基于优势熵矩阵的模糊软集三支决策方法.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1399-1414 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134131 文章引用文章引用:胡凯欣.基于优势熵矩阵的模糊软集三支决策方法J.应用数学进展,2024,13(4):1399-1414.DOI:10.12677/aam.2024.134131 基于优势熵矩阵的模糊软集三支决策方法基于优势熵矩阵的模糊软集三支决
2、策方法 胡凯欣胡凯欣 长安大学理学院,陕西 西安 收稿日期:2024年3月19日;录用日期:2024年4月16日;发布日期:2024年4月23日 摘摘 要要 讨论了模糊软集上的三支决策问题。通过模糊软集上的模糊优势熵关系来构造模糊优势熵矩阵,从而提讨论了模糊软集上的三支决策问题。通过模糊软集上的模糊优势熵关系来构造模糊优势熵矩阵,从而提出模糊软集上的三支决策方法。首先,介绍了传统的优势关系和出模糊软集上的三支决策方法。首先,介绍了传统的优势关系和 优势关系,类比两种优势关系提出了优势关系,类比两种优势关系提出了优势熵关系的定义;其次,通过优势熵关系构造了优势熵矩阵及定义了优势熵类,基于优势熵类
3、给出了优势熵关系的定义;其次,通过优势熵关系构造了优势熵矩阵及定义了优势熵类,基于优势熵类给出了模糊占优度的定义,依据优势熵矩阵定义模糊软集的损失函数表,计算模糊软集的三支决策阈值,结合模糊占优度的定义,依据优势熵矩阵定义模糊软集的损失函数表,计算模糊软集的三支决策阈值,结合模糊占优度来实现模糊软集的三支决策。最后,通过一个算例以及相关的对比分析,验证了本文所提三模糊占优度来实现模糊软集的三支决策。最后,通过一个算例以及相关的对比分析,验证了本文所提三支决策方法的实用性和有效性。支决策方法的实用性和有效性。关键词关键词 模糊软集,优势熵关系,优势熵矩阵,模糊占优度,三支决策模糊软集,优势熵关系
4、,优势熵矩阵,模糊占优度,三支决策 Three-Way Decision Method of Fuzzy Soft Set Based on Dominant Entropy Matrix Kaixin Hu School of Science,Changan University,Xian Shaanxi Received:Mar.19th,2024;accepted:Apr.16th,2024;published:Apr.23rd,2024 Abstract The three-way decision problem on fuzzy soft sets is discussed.The
5、 fuzzy dominant entropy ma-trix is constructed by the fuzzy dominant entropy relationship on the fuzzy soft set,and the three-way decision method on the fuzzy soft set is proposed.Firstly,it introduces the traditional dominance relationship and dominance relationship,and puts forward the definition
6、of do-minance entropy relationship by analogy.Secondly,the dominant entropy matrix is constructed and the dominant entropy class is defined based on the dominant entropy class.The fuzzy domin-胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1400 应用数学进展 ance degree is defined based on the dominant entropy class.The
7、loss function table of the fuzzy soft set is defined based on the dominant entropy matrix,and the three decision thresholds of the fuzzy soft set are calculated.The three decisions of the fuzzy soft set are realized by combining the fuzzy dominance degree.Finally,through a numerical example and rele
8、vant comparative analysis,the practicability and effectiveness of the three decision-making methods proposed in this paper are verified.Keywords Fuzzy Soft Set,Dominant Entropy Relation,Dominant Entropy Matrix,Fuzzy Dominance,Three-Way Decision Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This
9、 work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 软集理论是俄罗斯学者 Molodtsov 于 1999 年提出的用于处理模糊性、不确定性问题的数学工具,该理论相较于其它理论弥补了参数化不足的问题,从参数化角度描述对象与集合之间的关系,是对集合中的对象进行“近似”性的刻画,而无需精确的信息就能够反应出对象与集合之间的关系1。但是软集理论中参数的取值只能为 0 或 1,该
10、种取值不利于处理含有复杂模糊信息的问题,在对象的属性程度上的描述也存在不足。于是 Maji 等人在 2001 年将模糊集和软集理论相结合,创新性地提出了模糊软集2的概念。模糊软集将软集理论与模糊集理论相结合,将软集的参数取值从0,1的二值集合拓展为0,1区间上的数值,从参数化和程度化的角度描述了对象所具有的属性特点。现存的模糊软集的研究主要集中在模糊软集的运算及性质3 4 5、模糊软集与其它不确定性理论的结合6 7 8 9 10、模糊软集的决策及参数约简11 12 13 14上。三支决策15是姚一豫等人在决策粗糙集的理论模型基础上提出的决策理论,相较于传统二支决策肯定与否定的决策行为,三支决策
11、增加了对了解不全面、不充分的事物的延迟决策的处理。三支决策的理论思想为将对象整体分为三个部分,且分别对这三个部分采取接受、拒绝和延迟决策的行为。该决策方法为复杂问题提供了简洁高效的解决方法,且一经提出得到了迅速的发展。但是三支决策在软集领域的应用较少,巩增泰等人16将直觉模糊集诱导为软集,利用三支决策理论提出了软集三支决策的定性模型和定量模型。冯峰等人17利用软粗糙集理论建立了一种基于犹豫模糊集的广义粗糙模型,借助给定的预决策集,计算软上近似集并确定评价函数,提出了一种基于软粗糙集的犹豫模糊三支决策方法。现实中我们获取的数据之间通常存在着一定的偏好或有序关系,基于等价关系的经典粗糙集理论难以处
12、理这类偏好或有序信息,为此,Greco 定义了一种新的二元关系优势关系18。但是由于传统优势关系普遍存在条件过于苛刻、对关系的描述过于粗略等缺点,无法精确地刻画两个对象之间的差异,限制了它们在实际问题的应用,因此吴家明等人提出了优势关系、劣势关系与信息熵的结合优劣关系熵19。以上优势关系的计算中都只考虑优势参数的个数,而未将参数值纳入计算中,导致从程度上刻画对象间的优势关系不够深入,因此本文在优劣关系熵的基础上纳入参数值的计算,提出优势熵关系。在模糊软集决策应用领域的研究工作中鲜有报道模糊软集三支决策方法的研究,因此本文结合优势熵关系提出模糊占优度,从而对模糊软集进行三支决策。Open Acc
13、essOpen Access胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1401 应用数学进展 2.基础知识基础知识 定义定义 1.1 1设 U 为非空有限论域,E 是参数集,()P U为论域 U 的幂集,AE,称序对(),F A为论域 U 上的软集,若 F 是 A 到()P U的一个映射,即():F AP U,对于eA,()F eU,()F e称为软集(),F A的 e-近似集合。定义定义 1.2 2设 U 为非空有限论域,E 是参数集。AE,()U是 U 上所有模糊子集所组成的集合,称序对(),F A是 U 上的模糊软集,其中F是 A 到()U的一个映射,即():F
14、AU。对于任意的eA,()F e可以看作是模糊软集(),F A的 e-近似集合,且()F e可以被表示为()()().F exF exUx=其中,()()0,1F ex表示对象 x 属于模糊集()F e的隶属度。软集是用 0 和 1 的精确化描述来对参数进行近似,模糊软集将参数的取值取在区间0,1内,用区间0,1间的数来对参数进行模糊近似,用模糊近似代替了软集的精确近似。模糊软集从程度化和参数化的角度来描述客观事物,并通过程度化描述“是”或“不是”的中间状态,更符合人类的思维逻辑20。例例 1.1 设126,Ux xx=表示房子的集合,A 是参数集合且 125,cheap,wooden,bie
15、atiful,environment,trafficAe ee=模糊软集(),F A可以表示为:()11234560.1 0.3 0.6 0.2 0.1 0.8,F exxxxxx=,()21234560.6 0.3 0.4 0.3 0.1 0.2,F exxxxxx=,()31234560.5 0.3 0.4 0.2 0.4 0.1,F exxxxxx=,()41234560.2 0.5 0.3 0.7 0.5 0.2,F exxxxxx=,()51234560.1 0.3 0.6 0.2 0.1 0.8,F exxxxxx=.这里模糊软集(),F A所描述的是对于购买者来说“房子的吸引力”
16、。为了方便储存及直观表示,可以将模糊软集(),F A用一个二维表格表示,如表 1 所示:Table 1.Fuzzy soft set(),F A 表表 1.模糊软集(),F A U e1 e2 e3 e4 e5 x1 0.1 0.6 0.5 0.2 0.5 x2 0.3 0.2 0.3 0.5 0.2 x3 0.6 0.4 0.4 0.3 0.6 x4 0.2 0.3 0.2 0.7 0.4 x5 0.1 0.1 0.4 0.5 0.3 x6 0.8 0.2 0.1 0.2 0.1 胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1402 应用数学进展 定义定义 1.3 21
17、设(),F A是论域 U 的一个模糊软集,,eA xU 满足条件()()0F ex=,即所有对象在所有参数下的隶属度为 0,则称(),F A为模糊零软集;,eA xU 满足条件()()1F ex=,即所有对象在所有参数下的隶属度为 1,则称(),F A为模糊全软集。定义定义 1.4 21设(),F A和(),G B是论域 U 的两个模糊软集,若,ABaA 使得()()F aG a=成立,则称(),F A为(),G B的模糊软子集,记为()(),F AG B;如果满足()(),F AG B且()(),G BF A,则(),F A和(),G B是模糊软相等的,即()(),F AG B=。在实际问题
18、的分析中,我们所获得的数据之间通常存在着一定的偏好或有序关系,这导致对象之间也存在优势或劣势关系。下面是模糊软集上的优势关系的定义。定义定义 1.5 22设(),F A是论域 U 上的一个模糊软集,称AR=()()jmF ex为对象mx在参数je下的参数值。mx在任意参数je下的取值均大于等于对象nx的值,则(),nmxx满足该优势关系,表示在该模糊软集中对象mx比nx更具有优势。定义定义 1.6 22设(),F A是论域 U 上的一个模糊软集,,mnxxU mn,定义()()()()(),Amnjjmjnjdxxe F exF exeA=为对象mx和nx的优势参数集,称矩阵()(),Amnm
19、 n UDdxx=为优势矩阵,其中优势矩阵为UU维的矩阵且(),Ammdxx=。但是由于该定义中优势关系的条件过于苛刻,且存在对关系的描述上过于粗略的缺点,故刻画两个对象间的差异不够精确,限制了这些对象在实际问题中的应用,因此吴家明19等人提出了优势关系、劣势关系与信息熵的结合优劣关系熵。定义定义 1.7 19设(),SU C V f=为一个基于的优劣关系的信息系统,其中12,nUu uu=为对象集,12,mCc cc=为非空有限属性集,kkccCVV=是所有属性值的集合,kcV是属性kcC的值域,且属性值域kcV有偏好次序。:f UCV是一个信息函数,,kcC uU,(),kkcf u cV
20、,()1,2,km=,为参数且(0,1。则优势关系定义为:()()()12,ijijikljklklkkkpPuuu uf u cf u cccccCm=表示iu在程度上优于ju。相较于传统的优势关系,优势关系提出了优势程度参数的概念,能够更加灵活的刻画两个样本之间的优势程度。定义定义 1.8 19设(),SU C V f=为一个基于的优劣关系的信息系统,对于任意uU,u 的优势类定义为:uv vuvU=。定义定义 1.9 19设(),SU C V f=为一个基于的优劣关系的信息系统,其中12,nUu uu=为对 象集,则的优势关系矩阵定义为:()ijn nRuu=,其中,()1,0,jiij
21、jiuuuuuu=,(),1,2,i jn=.定义定义 1.10 19令R是 U 上的优势关系矩阵,则优势关系熵定义为 胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1403 应用数学进展 ()2logRH RU=其中,表示矩阵的基数。优劣关系熵可以从不同粒度的层次上对目标概念的不确定性进行度量19。但是无论是传统的优势关系还是上述定义的优势关系,它们都只考虑不同属性值下的大小来确定优势关系,而没有将属性值纳入计算中,因此本文提出了优势熵关系。介绍优势熵关系前,首先引入模糊软矩阵及取优运算的概念。定义定义 1.11 14设(),F A是论域 U 的一个模糊软集,定义模糊软矩
22、阵()ijUAMm=,其中()()jijiF emx=1,2,iU=,1,2,jA=。具体如下:()()()()()()()()()()()()1212111AAF eF eF eUUUF eF eF exxxMxxx=.其中,()()()()()()()12,:AiiiF eF eF eM ixxx=为模糊软矩阵的第 i 行,表示对象ix在各个参数 下的取值向量。定义定义 1.12 设(),F A是论域 U 的一个模糊软集,M 为(),F A的模糊软矩阵,,ijx xU,定义符号为两对象的取优运算,对象ix与jx的取优运算为()()1,:,:,1,2,kAM iMjmkA=记为ijX,其中(
23、)()()()()()()()()(),0,kkkkkiijF eF eF ekijF eF exxxmxx=,()1,2,kA=.ijX表示对比对象ix与jx的各参数下的取值,保留ix大于等于jx的参数值。得到两对象的取优向量后,可定义两对象的优势熵及模糊软集的优势熵关系。定义定义 1.13 设(),F A是论域 U 的一个模糊软集,,ijx xU,对象ix与jx在参数子集 A 下的优势熵定义为()logijijXH XA=.其中,ijX表示对向量ijX的各元素求和,A表示求集合 A 的基数。()ijH X表示对象ix在参数集 A下优于对象jx的熵值,称ARH为模糊软集的优势熵关系,即:()
24、()(),Aijj iijRHx xUU H XH X=.优势熵关系相较于上述定义的传统优势关系和优势关系,将对象的属性值纳入了计算中,在比较两个对象优势关系的同时,对它们的优势程度也有了一定的刻画。定义定义 1.14 设(),F A是论域 U 的一个模糊软集,,ijx xU,定义 胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1404 应用数学进展 ()(),logijijijXd x xH XA=为对象ix优于jx的优势熵值,称矩阵()(),iji j UDd x x=为优势熵矩阵,其中优势熵矩阵为UU维 的矩阵。定义定义 1.15 设(),F A是论域 U 的一个模糊
25、软集,称 (),ijijAAxxUx xRH=为对象ix的优势熵类。性质性质 1.1 设(),F A和(),G B是论域 U 的两个模糊软集,(),F A为(),G B的模糊软子集,AB,ARH和BRH分别为(),F A和(),G B上的优势熵关系,ixU,iAx和 iBx分别为ix在优势熵关系ARH和BRH下的优势熵类,M 为(),F A的模糊软矩阵,有如下性质:1)ARH是自反的和传递的;2)AB,有BARHRH;3)AB,有 iiBAxx;4)ijAAxx=当且仅当()(),:,:M iMj=;5)xU,有 Ax 且 Ax UxU=。定义定义 1.16 设(),F A是论域 U 的一个模
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