构质量记结构质量mS在在mS+mF中占百分比为中占百分比为,假设火,假设火箭能随时抛弃无用结构,结构质量与燃料质量以箭能随时抛弃无用结构,结构质量与燃料质量以与与(1-)百分比同时降低。)百分比同时降低。建模建模:由由 得到:得到:解得:解得:理想火箭与一级火箭最大区分在于,当火箭燃料耗理想火箭与一级火箭
22、最大区分在于,当火箭燃料耗尽时,结构质量也逐步抛尽,它最终质量为尽时,结构质量也逐步抛尽,它最终质量为mP,所以最终速度为:所以最终速度为:只要只要m0足够大,我们能够足够大,我们能够使卫星到达我们希望它含使卫星到达我们希望它含有任意速度。有任意速度。考虑到空气阻力和重力等原因,预考虑到空气阻力和重力等原因,预计(按百分比粗略预计)发射卫星计(按百分比粗略预计)发射卫星要使要使=10.5公里公里/秒才行,则可推秒才行,则可推算出算出m0/mp约为约为51,即发射一吨重即发射一吨重卫星大约需要卫星大约需要50吨重理想火箭吨重理想火箭 第30页3 3、理想过程实际迫近、理想过程实际迫近多级火箭卫星
23、系统多级火箭卫星系统 记火箭级数为记火箭级数为n,当第,当第i级火箭燃料烧尽时,第级火箭燃料烧尽时,第i+1级火箭级火箭马上自动点火,并抛弃已经无用第马上自动点火,并抛弃已经无用第i级火箭。用级火箭。用mi表示第表示第i级级火箭质量,火箭质量,mP表示有效负载。表示有效负载。先作以下假设:先作以下假设:(i)设各级火箭含有相同)设各级火箭含有相同,即即i级火箭中级火箭中mi为结构质为结构质量,(量,(1-)mi为燃料质量。为燃料质量。(ii)设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变,设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变,并记比值为并记比值为k k。考虑二级火箭:考虑二级火箭:由由3.11式
24、,当第一级火箭燃烧完时,其末速度为:式,当第一级火箭燃烧完时,其末速度为:当第二级火箭燃尽时,末速度为:当第二级火箭燃尽时,末速度为:该假设有点强加该假设有点强加味道,先权作讨味道,先权作讨论方便吧论方便吧第31页又由假设(又由假设(ii),),m2=kmP,m1=k(m2+mP),代入上式,代入上式,仍设仍设u=3公里公里/秒,且为了计算方便,近似取秒,且为了计算方便,近似取=0.1,则可,则可得:得:要使要使2=10.5公里公里/秒,则应使秒,则应使:即即k11.2,而,而:类似地,能够推算出三级火箭:类似地,能够推算出三级火箭:在一样假设下在一样假设下:要使要使3=10.5公里公里/秒,
25、则秒,则(k+1)/(0.1k+1)3.21,k3.25,而,而(m1+m2+m3+mP)/mP77。三级火箭比二级火箭三级火箭比二级火箭几乎节约了二分之一几乎节约了二分之一 是否三级火箭就是最省呢是否三级火箭就是最省呢?最简单方法就是对四级、?最简单方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。五级等火箭进行讨论。第32页考虑考虑n n级火箭:级火箭:记记n级火箭总质量(包含有效负载级火箭总质量(包含有效负载mP)为)为m0,在相,在相同假设下能够计算出对应同假设下能够计算出对应m0/mP值,见表值,见表3-2n(级数)(级数)1 2 3 4 5 (理想)(理想)火箭质量(吨)火箭质量(吨)/149
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